数学建模全国赛Word格式文档下载.docx
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注
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全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
城市表层土壤重金属污染分析
摘要
针对问题一:
第一将各采样点浓度及坐标数据导入matlab，通过线性插值进行拟合，以颜色深浅表示浓度转变，从而绘出各重金属元素的空间散布图；
第二，利用内梅罗公式计算出各个功能区的综合污染指数，然后与土壤环境质量标准值比较，给出各功能
区的污染品级，从而肯定了不同区的污染程度。
针对问题二：
应用数值分析的方式对各重金属元素数据进行处置，肯定出单污染指数，然后对比各单污染指数与平均相对污染指数，并结合数据从而肯定出污染的主要原因。
针对问题三：
通过对浓度梯度的合理假设成立偏微分方程，从而构建了重金属污染物传播的扩散模型。
进一步按照基于信号衰减的孤立点算法，剔除采样的浓度特异点。
然后按照采样点浓度高低与污染源之间的相关性，从而画出散点图，得出污染源的近似位置。
最后，为更好地研究土壤地质环境，给出应该搜集的信息。
在此基础上，对样本点进行模糊聚类分析，以便降低在肯定污染源位置时的误差。
并成立起指数模型，为土壤环境污染趋势提供必然的预测作用。
关键词：
线性插值综合污染指数偏微分方程扩散孤立点算法相关性
模糊聚类分析
一．问题的重述
随着城市经济的快速进展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出，研究人类活动影响下的地质环境的演变模式，日趋成为人们关注的核心。
题目中给出了对城市土壤依照生活、工业、山区、交通干道和公园绿化区进行分类，并对各个区域进行了分区采样分析。
试通过题目中说给出个数据，成立合理的数学模型给出各类重金属元素在该城区的空间散布，并分析不同区域的重金属污染程度；
通过数据分析，说明污染的主要原因；
分析传播特征，肯定污染源位置。
二．大体假设
为了简化研究问题，咱们进行如下必要假设：
（1）每种重金属元素的污染源唯一。
（2）污染物浓度和其到污染源的距离存在相关性。
（3）污染物进入土壤液相中后不发生化学转变
（4）肯定污染源位置时，不考虑地理条件不同产生的影响。
（5）不考虑物理吸附。
（6）重金属污染物在土壤中具有必然的浓度梯度。
（7）单位时刻内通过土壤剖面的重金属污染物（流量）与其浓度梯度成正比，即传播进程服从扩散定律。
三．符号说明
i：
重金属污染物元素种类（i=1,2...8）
j：
城市功能区编号（j=1,2...5）
：
第i种重金属污染物元素的实测浓度
第i种重金属污染物元素的参考背景值
:
第i种元素在第j个功能区的绝对污染指数（i=1,2...5;
j=1,2...8）
第i种元素在第j个功能区的相对污染指数（i=1,2...5;
v:
重金属在土壤中的扩散速度
四．问题分析
城市土壤是一个城市的重要组成部份，环境污染研究中特别关注的是Hg,Cd,Pb,Cr和类金属As，毒性重金属Cu和Zn等[1]。
重金属在土壤中不易被微生物分解，且具有明显的生物富积作用，重金属主要通过对作物的产量和品质的表现其危害。
因此环境中的重金属暗藏期较长，污染源及地域复杂。
很连年来，科学家们一直在寻觅合理、高效、经济的方式来解决重金属污染问题。
重金属污染的研究，主要分为污染特征的研究和污染源的解析两个方面。
重金属污染研究现状
对于污染特征的研究，吴新民[2]等通过了对南京市各个功能区污染程度和内梅罗重金属综合污染指数的分析，说明了各功能区之间污染程度存在明显不同，其中工业区居高；
马溪平[3]等以沈阳冶炼厂厂区及其周围土壤为对象，研究土壤重金属污染状况及其空间散布特征。
结果表明，以冶炼厂为中心，土壤中重金属元素随气流以下风向扩散为优势，致使重金属呈现明显的空间散布不同。
对于污染源的解析，王学松[4]等通过因子分析法（FA）和聚类分析大致是识别了表层土壤中重金属元素的来源；
史贵涛等[5]通过Pearson相关分析和主成份分析，推测人类活动造成骨干道路区为主要污染源。
本文解决的问题及方案
问题一:
要给出重金属元素的空间散布，即要求给出城区任意一点元素的浓度及位置。
而样本点的浓度和坐标已知，因此能够将数据导入matlab，然后用插值拟合的方式即可绘制出城区各功能区重金属元素的散布图。
而要分析不同区域污染程度就需要计算污染指标，然后与标准值比较从而划分污染品级。
问题二：
分析重金属污染的主要原因，能够概念相对和绝对污染指数，然后每一个功能区计算一个平均值，大于该平均值的元素即为引发污染的主要原因，然后结合个元素浓度散布情形定性分析。
问题三：
有生活实际能够明白离污染源近的点污染物浓度较其他点高，也即符合衰减规律。
因此能够类比无线电信号的衰减，成立一个算法剔除异样点慢慢缩小范围，进而肯定污染物位置近似值。
五．模型的成立与求解
问题一的求解
重金属元素在该城区的空间散布
将题中说给出的数据带入到matlab中，编写如下算法，得出该城区的海拔高度图、功能区散布图和各类元素的空间散布图。
（如图1-10所示）
图1.该城区的海拔高度图图2.该城区的功能区散布图
按照图一、图2说给出的等高线反映出的特征，能够得出如下结论：
海拔高的区域
为山区，生活区、工业区、公园区等人类活动密集的区域多散布在海拔地，地势较平坦
的地域。
而骨干道路散布在二者之间，该散布符合人类进展的客观规律。
图元素在该区域的空间散布图图元素在该区域的空间散布图
图元素在该区域的空间散布图图元素在该区域的空间散布图
由图像反映的特征，能够看出：
Cr、Ni和Zn主要散布在生活区、工业区和二者
之间的骨干道路区域；
Cu散布在工业区数量较大；
Hg只在山区部份散布量少；
As散布
在工业区稍多，但总量较小；
Cd散布在各区域量均较大，以工业区最为严峻；
Pb主要
散布在工业区内。
不同功能区的重金属污染程度评价
本文在模型假设中已假定每种元素污染源唯一，则可依照不同功能的金属含量平均量来进行统计，结果如下表。
分析表格中的数据可知，不同功能区内，重金属污染的程度完全不同。
以Hg与Cd来讲，工业区和骨干道路含量明显偏高，而生活区的Zn元素相对于其他元素偏高。
工业区的Hg平均含量乃至达到了642
.用内梅罗公式[6]评价不同功能区重金属元素的污染程度：
计算数据见上表2，结合国家土壤环境标准值[7]，划分污染品级如下：
污染等级
一级
二级
三级
功能区
山区
公园，生活区
工业区，主干道
问题二的求解
关于各功能区内主要污染物质的定量分析
通过数值分析的方式，对各功能区各重金属元素别离进行处置，得出相对污染指数的，并以元素的平均相对污染指数作为评价量纲，定量的分析各个功能区内的主要污染物质。
公式：
绝对污染指数
相对污染指数
表2.各重金属元素在各功能区内的平均相对污染指数
As
Cd
Cr
Cu
Hg
Ni
Pb
Zn
生活区
工业区
主干道
公园
上表中，平均相对污染指数的均值为，咱们概念平均相对污染指数大于该
均值的元素即为对应功能区重金属污染的主要原因。
从表中数据可得：
生活区的主要污染项目为Cu、Zn；
工业区的主要污染项目为Cd、Cu、Hg、Pb、Zn；
山区污染情形较低，可看成未受重金属严峻污染；
骨干道路的主要污染项目为Cd、Cu、Hg、Zn。
关于各区主要污染项目产生原因的定性分析
以生活区来讲，Cu和Zn的污染比较严峻，主要原因可能是由于建筑垃圾随意抛弃，氧化后进入土壤表层，另一方面，杀虫剂和废物燃烧也是主要因素；
同时，工业区和骨干道路的Cu与Zn元素超标组成严峻污染。
结合污染指数进行分析，二者存在依存关系，即他们的污染途径是相似的。
值得关注的是，在公园绿化区的Hg严峻超标，这可能与该地带的人为建筑活动与人类交通活动有关，因为燃油中富含Hg元素。
问题三的求解
重金属污染物传播特征的分析
对于重金属污染物的浓度来讲，由于污染物浓度不均匀，污染物会由浓度高的地方向浓度低的地方传播，这种现象称之为扩散。
在本问题中，污染物的传播知足守恒原理和持续原理，故能够在此基础上成立传播特征的偏微分方程[8]模型。
由假设7，设重金属污染物的扩散系数为D，浓度梯度为
。
由上述假设能够取得单位时刻通过单位法向面积的重金属污染物流量
，负号表示由浓度高向浓度低的方向扩散。
在
点取空间域微元
，曲面为s,取
时刻段内通过
污染物的扩散量：
设P点湖水的流速为
，则在
内通入
该变量为：
而
中污染物增量为：
由于污染物知足守恒定律
故结合曲面积分的高斯公式，容易患出污染物的扩散方程：
，
其中
为金属污染物在土壤中的迁移速度，
特别地
，上述扩散方程变成：
为了便于计算，取初始条件
利用Fourier变换取得：
从而将问题转化为常微分方程：
易知该方程初值问题解为
再次进行逆变换，取得：
由于迁移速度v极小，因此x-vt近似可用v代替。
固按时刻t和坐标z对x,y进行拟合，图像大致如图所示：
对c的解析式和图形进行分析能够得知，重金属污染物的传播受时刻与空间控制，图形某个剖面可近似视为服从多维正态散布。
重金属污染源位置解析
结合题中给出的统计数据和问题一中的空间散布能够看出，数据中存在着许多的孤立点，即在其周围的某领域内，不存在浓度与其相近的点值。
这种点的产生可能是由于分析收集样本点时造成的数据统计错误，或样本点的收集不够均匀，造成收集上的孤立点。
所以在本题的数据处置方式选择上，若是采用传统的函数拟合、多元回归分析等方式，就会受到独立点的影响，造成拟合参数（回归参数）不肯定，且两次处置结果取得的参数存在较大的误差。
因此，单纯利用题中给出的位置和浓度数据，很难成立出二者的内在关系。
但由于假设（3）、（5）和重金属污染物扩散的客观情形，不难看出，重金属污染物的浓度随着与污染源距离呈递减趋势。
因此，在此问题数据处置的方式方式上，类比蜂窝移动定位技术中信号传递规律与定位算法，把污染浓度的衰减看成网络信号衰减的问题来研究。
为了提高源位置解析的准确率，采用基于距离的孤立点检测算法[9]将不同位置估量点进行扫描，剔除其中的孤立点，将剩下的位置估量点的计算中心作为最后的解析源位置输出。
下面给出该算法下污染源解析的进程：
（1）数据的初步挑选：
对题目中给出的重金属元素浓度值，依照降序排列，取其中的前m组做为源位置解析的数据。
（2）数据的进一步挑选：
对于上述若干组数据，计算其均值、标准差。
在传播规律中咱们已经肯定元素的散布规律能够近似的视为多维正态散布，所以采用正态散布中的
原则进行进一步的挑选，剔除对数据影响较大的点。
（3）计算距离矩阵：
对于剩下的n组数据，计算对象两两之间的距离d，形成距离矩阵：
其中，
表示第i个点到第j个点绝对距离
，剔除孤立点：
令
，即
为矩阵R中第i行的和，
值越大，说明对象i与其他对象距离越远，
最大的M个对象即为孤立点。
（4）污染源位置解析：
将孤立点剔除后，对剩下的结果的点取算术平均值，就是污染源定位的估量位置。
六．模型评价
本文从假设动身，第一通过matlab插值给出了各重金属元素的空间散布，并利用内梅罗公式计算出综合污染指数，从而结合土壤质量标准值给出了污染品级；
第二，成立了污染物传播的扩散模型，然后类比无线电信号衰减的孤立点算法求出污染源近似位置散点图；
最后就指数模型给出了土壤地质趋势预测。
这些都是模型的可取的地方，可是由于未考虑物理吸附和地理条件的不同，模型在肯定污染源位置时存在必然误差，这是模型需要改良和完善的地方。
七．模型迁移
数据搜集
为了更好地熟悉城市土壤地质规律，应搜集如下信息：
（1）不同深度分层采样：
由于题目给出的是0-10cm深度取一个样本，忽略了深度对样本点浓度的影响。
一般来讲，浓度梯度随土壤层深度增加而减小，因此不同深度分层取样。
（2）土壤含水量：
由于在分析污染物传播特征时成立了扩散模型，而当含水量转变时扩散速度会有相应变更。
所以搜集含水量信息很有必要。
（3）PH值：
由国家土壤质量标准能够看出，污染品级肯定和土壤酸碱性有关。
（4）排污量：
排污量直接影响土壤质量，排污量包括废气和污水等排放量。
模型拓展
为了更好地熟悉城市土壤地质规律，主如果进行两方面的研究。
（1）针对目前土壤地质环境，作出相应治理及预防。
（2）利用已知数据，做出土壤地质趋势预测。
为此，在搜集排污情形和土壤含水量等相关数据后，结合实际对模型进行以下迁移和拓展。
样本不同深度分层取样后，对不同重金属污染物样本进行模糊聚类分析。
然后以不同类别样本结合算法寻求污染源，从而消除浓度的特异值，减小误差。
模糊聚类分析就是通过各类样本的相似系数来刻画其聚类程度，设有污染物浓度样本Ci=（c1i,c2i…cpi）,Cj=（c1j,c2j…cpj）,则相似系数概念如下：
其中，
由于土壤地质系统能够视为广义的能量系统，而能量的积存和释放一般具有指数规律。
因此，能够结合指数预测模型对土壤地质给出预测。
设原始浓度序列为C（0）=（c（0）
（1）,c（0）
（2）…c（0）（n））,通过一阶累加算子作用生成C
（1）=（c
（1）
（1）,c
（1）
（2）…c
（1）（n）），则有指数预测原始模型形式:
C（0）（k）+aC
（1）（k）=bk=1,2,3…n
其中，a为进展系数，b为作用系数。
通过最小二乘估量参数列
，进而可取得响应式：
k=1,2,3…n
利用上述响应式即可求出重金属污染物浓度预测值，进而为土壤地质演变预测提供依据
参考文献
[1]于瑞莲，胡恭任，土壤中重金属污染源解析研究进展[A].有色金属，60（4）：
158-165，2008
[2]吴新民，李恋卿，潘根兴，等.南京市不同功能城区土壤中重金属Cu、Zn、Pb、和Cd的污染特征[A].环境科学，24（3）：
[3]马溪平，李法云，肖鹏飞，等.典型工业区周围土壤重金属污染评价及空间散布[A].哈尔滨工业大学学报，39
（2）：
326-329，2007
[4]王学松，秦勇.徐州城市表层土壤中重金属环境风险测度与源解析[J].地球化学，35
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[5]史贵涛，陈振楼，许世远，等.上海城市公园土壤及尘埃中重金属污染特征[J].环境科学，28
（2）：
238-242，2007
[6]吴新民，潘根兴等.南京市不同功能城区土壤中重金属污染特征.环境科学，第二十四卷第三期：
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高等教育出版社，
[9]朱江，戚正伟.基于信号衰减和孤立点检测的移动定位算法[A].运算机工程，36（3）280-283，2010
附件：
[X,Y,Z]=griddata（x,y,z,linspace（0,28654）'
linspace（0,18499）,'
v4'
）;
%海拔等温线图
figure,contourf（X,Y,Z）
[X,Y,Z]=griddata（x,y,fucn,linspace（0,28654）'
%功能区等温线图
[X,Y,Z]=griddata（x,y,As,linspace（0,28654）'
%As元素等温线图
[X,Y,Z]=griddata（x,y,Cd,linspace（0,28654）'
%Cd元素等温线图
[X,Y,Z]=griddata（x,y,Cr,linspace（0,28654）'
%Cr元素等温线图
[X,Y,Z]=griddata（x,y,Cu,linspace（0,28654）'
%Cu元素等温线图
[X,Y,Z]=griddata（x,y,Hg,linspace（0,28654）'
%Hg元素等温线图
[X,Y,Z]=griddata（x,y,Ni,linspace（0,28654）'
%Ni元素等温线图
[X,Y,Z]=griddata（x,y,Pb,linspace（0,28654）'
%Pb元素等温线图
[X,Y,Z]=griddata（x,y,Zn,linspace（0,28654）'
%Zn元素等温线图
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