离散数学第五版清华大学出版社第文档格式.docx
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可编辑范本
(8)¬
p↔¬
以上命题中,
(1),(3),(4),(5),(8)为真命题,其余均为假命题。
分析本题要求读者记住p→q及p↔q的真值情况。
p→q为假当且仅当p为真,q为假,而p↔q为真当且仅当p与q真值相同.由于p与q都是真命题,在4个蕴含式中,只有
(2)p→r,其中,p同
(1),r:
明天为3号。
在这里,当p为真时,r一定为假,p→r为假,当p为假时,无论r为真还是为假,p→r为真。
2
1.5
(1)p∧q,其中,p:
2是偶数,q:
2是素数。
此命题为真命题。
(2)p∧q,其中,p:
小王聪明,q:
小王用功
(3)p∧q,其中,p:
天气冷,q:
老王来了
(4)p∧q,其中,p:
他吃饭,q:
他看电视
(5)p∧q,其中,p:
天下大雨,q:
他乘公共汽车上班
(6)p→q,其中,p,q的含义同(5)
(7)p→q,其中,p,q的含义同(5)
q,其中,p:
经一事,q:
长一智
分析1°
在前4个复合命题中,都使用了合取联结词,都符号化为合取式,这正说明合取联结词在使用时是很灵活的。
在符号化时,应该注意,不要将联结词部分放入简单命题中。
例如,在
(2)中,不能这样写简单命题:
p:
小王不但聪明,q:
小王而且用功。
在(4)中不能这样写:
他一边吃饭,q:
他一边看电视。
2°
后4个复合命题中,都使用了蕴含联结词,符号化为蕴含式,在这里,可编辑范本
关键问题是要分清蕴含式的前件和后件。
p→q所表达的基本逻辑关系为,p是q的充公条件,或者说q是p的必要条件,这种逻辑关系在叙述上也是很灵活的。
例如,“因为p,所以q”,“只要p,
就q”“p仅当q”“只有q才p”“除非q,否则¬
p”“没有q,就没有p”等都表达了q是p的必要条件,因而都符号化为p→q或¬
q的蕴含式。
在(5)中,q是p的必要条件,因而符号化为p→q,而在(6)(7)中,p成了q的必要条件,因而符号化为q→p。
在(8)中,虽然没有出现联结词,但因两个命题的因果关系可知,应该符号化为蕴含式。
1.6
(1),
(2)的真值为0,(3),(4)的真值为1。
(1)中公式含3个命题变项,因而它应该有23=8个赋值:
000,3001,…,111题中指派p,q为0,r为1,于是就是考查001是该公式p∧(q∧r)的成真赋值,还是成假赋值,易知001是它的成假赋值。
在公式
(2),(3),(4)中均含4个命题就项,因而共有24=16个赋值:
0000,0001,…,1111。
现在考查0011是它的成假赋值。
1.7
(1),
(2),(4),(9)均为重言式,(3),(7)为矛盾式,(5),(6),(8),(10)为非重言式的可满足式。
一般说来,可用真值表法、等值演算法、主析取范式(主合取范式)法等判断公式的类型。
(1)对
(1)采用两种方法判断它是重言式。
真值表法
表1.2给出了
(1)中公式的真值表,由于真值表的最后一列全为1,所以,
(1)为重言式。
p∨q∨rp→(p∨q∨r)
pqr
00001
00111
01011
01111
10011
10111
11011
11111
等值演算法
p→(p∨q∨r)
⇔¬
p∨(p∨p∨r)(蕴含等值式)
⇔(¬
p∨p)∨p∨r(结合律)
⇔1∨q∨r(排中律)
⇔1(零律)
4
由最后一步可知,
(1)为重言式。
(2)用等值演算法判
(2)为重言式。
(p→¬
p)→¬
p
p∨¬
)→¬
p(蕴含等值式)
p(等幂律)
⇔p∨¬
⇔1(排中律)
(3)用等值演算法判(3)为矛盾式
¬
(p→q)∧q
(p¬
∨q)∧q(蕴含等值式)
q∧q(xx·
摩根xx)
⇔p∨(¬
q∧q)(结合律)
⇔p∧0(矛盾律)
⇔0(零律)
由最后一步可知,(3)为矛盾式。
(5)用两种方法判(5)为非重言式的可满足式。
pq¬
p¬
p→qq→¬
p(¬
p→q)→(q→¬
p)001011
011111
100111
110100
由表1.3可知(5)为非重言式的可满足式。
主xxxx
(¬
p)
⇔(p∨q)→(¬
q∨¬
5
(p∨q)∨(¬
q)∨¬
p∧1)∨(1∧¬
q)
p∧(¬
q∨q)∨((¬
p∨p)∧¬
p∧¬
q)∨(¬
p∨q)∨(¬
q)∨(p∨¬
⇔m0∨m1∨m2.
在(3)的主析取范式中不含全部(4个)极小项,所以(3)为非重言式的可满足式,请读者在以上演算每一步的后面,填上所用基本的等值式。
其余各式的类型,请读者自己验证。
分析1真值表法判断公式的类别是万能。
公式A为重言式当且仅当A的o真值表的最后一旬全为1;
A为矛盾式当且仅当A的真值表的最后一列全为0;
A为非重言式的可满足式当且仅当A的真值表最后一列至少有一个1,又至少有一个0。
真值表法不易出错,但当命题变项较多时,真值表的行数较多。
2o用等值演算法判断重言式与矛盾式比较方例,A为重言式当且仅当A与1等值;
A为矛盾式当且仅当A与0等值,当A为非重言式的可满足式时,经过等值演算可将A化简,然后用观察法找到一个成真赋值,再找到一个成假赋
值,就可判断A为非重言式的可满足式了。
例如,对(6)用等值演算判断它的类型。
(p∧¬
p)↔q
⇔0↔q(矛盾律)
⇔(p→q)∧(q→0)(等价等值式)
0∨q)∧(¬
q∨0)(蕴含等值式)
⇔(1∨q)∧¬
q(同一律)
⇔1∧¬
q(零律)
6
到最后一步已将公式化得很简单。
由此可知,无论p取0或1值,只要q取0值,原公式取值为1,即00或10都为原公式的成真赋值,而01,11为成假赋值,于是公式为非重言式的可满足式。
用主析取范式判断公式的类型也是万能的。
A为重言式当且仅当A的主析取范式含2n(n为A中所含命题变项的个数)个极小项;
A为矛盾式当且仅当A的主析取范式中不含任何极小项,记它的主析取范式为0;
A为非重言式的可满足式当且仅当A的主析取范式中含极小项,但不是完全的。
当命题变项较多时,用主析取范式法判公式的类型,运算量是很大的。
用主合取范式判断公式的类型也是万能的。
A为重言式当且仅当A的主合取范式中不含任何极大项,此时记A的主合取范式为1;
A为矛盾式当且仅当A的主合取范式含2n个极大项(n为A中含的命题变项的个数);
A为非重言式的可满足式当且仅当A的主析取范式中含含极大项,但不是全部的。
1.8
(1)从左边开始演算
(p∧q)∨(p∧¬
⇔p∧(q∨¬
q)(分配律)
⇔p∧1(排中律)
⇔p.(同一律)
(2)从右边开始演算
p→(q∧r)
p∨(q∧r)(蕴含等值式)
p∨q)∧(¬
p∨r)(分配律)
⇔(p→q)∧(p→r).(蕴含等值式)
(3)从左边开始演算
(p↔q)
7
⇔((p→q)∧(q→p))
((¬
p∨q))
p∧q)∨(¬
p∧)∨(q∧¬
q)∨(p∧q))⇔¬
q)∨(p∧q))
⇔(p∨q)∧¬
(p∧q).
请读者填上每步所用的基本等值式。
本题也可以从右边开始演算(p∨q)∧¬
(p∧q)
((p∨q)∧¬
(p∨q)∨¬
(p∧q))
p∧q)∧(¬
q∨p)∧(¬
q∨q))⇔¬
(1∧p∨q)∧(¬
q∨p)∧1⇔¬
((p→q)∧(q→p))
(p↔q).
读者填上每步所用的基本的等值式。
1.9
(1)
((p∧q)→p)
(p∧q)∨p(蕴含等值式)⇔¬
(p∧q)∨p)(德·
摩根律)⇔p∧q∧¬
p(结合律、交换律)⇔(p∧¬
p)∧q(矛盾式)⇔0.(零律)
8
由最后一步可知该公式为矛盾式。
(2)((p→q)∧(q→p))→(p↔q)
(p∧q)∨p)(蕴含等值式)
由于较高层次等价号两边的公式相同,因而此公式无成假赋值,所以,它为重言式。
(3)(¬
p)(蕴含等值式)
p∧q)∨¬
p(德·
摩根律)
p(吸收xx)
q.(交换律)
由最后一步容易观察到,11为该公式成假赋值,因而它不是重言式,又00,01,10为成真赋值,因而它不是矛盾式,它是非重言式的可满足式。
1.10题中给出的F,G,H,R都是2元真值函数。
给出的5个联结词集都是全功能集,可以用观察法或等值演算法寻找与真值函数等值的公式。
首先寻找在各联结词集中与F等值的公式。
(1)设A=¬
(p→q),易知A是{¬
→}中公式且与F等值,即F⇔A.
(2)设B=p∧¬
q,易知B是{¬
∧}中公式且与F等值,即F⇔B.(3)设C=¬
p∨q),易知C是{¬
∧}中公式,且F⇔C.
(4)设D=(p↑(q↑q))↑(p↑(q↑q)),易知D为{↑}中公式,且F⇔D.(5)设E=(p↓p)↓q,易知E为{↓}中公式,且F⇔E.
只要找到一个联结词集中与F等值的公式,经过等值演算就可以找出其他联结词集中与F等值的公式。
例如,已知A=¬
(p→q)是{¬
→}公式,且F⇔A。
进行以下演算,就可以找到F等值的其他联结词集中的公式。
对A进行等值演算,消去联结词→,用¬
,∧取代,得
9
A=¬
(p→q)
p∨q)
⇔p∧¬
q记为B.
则B为{¬
∧}中公式,且F⇔B。
再对A进行等值演算,消去→,用¬
p∨q)记为C.
则C为{¬
∧}中公式,且F⇔C。
再对B进行演算,消去¬
,→,用↑取代,在演算中,注意,对于任意的公式A,有
A⇔¬
(A∧A)⇔A↑A.
B=p∧¬
⇔p∧(q↑q)
(p∧(q↑q))
(p↑(q↑q))
⇔(p↑(q↑q))↑(p↑(q↑q)记为D.
则D为{↑}中公式,且F⇔D.再对C进行演算,消去¬
∨,用↓取代,在演算中注意,对于任意的公式A
(A∨A)⇔A↓A.
C=¬
p↓q
⇔(p↓p)↓q记为E.
则E为{↓}中公式,且F⇔E.
开始找一个与某真值函数等值的公式的方法,除观察法外,就是根据10该真值函数的真值表,求它的主析取范式,而后进行等值演算即可。
例如,由G的真值表可知G的主析取范式为m1∨m3,于是
G⇔m1∨m3
p∧q)∨(p∧q)
p∨p)∧q
⇔q.
由于公式q不带联结词,所以,它应该为任何联结词集中的合式公式。
3°
在各联结词集中找到的与某真值函数等值的公式并不唯一。
例如,取A=¬
q→q.({¬
→}中公式)
B=q∧q.({¬
∧}中公式)
C=q∨q.({¬
∨}中公式)
D=(q↑q)↑(q↑q).({↑}中公式)
E=(q↓q)↓(q↓q).({↓}中公式)
则G⇔A⇔B⇔C⇔D⇔E,对于同一个真值函数G,找到与它等值的形式各异的公式。
对于H和R,请读者自己去完成。
1.11
(1)对C是否为矛盾式进行讨论。
当C不是矛盾式时,A∨C⇔B∨C,则一定有A⇔B,这是因为,此时,A∨C⇔A,B∨C⇔B,所以,有
A⇔A∨C⇔B∨⇔B
必有A⇔B
而当C不是矛盾式时,A∨C⇔B∨C,不一定有A⇔B,举反例如下:
设A,B,C均为含命题变项p,q的公式,A,B,C及A∨C,B∨C的真值表如表
1.4所示,从表1.4可看出,A∨C⇔B∨C,但A⇔B。
表1.4
11
pqABCAVCBVC
0000000
0100000
1011111
1101111
(2)对C是否为重言式进行讨论:
若C为重言式,则A∧C⇔A,C⇔B,于是
A⇔A∧C⇔B∧C⇔B.
因而有
A⇔B
当C不是重言式时,请读者举反例说明,A∧C⇔B∧C时,不一定有A⇔B.(3)若¬
B,则A⇔B.证明如下:
A(双重否定xx)
B(¬
B)
⇔B(双重否定xx)
所以
1.12
(1)设
(1)中公式为A.
A⇔(p∨(q∧r))→(p∧q∧r)
(p∨(q∧r))∨(p∧q∧r)
q∧¬
r)∨(p∧q∧r)
A⇔(¬
q∧(¬
r∧r))∨(¬
p∧q∧r)∧¬
∨(¬
p∧q∧¬
A⇔m0∨m1∨m7
12
于是,公式A的主xx为
m0∨m1∨m2∨m7易知,A的主合取范式为
M3∨M4∨M5∨M6A的成真赋值为
000,001,010,111A的成假赋值为
011,100,101,110
(2)设
(2)中公式为B
B⇔(¬
p→q)→(¬
q∧p)
p∨q)→(¬
q∧p
q∧p(吸收xx)
⇔((¬
p∨q)∧¬
)∨p∧(¬
q)∨p∧(p∧¬
q)∨(p∧q)⇔m0∨m2∨m3
所以,B的主析取范式为m0∨m2∨m3.B的主合取范式为M1
B的成真赋值为00,10,11.
B的成假赋值为01.
(3)设(3)中公式为C.
C⇔¬
(p→q)∧q∧r
⇔(p∧¬
q)∧q∧r]
13⇔p∧(¬
q∧q)∧r
⇔p∧0∧r
⇔0.
所以,C的主xx为0.
C的主合取范式为M0∧M1∧M2∧M3
C的成假赋值为00,01,10,11
C无成真赋值,C为矛盾式.
设公式A中含n(n≥1)个命题变项,且A的主析取范式中含l(0≤l≤2n)个极小项,则A的主合邓范式中含2n−l个极大项,而且极大项的角标分别为0到2n−1这2n个十进制数中未在A的主析取范式的极小项角标中出现过的十进制数.
在
(1)中,n=3,A的主析取范式中含4个极小项,所以,A的主合取范式中必含23−4=4个极大项,它们的角标为0到7中未在主析取范式的极小项角标中出现过的3,4,5,6.这样,只要知道A的主析取范式,它的主合邓范式自然也就知道了,在
(2),(3)中情况类似.
A的主析取范式中极小项角标的二进制表示即为A的成真赋值.在
(1)中,由于主析取范式中的极小项角标分别为0,1,2,7,它们的二进制表示分别为
000,001,010,111,所以,A的成真赋值为以上各值.类似地,A的主合取范式中所含极大项角标的二进制表示,即为A的成假赋值.
1.13
(1)首先求p→(q→r)的主析取范式.
p→(q→r)
p∨(¬
q∨r)
q∨r).
由于演算过程较长,可以分别先求出由¬
p,¬
q,r派生的极小项.注意,本公式中含3个命题变项,所以,极小项长度为3.
14
p⇔¬
q∨q)∧(¬
r∨r)
q∧r)∨(¬
q∧r)
r)∨(¬
⇔m0∨m1∨m2∨m3
p⇔(¬
r)∨(p∧¬
⇔m0∨m1∨m4∨m5
r⇔(¬
p∨p)∧(¬
q∨q)∧r
q∧r)∨(p∧q∧r)
⇔m1∨m31∨m5∨m7
p→(q→r)⇔m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m7
类似地,可求出q→(p→r)主的析取范式也为上式,由于公式的主析取范式的唯一性,可知,
(p→(q→r))⇔(q→(p→r)).
(2)①
p↑q
q∨q))∨((¬
p∧q))∨((¬
p)∨(p∧¬
p∧q)∨(p∨¬
15
②p↓q
⇔m0.
由于p↑q与p↓q的主析取范式不同.因而它们不等值,即p↑q⇔p↓q.
1.14设p:
A输入;
设q:
B输入;
设r:
C输入;
由题的条件,容易写出FA,FB,FC的真值表,见表1.5所示.由真值表分别写出它们的主析范邓范式,而后,将它们都化成与之等值的{↓}中的公式即可.表1.5
pqrFFF
ABC
000000
001001
010010
011010
100100
101100
110100
111100
FA⇔(p∧¬
q∧r))∨(p∧q∧¬
q)∧(¬
r∨r)∨(p∧q)∧(¬
q)∨(p∧q)
⇔p
16
(p↓q)
⇔(p↓q)↓(p↓p)
FB⇔(¬
p∧q∧r)
p∧q)
⇔p↓¬
⇔p↓(q↓q).
FC⇔(¬
p∧r)
(p∨q)∧r
⇔(p↓q)∧r
((p↓q)∧r
(p↓q)∨¬
r
(p↓q)↓¬
⇔((p↓q)↓(p↓q))↓(r↓r)\
分析在将公式化成{↑}或{↓}中公式时,应分以下几步:
(1)先将公式化成全功能集{¬
∧,∨}中的公式.
(2)使用
(A∧A)⇔A↑A,
17
或
(A∨A)⇔A↓A.使用双重否定律
A∧B⇔¬
(A∧B)⇔¬
(A↑B)
⇔(A↑B)↑(A↑B)或
A∨B⇔¬
(A∨B)⇔¬
(A↓B)
⇔(A↓B)↓(A↓B)使用xx·
摩根xx
A∨¬
A↓¬
B⇔(A↓A)↓(B↓B)或
A∧¬
A↑¬
B⇔(A↑A)↑(B↑B)1.15设p:
矿样为铁;
q:
矿样为铜;
r:
矿样为xx.
设
F1⇔(甲全对)∧(乙对一半)∧(丙全错),
q)∧((¬
r)∨(p∧r))∧(¬
p∧r)⇔(¬
r∧¬
p∧r)可编辑范本
q∧p∧r∧¬
⇔0∨0⇔0.
F2⇔(甲全对)∧(乙全错)∧(丙对一半)
q)∧(p∧¬
r)∧((p∧r)∨(¬
r)
18
q∧p∧¬
r∧p∧r)
⇔0∨0⇔0
F3⇔(甲对一半)∧(乙全对)∧(丙全错)
p∧q)∨(p∧¬
q))∧(¬
p∧r)∨(¬
p∧r∧¬
p∧r
∨(p∧¬
p∧q∧r)∨0
p∧q∧r.
F4⇔(甲对一半)∧(乙全错)∧(丙全
对)⇔((¬
q))∧(p∧¬
r)∧(p∧¬
r)⇔(¬
p∧q¬
∧¬
r∧p∧¬
⇔0∨(p∧¬
r.
F5⇔(甲会错)∧(乙对一半)∧(丙全对)
⇔(p∧q)∧((¬
r)∨(p∧r))∧(p∧¬
⇔(p∧q∧¬
∨(p∧q∧p∧r∧p∧¬
⇔0∨0
F6⇔(甲全错)∧(乙全对)∧(丙对一半)
p∧r)∧((p∧r)∨(¬
19⇔(p∧q∧¬
p∧r∧p∧r
∨(p∧q∧¬
F⇔(一人全对)∧(一人对一半)∧(一人全错)
则F为真命题,并且
F⇔F1∨F2∨F3∨F4∨F5∨F6
p∧q∧r)∨(p∧¬
r)⇔1.
但,矿样不可能既是铜又是锡,于是q,r中必有假命题,所以¬
p∧q∧r⇔0,因而必有
r⇔1.
于是,必有P为真,q与r为假,即矿样为铁。
1.16令p:
今天是1号;
明天是5号.
由于本题给出的推理都比较简单,因而可以直接判断推理的形式结构是否为重言式。
(1)推理的形式结构为
(