SVM算法原理及其Matlab应用Word文档格式.docx
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此时也等价于给函数g（x）附加一个符号函数sgn（），即f（x）=sgn[g（x）]是我们真正的判别函数。
中间那条直线的表达式是g（x）=0，即wx+b=0，我们也把这个函数叫做分类面。
从图可知，中间那条分界线并不是唯一的，把它稍微旋转一下，只要不把两类数据分错，仍然可以达到上面说的效果，稍微平移一下，也可以。
那么哪一个函数更好呢？
显然必须要先找一个指标来量化“好”的程度，通常使用的都是叫做“分类间隔”的指标。
设每一个样本由一个向量（样本特征所组成的向量）和一个标记（标示出这个样本属于哪个类别）组成。
如下：
Di=（xi,yi），xi是特征向量（维数很高），yi是分类标记。
在二元的线性分类中，这个表示分类的标记只有两个值，1和-1（用来表示属于还是不属于这个类）。
有了这种表示法，我们就可以定义一个样本点到某个超平面的间隔：
δi=yi（wxi+b）
首先注意到如果某个样本属于该类别的话，那么wxi+b>
0，而yi也大于0；
若不属于该类别的话，那么wxi+b<
0，而yi也小于0，这意味着yi（wxi+b）总是大于0的，而且它的值就等于|wxi+b|（也就是|g（xi）|）
现在把w和b进行一下归一化，即用w/||w||和b/||w||分别代替原来的w和b，那么间隔就可以写成
这就是解析几何中点xi到直线g（x）=0的距离公式，当用归一化的w和b代替原值之后的间隔有一个专门的名称，叫做几何间隔，几何间隔所表示的正是点到超平面的欧氏距离，我们下面就简称几何间隔为“距离”。
以上是单个点到某个超平面的距离（就是间隔，后面不再区别这两个词）定义，同样可以定义一个点的集合（就是一组样本）到某个超平面的距离为此集合中离超平面最近的点的距离。
下面这张图更加直观的展示出了几何间隔的现实含义：
H是分类面，而H1和H2是平行于H，且过离H最近的两类样本的直线，H1与H，H2与H之间的距离就是几何间隔。
几何间隔与样本的误分次数间存在关系：
其中的δ是样本集合到分类面的间隔，R=max||xi|| i=1,...,n，即R是所有样本中（xi是以向量表示的第i个样本）向量长度最长的值。
误分次数一定程度上代表分类器的误差。
而从上式可以看出，误分次数的上界由几何间隔决定，而几何间隔越大的解，它的误差上界越小。
因此最大化几何间隔成了我们训练阶段的目标。
根据以上分析知，间隔：
δ=y（wx+b）=|g（x）|，几何间隔：
可以看出δ=||w||δ几何。
注意到几何间隔与||w||是成反比的，因此最大化几何间隔与最小化||w||在δ固定时完全是一回事。
而我们常用的方法也是固定间隔（例如固定为1），寻找最小的||w||。
这是一个寻优问题（也叫作一个规划问题），而一个寻优问题最重要的部分是目标函数，我们的目标即找到
也可以用
来代替。
接下来回想一下，我们的问题是有一堆点，可以被分成两类，我们要找出最好的分类面，且||w||
因此需要有约束条件，我们前文提到过把间隔固定为1，这是指把所有样本点中间隔最小的那一点的间隔定为1，即
yi[（w·
xi）+b]≥1（i=1,2,…,l）（l是总的样本数），也可以写成：
xi）+b]-1≥0（i=1,2,…,l）（l是总的样本数）
因此我们的两类分类问题也被我们转化成了它的数学形式，一个带约束的最小值的问题：
在这个问题中，自变量就是w，而目标函数是w的二次函数，所有的约束条件都是w的线性函数（哎，千万不要把xi当成变量，它代表样本，是已知的），这种规划问题有个很有名气的称呼——二次规划（QuadraticProgramming，QP），而且可以更进一步的说，由于它的可行域是一个凸集，因此它是一个凸二次规划。
而且对SVM来说，可行域边界上的点有其特殊意义，实际上是它们唯一的决定了分类超平面，这些点（想象他们就是以前的图中恰好落在H1和H2上的点）就被称为支持向量。
根据以上分析知，样本确定了w，即w可以表示为样本的某种组合：
w=α1x1+α2x2+…+αnxn
式子中的αi是数（又称拉格朗日乘子），而xi是样本点，n是总样本点的个数。
因此g（x）的表达式严格的形式应该是：
g（x）=<
w,x>
+b
但是上面的式子还不够好，想像一下图中正样本和负样本的位置，若不动所有点的位置，而只是把其中一个正样本点定为负样本点，三条直线都必须移动。
这说明w不仅跟样本点的位置有关，还跟样本的类别有关（也就是和样本的“标签”有关）。
因此用下面这个式子表示才算完整：
w=α1y1x1+α2y2x2+…+αnynxn（式1）
其中的yi就是第i个样本的标签，它等于1或者-1。
其实以上式子的那一堆拉格朗日乘子中，只有很少的一部分不等于0（不等于0才对w起决定作用），这部分不等于0的拉格朗日乘子后面所乘的样本点，其实都落在H1和H2上，也正是这部分样本（而不需要全部样本）唯一的确定了分类函数，当然，更严格的说，这些样本的一部分就可以确定，因为例如确定一条直线，只需要两个点就可以，即便有三五个都落在上面，我们也不是全都需要。
这部分我们真正需要的样本点，就叫做支持向量！
式1也可以用求和符号简写一下：
因此原来的g（x）表达式可以写为：
注意式子中x才是变量，即需要测试的样本x，而所有的xi统统都是已知的样本。
还注意到式子中只有xi和x是向量，因此一部分可以从内积符号中拿出来，得到g（x）的式子为：
因此寻优问题从求w变成了求α。
这使优化问题少了很大一部分不等式约束。
接下来先跳过线性分类器求解的部分，来看看SVM在线性分类器上所做的重大改进——核函数。
之前一直在讨论的线性分类器,只能对线性可分的样本做处理。
如果提供的样本线性不可分，那线性分类器将失效，是否有某种方法，让线性不可分的数据变得线性可分呢？
有！
下面用一个二维平面中的分类问题作例子。
如下图：
横轴上端点a和b之间红色部分里的所有点为正类，两边的黑色部分里的点为负类。
显然找不到符合条件的直线将两类点分开，但可以找到一条曲线，例如下图中这条来判断点的所属类别，它的函数表达式可以写为：
但它不是一个线性函数，不过，若新建一个向量y和a：
这样g（x）就可以转化为f（y）=<
a,y>
，即：
g（x）=f（y）=ay
在任意维度的空间中，这种形式的函数都是一个线性函数，因为自变量y的次数不大于1。
这样，原来在二维空间中一个线性不可分的问题，映射到四维空间后？
，变成了线性可分的！
因此这也形成了我们最初想解决线性不可分问题的基本思路——向高维空间转化，使其变得线性可分。
而转化最关键的部分就在于找到x到y的映射方法。
遗憾的是，假设x’是由x变换得到的高维变量，在此维度下，问题先行可分，那么只需计算f（x’）=<
w’,x’>
+b的值来进行分类，即只关心高维空间里内积<
的值。
而从理论上说，x’是经由x变换来的，因此广义上可以把它叫做x的函数，而w’是常量，它是一个低维空间里的常量w经过x与x’之间相同的变换得到的，所以给了一个w和x的值，就有一个确定的f（x’）值与其对应。
那么是否能有这样一种函数K（w,x）,它接受低维空间的输入值，却能算出高维空间的内积值<
？
如果有这样的函数，那么当给了一个低维空间的输入x以后，使g（x）=K（w,x）+b和f（x’）=<
+b这两个函数的计算结果就完全一样，也就不用费力找映射关系了。
1.2、核函数
上述的K（w,x）确实存在，它被称作核函数（核，kernel），而且只要是满足了Mercer条件的函数，都可以作为核函数。
核函数的基本作用就是接受两个低维空间里的向量，能够计算出经过某个变换后在高维空间里的向量内积值。
回想我们上节说的求一个线性分类器，它的形式应该是：
现在这个就是高维空间里的线性函数，就可以用以下低维空间里的函数来代替。
由以上分析又引出两个问题：
1．既然有很多的核函数，针对具体问题该怎么选择？
2．如果使用核函数向高维空间映射后，问题仍然是线性不可分的，那怎么办？
对第一个问题，即核函数的选择，现在还缺乏指导原则！
通常而言，径向基核函数（RBF）核是合理的首选。
这个核函数将样本非线性地映射到一个更高维的空间，与线性核不同，它能够处理分类标注和属性的非线性关系。
并且，线性核是RBF的一个特例（KeerthiandLin2003）。
同时，Sigmoid核的表现很像一定参数的RBF核（LinandLink2003）。
第二个原因，超参数的数量会影响到模型选择的复杂度,而多项式核比RBF核有更多的超参数。
最后，RBF核有更少的数值复杂度。
当然，也存在一些情形RBF核是不适用的。
特别地，当特征维数非常大的时候，很可能只能适用线性核。
1.3、松弛变量
对上述第二个问题，可以用松弛变量来解决，下面对松弛变量进行详细描述。
现在我们已经把一个本来线性不可分的文本分类问题，通过映射到高维空间而变成了线性可分的。
就像下图这样：
圆形和方形的点各有成千上万个，现在想象我们有另一个训练集，只比原先这个训练集多了一个样本，映射到高维空间以后，也就多了一个样本点，但是这个样本的位置如下图，就是图中黄色那个点，它是方形的，因而它是负类的一个样本，这单独的一个样本，使得原本线性可分的问题变成了线性不可分的。
这样类似的问题（仅有少数点线性不可分）叫做“近似线性可分”的问题。
以我们人类的常识来判断，这个样本点很可能是噪声，我们会简单的忽略这个样本点，仍然使用原来的分类器，其效果丝毫不受影响。
但这种对噪声的容错性是人的思维带来的，我们的程序可没有。
由于我们原本的优化问题的表达式中，确实要考虑所有的样本点，在此基础上寻找正负类之间的最大几何间隔，而几何间隔本身代表的是距离，是非负的，像上面这种有噪声的情况会使得整个问题无解。
这种解法其实也叫做“硬间隔”分类法，因为他硬性的要求所有样本点都满足和分类平面间的距离必须大于某个值。
因此由上面的例子中也可以看出，硬间隔的分类法其结果容易受少数点的控制。
但解决方法也很明显，就是允许一些点到分类平面的距离不满足原先的要求。
由于不同的训练集各点的间距尺度不太一样，因此用间隔（而不是几何间隔）来衡量有利于我们表达形式的简洁。
我们原先对样本点的要求是：
意思是说离分类面最近的样本点函数间隔也要比1大。
如果要引入容错性，就给1这个硬性的阈值加一个松弛变量，即允许
因为松弛变量是非负的，因此最终的结果是要求间隔可以比1小。
但是当某些点出现这种间隔比1小的情况时（这些点也叫离群点），意味着我们放弃了对这些点的精确分类，而这对我们的分类器来说是种损失。
但是放弃这些点也带来了好处，那就是使分类面不必向这些点的方向移动，因而可以得到更大的几何间隔（在低维空间看来，分类边界也更平滑）。
显然我们必须权衡这种损失和好处。
好处很明显，我们得到的分类间隔越大，好处就越多。
回顾我们原始的硬间隔分类对应的优化问题：
||w||2就是我们的目标函数（当然系数可有可无），希望它越小越好，因而损失就必然是一个能使之变大的量（能使它变小就不叫损失了，我们本来就希望目标函数值越小越好）。
那如何来衡量损失，有两种常用的方式，有人喜欢用
而有人喜欢用
其中l都是样本的数目。
两种方法没有大的区别。
如果选择了第一种，得到的方法的就叫做二阶软间隔分类器，第二种就叫做一阶软间隔分类器。
把损失加入到目标函数里的时候，就需要一个惩罚因子（cost，也就是libSVM的诸多参数中的C），原来的优化问题就变成了下面这样：
这个式子有这么几点要注意：
（1）并非所有的样本点都有一个松弛变量与其对应。
实际上只有“离群点”才有，或者也可以这么看，所有没离群的点松弛变量都等于0（对负类来说，离群点就是在前面图中，跑到H2右侧的那些负样本点，对正类来说，就是跑到H1左侧的那些正样本点）。
（2）松弛变量的值实际上标示出了对应的点到底离群有多远，值越大，点就越远。
（3）惩罚因子C决定了你有多重视离群点带来的损失，显然当所有离群点的松弛变量的和一定时，你定的C越大，对目标函数的损失也越大，此时就暗示着你非常不愿意放弃这些离群点，最极端的情况是你把C定为无限大，这样只要稍有一个点离群，目标函数的值马上变成无限大，马上让问题变成无解，这就退化成了硬间隔问题。
（4）惩罚因子C不是一个变量，整个优化问题在解的时候，C是一个你必须事先指定的值，指定这个值以后，解一下，得到一个分类器。
（5）尽管加了松弛变量这么一说，但这个优化问题仍然是一个优化问题（汗，这不废话么），解它的过程比起原始的硬间隔问题来说，没有任何更加特殊的地方。
从大的方面说优化问题解的过程，就是先试着确定一下w，也就是确定了前面图中的三条直线，这时看看间隔有多大，又有多少点离群，把目标函数的值算一算，再换一组三条直线（你可以看到，分类的直线位置如果移动了，有些原来离群的点会变得不再离群，而有的本来不离群的点会变成离群点），再把目标函数的值算一算，如此往复（迭代），直到最终找到目标函数最小时的w。
至此一个比较完整的支持向量机框架就有了，简单说来，支持向量机就是使用了核函数的软间隔线性分类法。
接下来讨论一下惩罚因子C。
回头看一眼引入了松弛变量以后的优化问题：
注意其中C表征了你有多么重视离群点，C越大越重视，越不想丢掉它们。
这个式子是以前做SVM的人写的，但没有任何规定说必须对所有的松弛变量都使用同一个惩罚因子，我们完全可以给每一个离群点都使用不同的C，这时就意味着你对每个样本的重视程度都不一样。
当然实际使用的时候并没有这么极端，但一种很常用的变形可以用来解决分类问题中样本的“偏斜”问题。
样本的偏斜问题，也叫数据集偏斜（unbalanced），它指的是参与分类的两个类别（也可以指多个类别）样本数量差异很大。
比如说正类有10000个样本，而负类只给了100个，这会引起的问题显而易见，可以看看下面的图：
方形的点是负类。
H，H1，H2是根据给的样本算出来的分类面，由于负类的样本很少很少，所以有一些本来是负类的样本点没有提供，比如图中两个灰色的方形点，如果这两个点有提供的话，那算出来的分类面应该是H’，H2’和H1，他们显然和之前的结果有出入，实际上负类给的样本点越多，就越容易出现在灰色点附近的点，我们算出的结果也就越接近于真实的分类面。
但现在由于偏斜的现象存在，使得数量多的正类可以把分类面向负类的方向“推”，因而影响了结果的准确性。
对付数据集偏斜问题的方法之一就是在惩罚因子上作文章，想必大家也猜到了，那就是给样本数量少的负类更大的惩罚因子，表示我们重视这部分样本（本来数量就少，再抛弃一些，那人家负类还活不活了），因此我们的目标函数中因松弛变量而损失的部分就变成了：
其中i=1…p都是正样本，j=p+1…p+q都是负样本。
libSVM这个算法包在解决偏斜问题的时候用的就是这种方法。
二、SVM在多类分类中的应用
从SVM的那几张图可以看出来，SVM是一种典型的两类分类器，即它只回答属于正类还是负类的问题。
而现实中要解决的问题，往往是多类的问题。
如何由两类分类器得到多类分类器，就是一个值得研究的问题。
SVM多类分类方法的实现根据其指导思想大致有两种：
（1）通过对前面所述支持向量分类机中的原始最优化问题的适当改变，使得它能同时计算出所有多类分类决策函数，从而“一次性”地实现多类分类。
原始问题可以改写为：
（2）将多类问题分解为一系列SVM可直接求解的两类问题，基于这一系列SVM求解结果得出最终判别结果。
虽然第
（1）种指导思想看起来简单，但由于它的最优化问题求解过程太复杂，计算量太大，实现起来比较困难，因此未被广泛应用。
而基于第
（2）种指导思想的SVM多类分类方法主要有5种。
2.1、一对其余法
?
一对余类法（Oneversusrest，OVR）是最早出现也是目前应用最为广泛的方法之一，其步骤是构造k个两类分类机（设共有k个类别），其中第i个分类机把第i类同余下的各类划分开，训练时第i个分类机取训练集中第i类为正类，其余类别点为负类进行训练。
判别时，输入信号分别经过k个分类机共得到k个输出值fi（x）=sgn（gi（x）），若只有一个+1出现，则其对应类别为输入信号类别；
实际情况下构造的决策函数总是有误差的，若输出不只一个+1，或者没有一个输出为+1，则比较g（x）输出值，最大者对应类别为输入的类别。
这种方法的优点是，对k类问题，只需要训练k个两类分类支持向量机，故其所得到的分类函数的个数较少，其分类速度相对较快，但容易出现样本偏斜问题。
2.2、一对一
该方法在每两类间训练一个分类器，因此对于一个k类问题，将有k（k-1）／2个分类函数。
当对一个未知样本进行分类时，每个分类器都对其类别进行判断．并为相应的类别“投上一票”，最后得票最多的类别即作为该未知样本的类别。
决策阶段采用投票法，可能存在多个类的票数相同的情况，从而使未知样本同时属于多个类别，影响分类精度。
2.3、DAG方法（有向无环图）
DAG-SvMS是由PIatt提出的决策导向的循环图DAG导出的，是针对“一对一"
SvMS存在误分，拒分现象提出的。
这种方法的训练过程类似于“一对一”方法，k类别问题需要求解k（k-1）／2个支持向量机分类器，这些分类器构成一个有向无环图。
该有向无环图中含有k（k-1）／2个内部节点和k个叶结点，每个节点对应一个二类分类器。
DAG-SVMS简单易行，只需要使用k-1个决策函数即可得出结果，较“一对一"
方法提高了测试速度，而且不存在误分、拒分区域；
另外，由于其特殊的结构，故有一定的容错性，分类精度较一般的二叉树方法高。
然而，由于存在自上而下的“误差积累”现象是层次结构固有弊端，故DAG-SVMS也逃脱不掉。
即如果在某个结点上发生了分类错误，则会把分类错误延续到该结点的后续结点上.
2.4、决策树方法
决策树的基本思想是从根节点开始，采用某种方法将该节点所包含的类别划分为两个子类，然后再对两个子类进一步划分，如此循环，直到子类中只包含一个类别为止，这样，就得到了一个倒立的二叉树。
最后，在二叉树各决策节点训练支持向量机分类器，实现对识别样本的分类。
决策树支持向量机多分类方法有很多种，不同方法的主要区别在于设计树结构的方法不同。
完全二叉树结构分类时使用的平均分类器数目为log2k，偏二叉树使用的平均分类器数为（k+1）／2-1／k，具有其他层次结构的二叉树使用的分类器平均值介于二者之间。
完全二叉树分类时所需要的分类器数目最少，因此具有较少支持向量的完全二叉树的分类器速度也是较快的。
2.5、纠错输出编码法（ECOC）
对于K类分类问题，可以根据不同方法构造一系列的两类分类问题，对于每个两类分类问题可以建立一决策函数。
共得到L个决策函数，如果这些决策函数完全正确，K类中的每一类都对应一个元素为-1或+1的长度为L的数列，按照K类中的第一类、第二类，...，第K类的顺序，把这些数列排列起来，便可得到一个K行L列的编码矩阵，若要判断一个测试输入点的归属，首先用所得到的L个决策函数，得到一个元素为-l或l的长度为L的数列，然后将此数列与先前得到矩阵比较，相应于矩阵中有一行且仅有一行向与此数列相同，这个行数就是输入点的归属类；
若矩阵中没有一行与该数列相同，可以通过计算汉明距离找出最近的一行，改行对应的类别即为该点的类别。
三、SVM在Matlab中的应用
Matlab有自带的支持向量机算法，但存在一定的局限性，因此安装了台湾大学林智仁（LinChih-Jen）教授等开发的SVM模式识别与回归的软件包libsvm。
3.1、libsvm工具箱和Matlab自带svm算法差异
下面先对比一下libsvm工具箱和Matlab自带的svm算法的差异：
（1）MATLAB自带的svm实现函数仅有的模型是C-SVC（C-supportvectorclassification）；
而libsvm工具箱有C-SVC（正负样本采用不同的代价权值）,nu-SVC（nu-supportvectorclassification）,one-classSVM（distributionestimation）,epsilon-SVR（epsilon-supportvectorregression）,nu-SVR（nu-supportvectorregression）等多种模型可供使用。
（2）MATLAB自带的svm实现函数仅支持分类问题，不支持回归问题；
而libsvm不仅支持分类问题，亦支持回归问题。
（3）MATLAB自带的svm实现函数仅支持二分类问题，多分类问题需按照多分类的相应算法编程实现；
而libsvm采用1v1算法支持多分类。
（4）MATLAB自带的svm实现函数采用RBF核函数时无法调节核函数的参数gamma，貌似仅能用默认的；
而libsvm可以进行该参数的调节。
（5）libsvm中的二次规划问题的解决算法是SMO；
而MATLAB自带的svm实现函数中二次规划问题的解法有三种可以选择：
经典二次方法；
SMO；
最小二乘。
3.2、libsvm训练函数及结果参数说明
libsvm在训练model的时候，需要用到svmtrain函数，调用方法如下：
m=svmtrain（y,x,'
-s0-t2-c1-g1'
）；
其中Y为训练样本的类别，X为对应的训练样本，'
是对参数的设置，下面进行详细说明：
（1）-ssvm类型：
SVM设置类型（默认0）
0--C-SVC
1--v-SVC
2–一类SVM
3--e-SVR
4--v-SVR
（2）-t核函数类型：
核函数设置类型（默认2）
0–线性：
u'
v
1–多项式：
（r*u'
v+coef0）^degree
2–RBF函数：
exp（-gamma|u-v|^2）
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