高考数学北师大版通用理总复习讲义45函数yAsinωx+φ的图像及应用.docx
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高考数学北师大版通用理总复习讲义45函数yAsinωx+φ的图像及应用
§4.5 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像及应用
1．y＝Asin（ωx＋φ）的有关概念
y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0），x∈[0，＋∞）
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
2．用五点法画y＝Asin（ωx＋φ）一个周期内的简图时，要找五个特征点．
如下表所示.
x
ωx＋φ
0
π
2π
Y＝Asin（ωx＋φ）
0
A
0
－A
0
3．函数y＝sinx的图像经变换得到y＝Asin（ωx＋φ）的图像的步骤如下：
1．判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）
（1）作函数y＝sin（x－）在一个周期内的图像时，确定的五点是（0,0），（，1），（π，0），（，－1），（2π，0）这五个点．（ × ）
（2）将y＝3sin2x的图像向左平移个单位后所得图像的解析式是y＝3sin（2x＋）．（ × ）
（3）y＝sin（x－）的图像是由y＝sin（x＋）的图像向右移个单位得到的．（ √ ）
（4）y＝sin（－2x）的递减区间是（－－kπ，－－kπ），k∈Z.（ × ）
（5）函数f（x）＝sin2x的最小正周期和最小值分别为π，0.（ √ ）
（6）函数y＝Acos（ωx＋φ）的最小正周期为T，那么函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为.（ √ ）
2．把函数y＝sin（x＋）图像上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将图像向右平移个单位，那么所得图像的一条对称轴方程为（ ）
A．x＝－B．x＝－
C．x＝D．x＝
答案 A
解析 将y＝sin（x＋）图像上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y＝sin（2x＋）；再将图像向右平移个单位，得到函数y＝sin[2（x－）＋]＝sin（2x－），x＝－是其图像的一条对称轴方程．
3．（2013·四川）函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（ω>0，－<φ<）的部分图像如图所示，
则ω，φ的值分别是（ ）
A．2，－B．2，－
C．4，－D．4，
答案 A
解析 T＝－，T＝π，∴ω＝2，
∴2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，∴φ＝2kπ－，
又φ∈，∴φ＝－，选A.
4．设函数f（x）＝cosωx（ω>0），将y＝f（x）的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（ ）
A.B．3C．6D．9
答案 C
解析 由题意可知，nT＝（n∈N＋），∴n·＝（n∈N＋），
∴ω＝6n（n∈N＋），
∴当n＝1时，ω取得最小值6.
5．已知简谐运动f（x）＝2sin（|φ|<）的图像经过点（0,1），则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为__________．
答案 6，
解析 由题意知1＝2sinφ，得sinφ＝，又|φ|<，
得φ＝；
而此函数的最小正周期为T＝2π÷＝6.
题型一 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像及变换
例1 设函数f（x）＝sinωx＋cosωx（ω>0）的周期为π.
（1）求它的振幅、初相；
（2）用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图像；
（3）说明函数f（x）的图像可由y＝sinx的图像经过怎样的变换而得到．
思维启迪 将f（x）化为一个角的一个三角函数，由周期是π求ω，用五点法作图要找关键点．
解
（1）f（x）＝sinωx＋cosωx
＝2（sinωx＋cosωx）＝2sin（ωx＋），
又∵T＝π，∴＝π，即ω＝2.
∴f（x）＝2sin（2x＋）．
∴函数f（x）＝sinωx＋cosωx的振幅为2，初相为.
（2）令X＝2x＋，则y＝2sin＝2sinX.
列表，并描点画出图像：
x
－
X
0
π
2π
y＝sinX
0
1
0
－1
0
y＝2sin
0
2
0
－2
0
（3）方法一 把y＝sinx的图像上所有的点向左平移个单位，得到y＝sin的图像，再把y＝sin的图像上的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到y＝sin的图像，最后把y＝sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到y＝2sin的图像．
方法二 将y＝sinx的图像上每一点的横坐标x缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y＝sin2x的图像；再将y＝sin2x的图像向左平移个单位，得到y＝sin2＝sin的图像；再将y＝sin的图像上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y＝2sin的图像．
思维升华
（1）五点法作简图：
用“五点法”作y＝Asin（ωx＋φ）的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图像．
（2）图像变换：
由函数y＝sinx的图像通过变换得到y＝Asin（ωx＋φ）的图像，有两种主要途径：
“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
已知函数f（x）＝3sin，x∈R.
（1）画出函数f（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图；
（2）将函数y＝sinx的图像作怎样的变换可得到f（x）的图像？
解
（1）列表取值：
x
π
π
π
π
x－
0
π
π
2π
f（x）
0
3
0
－3
0
描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．
（2）先把y＝sinx的图像向右平移个单位，然后把所有的点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f（x）的图像．
题型二 求函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式
例2
（1）已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（其中ω>0，|φ|<）的最小正周期是π，且f（0）＝，则（ ）
A．ω＝，φ＝B．ω＝，φ＝
C．ω＝2，φ＝D．ω＝2，φ＝
（2）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A>0，|φ|<，ω>0）的图像的一部分如
图所示，则该函数的解析式为____________．
思维启迪
（1）根据周期确定ω，据f（0）＝和|φ|<确定φ；
（2）由点（0,1）在图像上和|φ|<确定φ，再根据“五点作图法”求ω.
答案
（1）D
（2）f（x）＝2sin
解析
（1）∵f（x）（ω>0，|φ|<）的最小正周期为π，
∴T＝＝π，ω＝2.∵f（0）＝2sinφ＝，
即sinφ＝（|φ|<），∴φ＝.
（2）观察图像可知：
A＝2且点（0,1）在图像上，
∴1＝2sin（ω·0＋φ），即sinφ＝.
∵|φ|<，∴φ＝.
又∵π是函数的一个零点，且是图像递增穿过x轴形成的零点，∴ω＋＝2π，∴ω＝2.∴f（x）＝2sin.
思维升华 根据y＝Asin（ωx＋φ）＋k的图像求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：
①A的确定：
根据图像的最高点和最低点，即A＝；
②k的确定：
根据图像的最高点和最低点，即k＝；
③ω的确定：
结合图像，先求出周期T，然后由T＝（ω>0）来确定ω；
④φ的确定：
由函数y＝Asin（ωx＋φ）＋k最开始与x轴的交点（最靠近原点）的横坐标为－（即令ωx＋φ＝0，x＝－）确定φ.
如图为y＝Asin（ωx＋φ）的图像的一段．
（1）求其解析式；
（2）若将y＝Asin（ωx＋φ）的图像向左平移个单位长度后得y＝f（x），
求f（x）的对称轴方程．
解
（1）由图像知A＝，
以M为第一个零点，N为第二个零点．
列方程组 解之得
∴所求解析式为y＝sin.
（2）f（x）＝sin
＝sin，
令2x－＝＋kπ（k∈Z），则x＝π＋（k∈Z），
∴f（x）的对称轴方程为x＝π＋（k∈Z）．
题型三 函数y＝Asin（ωx＋φ）的应用
例3 已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0，|φ|<，x∈R）的图像的一部分如下图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[－6，－]时，求函数y＝f（x）＋f（x＋2）的最大值与最小
值及相应的x的值．
思维启迪
（1）→→
解
（1）由图像知A＝2，T＝8，
∵T＝＝8，∴ω＝.
又图像经过点（－1,0），∴2sin（－＋φ）＝0.
∵|φ|<，∴φ＝.∴f（x）＝2sin（x＋）．
（2）y＝f（x）＋f（x＋2）
＝2sin（x＋）＋2sin（x＋＋）
＝2sin（x＋）＝2cosx.
∵x∈[－6，－]，∴－≤x≤－，
∴当x＝－，即x＝－时，y＝f（x）＋f（x＋2）取得最大值；当x＝－π，即x＝－4时，y＝f（x）＋f（x＋2）取得最小值－2.
思维升华 利用函数的图像确定解析式后，求出y＝f（x）＋f（x＋2），然后化成一个角的一个三角函数形式，利用整体思想（将ωx＋φ视为一个整体）求函数最值．
（1）已知函数y＝2sin（ωx＋θ）为偶函数（0<θ<π），其图像与直线y＝2的某两个交点的横坐标为x1、x2，若|x2－x1|的最小值为π，则（ ）
A．ω＝2，θ＝B．ω＝，θ＝
C．ω＝，θ＝D．ω＝2，θ＝
（2）如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离scm和
时间ts的函数关系式为s＝6sin（2πt＋），那么单摆来回摆动一次所需
的时间为（ ）
A．2πsB．πs
C．0.5sD．1s
答案
（1）A
（2）D
解析
（1）∵y＝2sin（ωx＋θ）为偶函数，∴θ＝.
∵图像与直线y＝2的两个交点的横坐标为x1、x2
且|x2－x1|min＝π，∴＝π，ω＝2.
（2）T＝＝1，∴选D.
三角函数图像与性质的综合问题
典例：
（12分）已知函数f（x）＝2sin（＋）·cos（＋）－sin（x＋π）．
（1）求f（x）的最小正周期．
（2）若将f（x）的图像向右平移个单位，得到函数g（x）的图像，求函数g（x）在区间[0，π]上的最大值和最小值．
思维启迪
（1）先将f（x）化成y＝Asin（ωx＋φ）的形式再求周期；
（2）将f（x）解析式中的x换成x－，得g（x），然后利用整体思想求最值．
规范解答
解
（1）f（x）＝2sin（＋）·cos（＋）－sin（x＋π）＝cosx＋sinx[3分]
＝2sin（x＋）[5分]
于是T＝＝2π.[6分]
（2）由已知得g（x）＝f（x－）＝2sin（x＋）[8分]
∵x∈[0，π]，∴x＋∈[，]
∴sin（x＋）∈[－，1]，[10分]
∴g（x）＝2sin（x＋）∈[－1,2][11分]
故函数g（x）在区间[0，π]上的最大值为2，
最小值为－1.[12分]
解决三角函数图像与性质的综合问题的一般步骤：
第一步：
将f（x）化为asinx＋bcosx的形式．
第二步：
构造f（x）＝（sinx·＋
cosx·）．
第三步：
和角公式逆用f（x）＝sin（x＋φ）（其中
φ为辅助角）．
第四步：
利用f（x）
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