学而思五年级春季下学期超长123班讲义学案试题17讲Word格式.docx

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一6.从1!

、2!

、3!

、…、100!

这100个数中去掉一个数，使得剩下各数的乘积是一个完全平方数，请问：

被去掉的那个数是什么

二名同学，编号为1～100，面向南站成一排，第1次全体同学向后转；

第2次编号为2的倍数的同学向后转；

第3次编号为3的倍数的同学向后转；

……；

第100次编号为100的倍数的同学向后转；

这时，面向南的同学有______名

二名同学，编号为1～100，面向南站成一排，第1次全体同学向右转；

第2次编号为2的倍数的同学向右转；

第3次编号为3的倍数的同学向右转；

第100次编号为100的倍数的同学向右转；

这时，面向东的同学有______名

三3.

（1）形如11…1（n＞1，n个1）的完全平方数有______个；

（2）形如1444…4（n＞1，n个4）的完全平方数有______个；

三5.

+

+1（m、n为自然数）能否为平方数

学案1.称能表示成1+2+3+…+k的形式的自然数为三角数。

有一个四位数N，它既是三角数，又是完全平方数，则N＝______。

学案3.有两个两位数，它们的差是14，将它们分别平方得到的两个平方数的末两位数（个位数和十位数）相同，那么这两个两位数是多少

作业2.试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同

作业3.五个连续的自然数，它们的和是一个完全平方数，中间三个数的和是完全立方数，则这五个数中最小数的最小值是多少

作业5.是否存在自然数a，b，使得2ab11×

7是完全平方数

作业6.已知

是一个四位数，若两位数

是一个质数，

是一个完全平方数，

是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数有哪些

补充1：

有一个数加10是完全平方数，减10还是完全平方数，求这个数

补充2.从1!

×

2!

3!

…31！

32!

划掉谁为完全平方数

补充3.求一个最小的自然数，乘以2后是完全平方数，乘以3后，还是完全平方数。

三：

类比与猜想

1.如果

（其中m与n为互质的自然数）,那么m+n的值是多少

3.一个半径为1厘米的圆，向前滚动了10厘米，求园扫过的面积是多少

4.一个半径为1厘米的圆，沿边长为10厘米的正方形外围滚动了一圈，求园扫过的面积是多少是上一问的4倍吗

5.一个半径我为1厘米的圆，沿长为10厘米，宽为6厘米的长方形外围滚动了一圈，求园扫过的面积

6.一个半径为1厘米的圆，沿着边长为10厘米的菱形滚动一周，求园扫过的面积这个结果与菱形边上的高有关吗

7.一个半径为1厘米的圆，沿边长为10厘米的正六边形外围滚动一圈，求圆扫过的面积是多少沿边长为10厘米的正八边形外围滚动一圈，求圆扫过的面积

8.一个半径为1厘米的圆，沿半径为5厘米的圆外围滚动一圈，求小圆扫过的面积是多少这次我们继续使用之前几问得到的方法来计算，结果是否仍然正确

9.一个半径为r的圆，沿着周长为L的任意凸图形外围滚动一周，求圆扫过的面积

作业3.两枚一模一样的硬币，半径都是1厘米，把其中一枚硬币固定在桌面上，另一枚硬币贴住被固定的硬币，无滑动的绕固定的硬币滚动一周，请问：

（1）滚动的那枚硬币扫过的面积是多少

（2）滚动的那枚硬币绕固定的硬币公转了一圈，那么自转了几圈

（3）如半径为1厘米的硬币绕半径为5厘米的圆环外围无滑动的滚动一周，硬币自转了几圈如半径为1厘米的硬币绕半径为5厘米的圆环内环无滑动的滚动一周，硬币自转了几圈

作业5.某班女生人数是男生的2倍，女生的平均身高为150cm，男生的平均身高是162cm，求全班的平均身高是多少

11.直角三角形ABC中,DE∥AC，BD=20，CF=13，那么△BEF的面积是多少

BDA

F

第五讲带余除法

一4.两个数相除，商9余4，如被除数、除数都扩大原来的3倍，那么被除数、除数、商、余数四数之和是2583。

求原来的被除数和除数各是多少

一5.一个自然数被8除余1，所得的商被8除也余1，再把第二次所得的商被8除后余7，最后一个商是a;

又知这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，最后一个商是2a。

求这个自然数

二5.一个数除以9得到的商和余数相等，求所有满足条件的自然数（商可以为0）

二6.一个数除以8得到的商和余数的和为13，求所有满足条件的自然数。

二7.一个数除以8得到的商加上这个数除以9的余数，其和是13.求所有满足条件的自然数。

三3.

这组数中有_________个大于1

三5.请用高思记号表示：

在1～1000中即不是5的倍数也不是7的倍数的数的数量。

三6.二元一次方程组

三.7用[x]表示不大于x的最大整数，如[]＝4，[]＝2，则方程6x-3[x]-7＝0的解是_______。

学案、B、C三个数之和是57，A除以B、C除以A的商都是3，余数都是1，那么A、B、C分别是多少

学案2.在大于1000的整数中，找出所有被34除后商和余数相等的数，这些数的和是多少

A＝

（[

]+[

]+…+[

]）B＝

]），请判断A、B的大小。

作业1.有三个自然数a、b、c，已知b除以a得商3余3；

c除以a得商9余11；

则c除以b，得到的余数是______。

作业3.一个两位数除351，余数是21，这个两位数最小是多少

作业4.在算式2013÷

□＝△…11填上合适的除法算式，一共可以组成_____个正确的除法算式。

作业5.在[

]、[

]、…、[

]中共出现多少个互不相同的数

作业6.用[x]表示不大于x的最大整数，记{x}＝x-[x]，则算式[

]的值为_______。

作业6.

的值为______

补充年,诺贝尔奖获得者李政道教授到中国科技大学讲学,他给少年班的同学出了这样一道算术题：

有5只猴子在海边发现一堆桃子,决定第二天来平分.第二天清晨,第一只猴子最早来到,它吃掉一个,恰好可以分成5份,它拿上自己的一份走了。

第2,3,4,5只猴子也遇到同样的问题,采用了同样的方法,都是吃掉1个,恰好可以分成5份，自己拿走一份，剩余4份，第5个猴子拿走后剩余4堆。

问这堆桃子至少有多少个。

补充2.有一些四位数每个分别去除以15，17，19，得到的商与余数的和都是相等的，请问满足要求的四位数，最小是多少

第六讲同余

“a和b除以m余数相同”表示为：

a≡b（modm），m≠0。

重要知识点如下：

（1）“和的余数”与“余数的和”同余；

“差的余数”与“余数的差”同余；

“积的余数”与“余数的积”同余；

（2）同余方程

常用“同余做差能整除”，a≡b（modm），m≠0，m|（a-b），对（a-b）进行分解，一般就可以得到需要求解的结果。

（3）一个数与其数字和（mod9）同余.

（4）剩余系:

就是按照除以n的余数从0到n-1分成n类，利用抽屉原理。

一3.一个数除30和23，余数相同，请问这个数是多少

一4.

（1）求（5412×

852）÷

9的余数。

（2）求

÷

9的余数；

（3）有一只猴子摘了一大堆香蕉，他把香蕉平分成3小堆，不多不少。

又把其中一小堆再平分成5份，发现多了一根。

如果他一开始就把香蕉平分成5堆，会多出几根

（4）有一只猴子摘了一大堆香蕉，他把香蕉平分成6小堆，多了2根。

又把其中一小堆再平分成5份，发现多了4根。

一5.

（1）小明按顺序写出了从1开始的完全平方数1、4、9、……除以7的余数，请猜测

除以7的余数是多少

（mod5）。

一6.

（1）求

（mod13）；

（2）已知A＝…2013（2013个2013），求A除以13的余数。

二1.

（1）一个数去除33，48，68，余数相同，请问这个数是几

（2）一个数除50余1，除79余2，除89余5，请问这个数是几

二2.

（1）用412、133、257除以一个相同的自然数，所得余数相同，这个数最大是几

（2）有三个吉利数888、518、666，用他们分别除以同一个自然数，所得的余数分别是a、a+7、a+10，则这个自然数是多少

（3）有一个整数去除70、110、160所得的3个余数之和为50，那么这个整数是多少

（4）有一个自然数，分别去除63、90、130都有余数，并且3个余数之和为25，求最大那个余数是多少

二3.

（1）求

的末位数字；

（2）求证：

10|

－

。

二4.将1到2000的自然数写成一排：

12345…，这个数除以9的余数是多少

二5.

（1）一个三位数是它数字和的33倍，求此数；

（思路）

（2）一个五位数是它数字和的2013倍，求此数；

（3）一个五位数是它数字和的2008倍，求此数；

三1.袁世凯于1916年1月1日星期六称帝，只当了82天就被逼退位，问他退位那天是星期几

三2.小明说，任意6个整数里，一定有某两个数的差是5的倍数，他说的对吗

三3.求证：

1、11、111、1111、11111、……这若干个数里面一定有2013的倍数。

三4.求证：

20、2020、202020…里面一定有2012的倍数。

三、N均为非零自然数，且（

）能被7整除，求（M+N）的最小值。

三6.求1～2013的所有自然数中，有多少个整数x使得

和

被7除的余数相同。

学案1.甲乙两个代表团去参观中山陵，每辆车可以乘36人，两代表团坐满若干辆车后，甲代表团剩下的11人和乙代表团剩下的人恰好又能坐满一辆车。

参观完之后甲代表团的每个成员都与乙代表团的每个成员拍了一张两人合影。

如果一个胶卷可以拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还能拍几张

学案2.我们把拥有0～9所有数码的数称为十全数，求证：

对于任意一个n，必能找到一个十全数是n的倍数。

学案3.任取2013（或n）个数，求证里面一定能选出若干个数之和是2013（或n）的倍数。

作业1.

的末两位数是多少

作业3.请证明不存在三个完全平方数之和为641607。

作业4.请说明任意6个正整数中必然可以选出4个，用这四个数进行四则运算后（各用一次）可以得到15的倍数。

作业6.黑板上写有2000个5、2001个7、2002个8和2003个9。

现在可以进行如下操作：

擦去某3个不同的数，再把没有擦掉的那个数多写2个。

比如擦掉一个5、1个7、1个8，然后写上2个9。

最后黑板上剩下少于3种数时便无法继续操作。

已知黑板最后只剩下3个数字，求这3个数字的积。

补充1,2013年华杯赛决赛最后一题第14题.不为零的自然数n既是2010个数字和相同的自然数之和，也是2012个数字和相同的自然数之和，还是2013个数字和相同的自然数之和，那么n最小是多少

补充2.求出1x3x5x7x.....x2013的末三位

求a除以13的余数是多少

第七讲不定方程

解不定方程的方法：

1、看倍数2.看尾数3.看余数法

同余分析法的步骤：

（1）先求其中一个系数的余数，得到同余方程，

（2）再求出第一个解，之后进行枚举，一般一个未知数的多个解是按照另外一个系数递增/递减

一4.已知x和y分别表示两个自然数，且

＝

，求x+y。

一5.求不定方程7x+11y＝1288的正整数解有多少组

一7.求方程组

的正整数解。

一.8解三元一次不定方程的正整数解：

3x+2y+8z＝40。

二2.小丽计划用31元买每支2元、3元、4元三种不同价格的圆珠笔，每种至少买1支。

问她最多能买多少支最少能买多少支

二3.要把1米长的优质铜管锯成38毫米和90毫米的两种规格的小铜管，每锯一次都损耗1毫米铜管，那么，只有当锯得的两种小铜管各为多少段时，所损耗的铜管才能最少

二4.有三个分子相同的最简假分数，化成带分数后为

、

已知a、b、c都小于10，a、b、c依次为___、___、___。

三1.在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛。

如图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17分、11分和4分。

每人可以仍若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数。

若恰好投在两块（或三块）区域的交界线上，则得到两块（或三块）区域中分数最高区域的分数。

如果比赛规定恰好投中120分才能获奖，要想获奖至少需要投中_______次飞镖。

三2.

学案1.某地收取电费的标准是：

每月用户不超过50度，每度收5角；

如果超过50度，超出部分按每度8角收费。

某月甲用户比乙用户多交了3元3角电费，这个月甲、乙各用了多少度电

学案2.小王用50元买40个水果招待五位朋友，水果有苹果、梨子和杏子三种，每个的价格分别为200分、80分、30分。

小王希望他和五位朋友都能分到苹果，且各人得到苹果数目互不相同，试问他能否实现自己的愿望

学案3.王老师家的电话号码是七位数，将前四位组成的数与后三位组成的数相加得9063；

将前三位组成的数与后四位组成的数相加得2529。

王老师家的电话号码是多少