数值分析插值拟合Word版Word文档格式.docx
《数值分析插值拟合Word版Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数值分析插值拟合Word版Word文档格式.docx（23页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
）2,
（C）
（D）99-70
2.方程的根
（1）.用Newton法求方程f（x）=x3+10x-20=0的根，取初值x0=1.5,则x1=（3）x1=1.5970149
（2）.迭代公式xk+1=xk（xk2+3a）/（3xk2+a）是求a1/2的（12）阶方法
（3）.
3.方程组直接解法
4.迭代解法
（1）.设线性方程组的系数矩阵为A=
全主元消元法的第一次可选的主元素为（13），第二次可选的主元素为（14）.列主元消元法的第一次主元素为（15）；
第二次主元素为（用小数表示）（16）;
记此方程组的高斯-塞德尔迭代矩阵为BG=（aij）4⨯4，则a23=（17）；
-8，或8；
8+7/8或-8-7/8；
-8；
7.5；
第1章插值
§
1.填空
（1）.设Pk（xk,yk）,k=1,2,…,5为函数y=x2-3x+1上的5个互异的点，过P1,…,P5且次数不超过4次的插值多项式是______。
y=x2-3x+1
（2）.设x0,x1,x3是区间[a,b]上的互异节点，f（x）在[a,b]上具有各阶导数，过该组节点的2次插值多项式的余项为：
______.
R2（x）=
（3）.设
（i=0,1,…,n），则
＝______,这里（xi≠xj,i≠j,n≥2）。
x
（4）.三次样条插值与一般分段3次多项式插值的区别是_____
三次样条连续且光滑，一般分段3次连续不一定光滑。
（5）.插值多项式与最小二乘拟合多项式都是对某个函数f（x）的一种逼近，二者的侧重点分别为________。
用
个作不超过
次的多项值插值，分别采用Lagrange插值方法与Newton插
值方法所得多项式相等（相等,不相等）
（6）.
2.计算题
（1）.（a10分）依据下列函数值表，建立不超过3次的lagrange插值多项式L3（x）.
1
2
3
f（x）
9
23
解：
基函数分别为
l0（x）=-
x3+
x2-
x+1
l1（x）=
l2（x）=
Lagrange插值多项式
L3（x）=
=
.
（2）.（b10分）已知由插值节点（0,0）,（0.5,y）,（1,3）和（2,2）构造的3次插值多项式P3（x）的x3的系数为6，试确定数据y.
P3（x）＝
故最高次项系数为
带入数值解得y=4.25.
（3）.（c15分）设lk（x）是关于互异节点x0,x1,…,xn,的Lagrange插值基函数，证明
证明：
其中，wn+1（x）=
故当0≤j≤n时，
=xj,
当j=n+1时，xn+1=
将x=0带入ok!
（4）.（c10分）设lk（x）是关于互异节点x0,x1,…,xn,的Lagrange插值基函数，证明
是n次多项式，且最高次系数为x0+…+xn,
证：
查
--5分
注意余项
=xn+1-wn+1（x）---5分
ok!
（5）.（c10分）设函数f（x）是k次多项式，对于互异节点x1,…,xn,，证明当n>
k时，差商f[x,x1,…,xn]≡0，当n≤k时，该差商是k-n次多项式。
因
注意到n>
k时，f（n）（x）=0，
n=k时，f（n）（x）=k!
ak，ak为f（x）的k次项系数。
（7f）
n≤k-1由差分定义递推,查n=k-1,k-2,…（3f）
（6）.（c10分）设g（x）和h（x）分别是f（x）关于互异节点x1,…,xn-1以及互异节点x2,…,xn的插值多项式，试用g（x）和h（x）表示f（x）关于互异节点x1,…,xn的插值多项式.
令（f（x））q（x）=Ag（x）（x-xn）+Bh（x）（x-x1）
为待定n（n-1）次多项式，A,B为待定系数，注意到
g（xk）=f（xk）,k=1,…,n-1
h（xk）=f（xk）,k=2,…,n-------（7f）
带入得A=1/x1-xn,B=1/xn-x1,
带入ok!
（7）.（a10f）设lk（x）是关于互异节点x0,x1,…,xn,的Lagrange插值基函数，证明
（1）
m=0,1,…,n
（2）
≡0m=1,2,…,n
由插值唯一性定理知
（1）。
展开知
（2）
（8）.（a10f）证明对于不超过k次的多项式p（x）有
k≤n
lk（x）是关于互异节点x0,x1,…,xn,的Lagrange插值基函数
由插值唯一性定理知。
（9）.（a10f）设p（x）是任意首次项系数为1的n+1次多项式，lk（x）是关于互异节点x0,x1,…,xn,的Lagrange插值基函数
证明
其中
插值余项直接计算ok!
（10）.（a10f）已知函数y=f（x）在点x0的某邻域内有n阶连续导数，记xk=x0+kh（k=1,2,…,n）,证明
ξ∈（x0,x0+nh）注意到n阶导数连续性，两边取极限ok!
（11）.（c10f）用等节距分段二次插值函数在区间[0,1]上近似函数ex,如何估算节点数目使插值误差≤
⨯10-6.
考虑子区间[xi-1,xi]二次插值余项
令x=xi+1/2+s（h/2）
上式化简为
令
得h≤0.028413
故子区间个数为N=2/h≈70.4,取N=71
故插值节点数为2N+1=143
（12）.（b10分）设f（x）在区间[a,b]上有二阶连续导数，P1（x）为其以a,b为节点的一次插值多项式，证明
利用插值余项结果可得线性插值多项式P1（x）在子区间[a,b]上的余项估计式，再估计最值ok!
（13）.（b10分）已知s（x）是[0,2]上的已知自然边界条件的三次样条函数，试确定
s（x）=
中的参数b,c,d
利用边界条件s/（2-0）=0及样条函数定义可得
b=-1,c=-3,d=1
（14）.（b10分）判断下面2个函数是否是[-1,1]上以0为内节点的三次样条函数。
设
（1）S（x）=
（2）S（x）=
（1）是，
（2）否。
（15）.（a10f）令f（x）=x7+x4+3x+1
求f[20,21,…,27]及f[20,21,…,28]
f[20,21,…,27]=1
f[20,21,…,28]=0
（16）.（a10f）证明n阶均差有下列性质：
（1）若F（x）=cf（x）,则
F[x0,x1,…,xn]=cf[x0,x1,…,xn]
（2）若F（x）=f（x）+g（x）,则
F[x0,x1,…,xn]=f[x0,x1,…,xn]+g[x0,x1,…,xn]
其中，
ak=
（17）.（a10f）回答下列问题：
（1）什么叫样条函数？
（2）确定n+1个节点的三次样条函数所需条件个数至少需要多少？
（3）三转角法中参数mi的数学意义是什么？
答：
（1）略
（2）4n个
（3）mi=S/（xi）即样条函数在节点xi处的一阶导数。
（18）.（a10f）回答下列问题：
（1）何谓Hermite插值问题？
（2）Hermite插值与一般多项式插值有什么区别？
第2章拟合
（1）.采用正交多项式拟合可避免最小二乘或最佳平方逼近中常见的（9）问题.
（2）.在函数的最佳一致逼近问题中,评价逼近程度的指标用的是函数的（10）范数.在函数的最佳平方逼近问题中,评价逼近程度的指标用的是函数的（11）范数.无穷范数||f||∞；
2-范数
3.计算题
（1）.（b10f）设f（x）∈[-a,a]的最佳一致逼近多项式为P（x）,试证明
（1）f（x）是偶函数时P（x）也是偶函数；
（2）f（x）是奇函数时P（x）也是奇函数。
（1）令t=-x,考查
|f（x）-P（x）|=
|f（-t）-P（-t）|=
|f（t）-P（-t）|,故P（-x）也是f（x）∈[-a,a]的最佳一致逼近多项式，由最佳一致逼近多项式的唯一性知P（-x）=P（x）.
（2）略。
（2）.（a10f）试确定[0,1]区间上2x3的不超过二次的最佳一致逼近多项式p（x）,该多项式唯一否？
p（x）=（3/2）x,唯一。
（3）.求f（x）=2x3+x2+2x-1在[-1,1]上的最佳二次逼近多项式P（x）。
已知
T0（x）=cos0=1
T1（x）=cosθ=x
T2（x）=cos2θ=2x2-1
T3（x）=cos3θ=4x3-3x
T4（x）=cos4θ=8x4-8x2+1
解:
f（x）=2x3+x2+2x-1-P（x）
=2.
T3（x）=
T3（x）
故P（x）=f（x）-
T3（x）=2x3+x2+2x-1-2x3+
3x
=x2+
x-1
（4）.求f（x）=2x4在[-1,1]上的3次最佳一致逼近多项式P（x）。
P（x）=2x2-1/4
（5）.求f（x）=2x4在[0,2]上的3次最佳一致逼近多项式P（x）。
令x=t+1,t∈[-1,1],f（x）=g（t）=（t+1）4
故g（t）的3次最佳一致逼近多项式为
P3（t）=4t3+7t2+4t+7/8
故f（x）的3次最佳一致逼近多项式为
P（x）=P3（x-1）=4x3-5x2+2x-1/8
（6）.设f（x）∈C[a,b],,证明f（x）的最佳零次一致逼近函数为s（x）=（M+m）/2,其中M和m分别为f（x）在[a,b]上的最大与最小值。
（7）.证明[a,b]上的正交函数系H={h1（x）,h2（x）,…,hm（x）}是线性无关的函数系。
写出线性组合式子――――2分
作内积求系数―――――――――2分
（8）.（10分）求f（x）=lnx,x∈[1,2]上的二次最佳平方逼近多项式的法（正规）方程组。
（要求精确表示，即不使用小数）
取Φ=span{1,x,x2},[a,b]=[1,2]法方程组为
计算知
解之得：
a0=-1.142989,a1=1.382756,a2=-0.233507
最佳平方逼近多项式为P2（x）=-1.42+1.38x-0.233x2
平方误差为
||f-P2||22=（f,f）-a0（f,ϕ0）–a1（f,ϕ1）–a2（f,ϕ2）≈0.4⨯10-5
（9）.设f（x）在有限维内积空间Φ＝span{ϕ0,…,ϕn}上的最佳平方逼近为p（x）,试证明，f（x）-p（x）与Φ中所有函数正交。
（f（x）-p（x）,ϕj）
=（f,ϕj）-（p（x）,ϕj）
注意到ak是法方程组的解。
而法方程组
两边的j-th分量为
（（ϕj,ϕ0）（ϕj,ϕ1）…（ϕj,ϕn））=（p（x）,ϕj）
（10）.设
是在空间Φ＝span{ϕ0,…,ϕn}中对f（x）∈C[a,b]的最佳平方逼近,证明：
（f-p,f-p）=（f,f）-
故∀k=1,…n,（f（x）-p（x）,ϕk）=0,------------（5分）
（p-f）,p）=0-------------------（5分）
（f-p,f-p）
=（f,f）-2（f,p）+（p,p）
=（f,f）-（f,p）+（p-f）,p）
=（f,f）-（f,p）-------------------（5分）
（11）.求下列矛盾方程组的最小二乘解
x1=-29/12,x2=-39/12
写出相应的法方程组ATAx=ATb――――5分
求解x1=-29/12,x2=-39/12――――5分
（12）.推导用最小二乘法解矛盾方程组Ax=b的法方程组ATAx=ATb
给出目标函数
h（x）=||Ax-b||2------------------5
=xTATAx-2xTATb+bTb----------5
求偏导得到驻点方程组
ATAx-ATb=0---------------5
（13）.证明：
{ϕ0,…,ϕn}为点集{xi}mi=1上的线性无关族⇔法方程GTGa=GTy有唯一解。
充分性）。
首先注意到若a0,a1,..,an
为方程组
a0ϕ0+a1ϕ1+…+anϕn=0（9）
的解，则必为方程组
的解。
事实上，令ϕ0,ϕ1,…,ϕn分别与（9）两端作内积得（10），知也！
设|GTG|≠0⇒（10）仅有0解⇒（9）也仅有0解故{ϕ0,…,ϕn}无关。
证必要性）。
{ϕ0,…,ϕn}无关⇒（9）仅有0解即∀a=（a0,a1,..,an）≠0⇒Ga≠0⇒aTGTGa=（Ga）T（Ga）
=||Ga||22>
0⇒GTG正定⇒|GTG|>
0∴|GTG|≠0.
（14）.若{ϕ0（x）,ϕ1（x）,…,ϕn（x）}是点集{x1,x2,…,xm}上的离散正交族。
为给定数据对（xi,yi）（i=1,2,…,m）的最小二乘拟和函数。
法方程系数矩阵为QTQ=
此时法方程为
故
（15）.若{ϕ0（x）,ϕ1（x）,…,ϕn（x）}是[a,b]上的正交族。
为f（x）的最佳平方逼近。
（16）.求函数f（x）=|x|在[-1,1]上求关于函数族span{1,x2,x4}的最佳平方逼近多项式。
由内积（f,g）=
令ϕ0=1，ϕ1=x2,ϕ2=x4,
计算知法方程
得
a0=15/185=0.117…
a1=105/64=1.64…
a2=-105/128=-0.820…
最佳平方逼近多项式为:
0.117+1.64x2-0.820x4
（17）.求函数f（x）=
在[1,3]上求关于函数族span{1,x}的最佳平方逼近多项式。
令ϕ0=1，ϕ1=x,
计算法方程
得
a0=（13/2）ln3-6=1.14…
a1=3-3ln3=0.295…
1.14-0.295x
（18）.求a,b,c的值，使
达到最小
就是求f（x）=sinx关于函数族span{1,x,x2}在[0,π]上的最佳平方逼近。
令ϕ0=1，ϕ1=x,ϕ2=x2
为
a0=-14/π,a1=72/π2,a2=-60/π3
（19）.求a,b,c的值，使
由唯一性知，a=0,b=0,c=3
（20）.什么是非线性最小二乘拟合问题？
（21）.回答下列问题：
（1）求解线性最小二乘问题遇到的主要困难是什么？
（2）用离散正交多项式进行拟合的主要优点是什么？
（22）.回答下列问题：
（1）什么叫最佳多项式平方逼近？
（2）什么叫最佳多项式一致逼近？
（23）.回答下列问题：
（1）最佳平方逼近多项式与最小二乘拟合多项式在计算方法上有何相似之处？
（2）二者区别是什么？
（24）.
5.数值积分
6.微分方程数值解
答案
（2）.
插值节点函数值相等最小二乘拟和乃综合偏差最小。
（3）.法方程组病态
（4）.
（5）.
（6）.3
（7）.
（8）.-17/4
正误题
（1）.（√）线性方程组的条件数与其解法无关。
（2）.（√）设A为可逆矩阵，α∈R则cond（αA）=cond（A）。
（3）.（√）Rn上一切向量范数都等价。
（4）.（√）矩阵A的谱半径不超过||A||1。
（5）.（⨯）在等式
中,系数ak与函数f（x）有关。
（6）.（⨯）说微分方程初值问题的数值方法是p阶的，指的是其局部截断误差是与hp同阶的无穷小,其中h为步长。
（7）.（⨯）Gauss点与积分区间无关但与被积函数有关。
（8）.（√）微分方程初值问题的Euler方法第一步的局部截断误差等于第一步的整体截断误差。
升级会员 