重庆市中考数学题型复习题型八二次函数综合题类型二与面积有关的问题练习.docx

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重庆市中考数学题型复习题型八二次函数综合题类型二与面积有关的问题练习

类型二与面积有关的问题

1.如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．

（1）求直线BC与抛物线的解析式；

（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；

（3）在

（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1＝6S2，求点P的坐标．

第1题图

2.（2018原创）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－2x－6与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点T，抛物线顶点为C.

（1）求四边形OTCB的面积；

（2）如图②，抛物线的对称轴与x轴交于点D，线段EF与PQ长度均为2，线段EF在线段DB上运动，线段PQ在y轴上运动，EE′，FF′分别垂直于x轴，交抛物线于点E′，F′，交BC于点M，N.请求出ME′＋NF′的最大值，并求当ME′＋NF′值最大时，四边形PNMQ周长的最小值；

（3）如图③，连接AT，将△OAT沿x轴向右平移得到△O′A′T′，当T′与直线BC的距离为时，求△O′A′T′与△BCD的重叠部分面积．

第2题图

3.（2018原创）如图①，二次函数y＝x2－x＋m的图象交x轴于B、C两点，一次函数y＝ax＋b的图象过点B，与抛物线相交于另一点A（4，3）．

（1）求m的值及一次函数的解析式；

（2）若点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，过P作PQ∥x轴，且PQ＝4（点Q在点P右侧），以PQ为一边作矩形PQEF，且点E在直线AB上；点M是抛物线上另一个动点，且4S△BCM＝5S矩形PQEF.当矩形PQEF的周长最大时，求点P和点M的坐标；

（3）如图②，在

（2）的结论下，连接AP、BP，设QE交x轴于点D，现将矩形PQEF沿射线DB以每秒1个单位长度的速度平移，当点D到达点B时停止．记平移时间为t，平移后的矩形PQEF为P′Q′E′F′，且Q′E′分别交直线AB、x轴于点N、D′，设矩形P′Q′E′F′与△ABP的重叠部分面积为S.当NA＝ND′时，求S的值．

第3题图

4.（2017重庆八中二模）如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E.

（1）求直线AD的解析式；

（2）如图①，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；

（3）如图②，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形．点Q′与点Q关于直线AM对称，连接MQ，PQ.当△PMQ′与▱APQM重合部分的面积是▱APQM面积的时，求▱APQM的面积．

第4题图

答案

1.解：

（1）设直线BC的解析式为y＝kx＋b，

把点B（5，0）和点C（0，5）代入y＝kx＋b，得，解得，

∴直线BC的解析式是y＝－x＋5，

把点B（5，0）和点C（0，5）代入y＝x2＋bx＋c，得，解得，

∴抛物线的解析式是：

y＝x2－6x＋5.

（2）设M（x,x2－6x＋5），N（x，－x＋5），

MN＝（－x＋5）－（x2－6x＋5）

＝－x2＋5x

＝－（x－）2＋（1＜x＜5），

∵－1＜0，

∴抛物线开口向下，MN有最大值，

当x＝时，MN最大值＝.

（3）如解图，设NM交x轴于点E，

在直线y＝－x＋5中，当x＝时，y＝－x＋5＝，

第1题解图

∴当MN最大时，N（，），即NE＝，

在抛物线y＝x2－6x＋5中，

当y＝0时，x2－6x＋5＝0，解得x1＝1，x2＝5，

∴A（1，0），B（5，0），

∴AB＝5－1＝4，

根据题意，S2＝AB·EN＝×4×＝5，

∴S1＝6S2＝30，BC＝＝5，

∴▱CBPQ的边BC上的高h＝＝＝3，

点P在x轴下方，则过点C作CK⊥PQ所在直线l，垂足为K，如解图，则CK的长为3，

直线l交y轴于点H，

根据题意，由于OC＝OB，则△CKH是等腰直角三角形，

∴CH＝CK＝6，

∴OH＝CH－OC＝6－5＝1，即H（0，－1），

∵l∥BC，且与y轴交点纵坐标为－1，

∴直线l的解析式是y＝－x－1.

列方程组，得，解得，，

∴点P的坐标为：

（2，－3）或（3，－4）．

2.解：

（1）如解图①，连接OC，

∵y＝x2－2x－6＝（x－2）2－8，

∴抛物线的顶点坐标为C（2，－8），对称轴为x＝2，

令y＝0，即x2－2x－6＝0，

解得x1＝－2，x2＝6，

∴A（－2，0），B（6，0），

又∵T（0，－6），

∴OT＝6，OB＝6，

∴S四边形OTCB＝S△OTC＋S△OBC＝×6×2＋×6×8＝30.

第2题解图①

（2）如解图②，设E（m，0），

∴F（m＋2，0），

∵B（6，0），C（2，－8），

∴直线BC解析式为y＝2x－12，

∵EE′⊥x轴，FF′⊥x轴，

∴M（m，2m－12），E′（m，m2－2m－6），N（m＋2，2m－8），F′（m＋2，m2－8），

∴ME′＝－m2＋4m－6，NF′＝－m2＋2m，

∴ME′＋NF′＝－m2＋4m－6－m2＋2m＝－（m－3）2＋3，

∴当m＝3时，ME′＋NF′有最大值，最大值为3，

∴E（3，0），F（5，0），

∴M（3，－6），N（5，－2），

∴MN＝2，

∵EF＝PQ＝2，

C四边形PNMQ＝PN＋MN＋PQ＋QM，

MN与PQ的长度不变，

∴当PN＋QM的值最小时，四边形PNMQ周长最小，

如解图②，将点M向上平移2个单位，对应点为G，

∴G（3，－4），

第2题解图②

作点G关于y轴的对称点G′，连接NG′，NG′与y轴的交点为P，则G′（－3，－4），

此时PG＋PN的值最小，即PN＋QM＝G′N的值最小，

∴G′N＝2，

∴C四边形PNMQ最小值＝2＋2＋2.

（3）∵C（2，－8），B（6，0），

∴BC＝4，BD＝4，CD＝8.

如解图③，连接TT′，并延长交BC于点R，过T′作T′S⊥BC于点S，

第2题解图③

∵T′到BC的距离为，

∴T′S＝，

易证△T′RS∽△CBD，∴＝，

∴T′R＝＝.

∵TT′∥x轴，

∴R（3，－6），

∴T′1（，－6），T′2（，－6），

①如解图④，当T′在BC的左侧时，即T′（，－6）在△BCD内部，

第2题解图④

设A′T′与CD的交点为G，

∴△A′O′T′与△BCD重叠部分为四边形GDO′T′，

则△A′GD∽△A′T′O′，

∴O′（，0），

∴A′D＝，

∴＝，

∴GD＝，

∴DO′＝，

∴S重叠＝（GD＋T′O′）××＝；

②如解图⑤，当T′在BC的右侧时，即T′（，－6）在△BCD外部，设A′T′与CD，BC分别交于J，K两点，T′O′与直线BC交于点H.

∴O′（，0），A′（，0），H（，－5），

第2题解图⑤

∴直线A′T′的解析式为y＝－3x＋，

当x＝2时，y＝－6＋＝－.

∴点J（2，－），

，解得，

∴点K（，－），

∴S重叠＝S△BCD－S△CJK－S△BHO′＝BD·CD－JC·（－2）－BO′·O′H

＝×4×8－×（8－）×（－2）－×（6－）×5

＝16－－＝，

∴重叠面积为或.

3.解：

（1）∵点A（4，3）在二次函数y＝x2－x＋m的图象上，

∴×16－×4＋m＝3，解得m＝－3，

则二次函数的解析式为y＝x2－x－3，

令y＝0，得x2－x－3＝0，

解得x1＝－2，x2＝3，

则点B的坐标为（－2，0），点C的坐标为（3，0），

∵A（4，3），B（－2，0）在一次函数y＝ax＋b的图象上，

∴，∴，

∴一次函数的解析式为y＝x＋1.

（2）∵矩形PQEF的周长＝2（PQ＋EQ）＝8＋2EQ，要使周长最大，EQ边长最大即可．

设P（p，p2－p－3），－2＜p＜4，

∴Q（p＋4，p2－p－3），E（p＋4，p＋3），

∴EQ＝p＋3－（p2－p－3）＝－（p－1）2＋，

∴当p＝1时，EQ取最大值，则点P的坐标为（1，－3），

此时S▱PQEF＝4×＝26，

设△BCM中BC边上对应的高为h，由4S△BCM＝5S矩形PQEF，

得4×·BC·h＝5×26，

∵BC＝5，∴h＝13.

设M点的横坐标为x，依题意有＝13，

解得x＝，则点M的坐标为（，13）或（，13）．

∴综上，点P坐标为（1，－3）

点M坐标为（，13）或（，13）．

（3）①当点N在线段AE上时，如解图①，有DD′＝t，OD′＝5－t，D′（5－t，0），N（5－t，－t＋），过点A作AH⊥ND′，

第3题解图①

∴AH∥x轴，

∴NH＝－t＋－3＝－t＋，

设直线y＝x＋1与y轴交于点R，则R（0，1），

∴OR＝1，BR＝，∴sin∠RBO＝.

∵AH∥x轴，∴∠NAH＝∠RBO，

∴sin∠NAH＝，

∴＝，

∴NA＝（－t＋）．

由NA＝ND′，

∴（－t＋）＝（－t＋），解得t＝.

设直线BP的解析式为y＝kx＋b′，

过点B（－2，0），P（1，－3），则，解得，

∴直线BP的解析式为y＝－x－2，若直线BP与P′F′相交于点I，

则点I的坐标为（，－）；

若直线AB与P′F′相交于点J，与PF相交于点K，则点J的坐标为（，），点K的坐标为（1，），

∴IJ＝，KP＝，

∴重叠部分的面积S＝S四边形KPIJ＋S△AKP＝×（＋）×＋××（4－1）＝；

②如解图②，当点N在AB线段上时，有DD′＝t，OD′＝5－t.

第3题解图②

D′（5－t，0），N（5－t，－t＋），

过点A作AH⊥ND′，

∴AH∥x轴，

∴NH＝3－（－t＋）＝t－.

∵AH∥x轴，∴∠NAH＝∠RBO，

∴sin∠NAH＝sin∠RBO＝，

∴＝，

∴NA＝（t－），

∵NA＝ND′，

∴（t－）＝（－t＋），解得t＝，

∴则直线BP：

y＝－x－2与P′F′的交点I的坐标为（－，－），直线AB：

y＝x＋1与P′F′的交点J的坐标为（－，），

∴IJ＝2，且PK＝，N点的坐标为（，），

设直线AP的解析式为y＝k′x＋d，

∵过点A（4，3），P（1，－3），

∴，解得，

则直线AP解析式为y＝2x－5，设它与Q′E′相交于点M，则M的坐标为（，），

∴NM＝－＝1，

∴重叠部分的面积S＝S四边形JKPI＋S四边形NMPK＝×（2＋）×＋×（＋1）×（－1）＝

∴综上所述，重叠的部分面积大小为或.

4.解：

（1）令－x2＋2x＋3＝0，

解得x1＝－1，x2＝3，

∴A（－1，0），B（3，0），

令x＝0，则y＝3，∴C（0，3），

∵点D，C关于抛物线的对称轴x＝1对称，∴D（2，3），

设直线AD的解析式为y＝kx＋b.

将点A（－1，0），D（2，3）代入，得，解得，

∴直线AD的解析式为y＝x＋1.

（2）设点F（x，－x2＋2x＋3），

∵FH∥x轴，

∴H（－x2＋2x＋2，－x2＋2x＋3），

∴FH＝－x2＋2x＋2－x＝－（x－）2＋，

∵－1＜x＜2，

∴当x＝时，FH取最大值，

由直线AD的解析式为：

y＝x＋1，易知∠DAB＝45°.

又∵FH∥x轴，

∴∠FHG＝∠DAB＝45°，

∴FG＝GH＝×＝，