式题的巧解妙算.docx

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式题的巧解妙算

小學數學解題思路大全：

式題的巧解妙算

1.特殊數題

（1）21－12

　當被減數和減數個位和十位上的數字（零除外）交叉相等時，其差為被減數與減數十位數字的差乘以9。

　　因為這樣的兩位數減法，最低起點是21－12，差為9，即（2－1）×9。

減數增加1，其差也就相應地增加了一個9，故31－13＝（3－1）×9＝18。

減數從12—89，都可類推。

　　被減數和減數同時擴大（或縮小）十倍、百倍、千倍……，常數9也相應地擴大（或縮小）相同的倍數，其差不變。

如

　　210－120＝（2－1）×90＝90，

　　0.65－0.56＝（6－5）×0.09＝0.09。

（2）31×51

　　個位數字都是1，十位數字的和小於10的兩位數相乘，其積的前兩位是十位數字的積，後兩位是十位數字的和同1連在一起的數。

　　若十位數字的和滿10，進1。

如

　　證明：

（10a＋1）（10b＋1）

　　＝100ab＋10a＋10b＋1　　＝100ab＋10（a＋b）＋1

　　（3）26×86

42×62

　　個位數字相同，十位數字和是10的兩位數相乘，十位數字的積與個位數字的和為積的前兩位數，後兩位是個位數的積。

若個位數的積是一位數，前面補0。

證明：

（10a＋c）（10b＋c）　　＝100ab＋10c（a＋b）＋cc　　＝100（ab＋c）＋cc

（a＋b＝10）。

（4）17×19

　　十幾乘以十幾，任意一乘數與另一乘數的個位數之和乘以10，加個位數的積。

　　原式＝（17＋9）×10＋7×9＝323

證明：

（10＋a）（10＋b）　　＝100＋10a＋10b＋ab　　＝[（10＋a）＋b]×10＋ab。

（5）63×69

　　十位數字相同，個位數字不同的兩位數相乘，用一個乘數與另個乘數的個位數之和乘以十位數字，再乘以10，加個位數的積。

　　原式＝（63＋9）×6×10＋3×9　　＝72×60＋27＝4347。

證明：

（10a＋c）（10a＋d）　　＝100aa＋10ac＋10ad＋cd　　＝10a[（10a＋c）＋d]＋cd。

（6）83×87

　　十位數字相同，個位數字的和為10，用十位數字加1的和乘以十位數字的積為前兩位數，後兩位是個位數的積。

如

證明：

（10a＋c）（10a＋d）　　=100aa＋10a（c＋d）＋cd　　＝100a（a＋1）＋cd（c＋d＝10）。

（7）38×22

　　十位數字的差是1，個位數字的和是10且乘數的個位數字與十位數字相同的兩位數相乘，積為被乘數的十位數與個位數的平方差。

　　原式＝（30＋8）×（30－8）　　＝302－82＝836。

　　（8）88×37

　　被乘數首尾相同，乘數首尾的和是10的兩位數相乘，乘數十位數字與1的和乘以被乘數的相同數字，是積的前兩位數，後兩位是個位數的積。

　　（9）36×15

　　乘數是15的兩位數相乘。

　　被乘數是偶數時，積為被乘數與其一半的和乘以10；是奇數時，積為被乘數加上它本身減去1後的一半，和的後面添個5。

　　＝54×10＝540。

　　55×15

　　（10）125×101

　　三位數乘以101，積為被乘數與它的百位數字的和，接寫它的後兩位數。

125＋1＝126。

　　原式＝12625。

　　再如348×101，因為348＋3＝351，

　　原式＝35148。

（11）84×49

　　一個數乘以49，把這個數乘以100，除以2，再減去這個數。

　　原式＝8400÷2－84　　＝4200－84＝4116。

（12）85×99

　兩位數乘以9、99、999、…。

在被乘數的後面添上和乘數中9的個數一樣多的0、再減去被乘數。

　　原式＝8500－85＝8415　

　　不難看出這類題的積：

　　最高位上的兩位數（或一位數），是被乘數與1的差；

　　最低位上的兩位數，是100與被乘數的差；

　　中間數字是9，其個數是乘數中9的個數與2的差。

證明：

設任意兩位數的個位數字為b、十位數字為a（a≠0），則

　　如果被乘數的個位數是1，例如

　　31×999

　　在999前面添30為30999，再減去30，結果為30969。

　　71×9999＝709999－70＝709929。

　　這是因為任何一個末位為1的兩位自然數都可表示為（10a＋1）的形式，由9組成的自然數可表示為（10n－1）的形式，其積為

　　（10a＋1）（10n－1）＝10n＋1a＋（10n－1）－10a。

（13）1÷19

　　這是一道頗為繁複的計算題。

　　原式＝0.052631578947368421。

　　根據「如果被除數不變，除數擴大（或縮小）若干倍，商反而縮小（或擴大）相同倍」和「商不變」性質，可很方便算出結果。

　　原式轉化為0.1÷1.9，把1.9看作2，計算程式：

（1）先用0.1÷2＝0.05。

（2）把商向右移動一位，寫到被除數裏，繼續除

　　如此除到循環為止。

　　仔細分析這個算式：

　　加號前面的0.05是0.1÷2的商，後面的0.05×0.1÷1.9中0.05×0.1＝0.005，就是把商向右移動一位寫到被除數裏，除以1.9。

這樣我們又可把除數看作2繼續除，依此類推。

　　除數末位是9，都可用此法計算。

　　例如1÷29，用0.1÷3計算。

　　1÷399，用0.1÷40計算。

2.估算

　　數學素養與能力（含估算能力）的強弱，直接影響到人們的生活節奏和工作、學習、科研效率。

已經引起世界有關專家、學者的重視，是個亟待研究的課題。

　　美國數學督導委員會，提出的12種面向全體學生的基本數學能力中，第6種能力即估算：

「學生應會通過心算或使用各種估算技巧快速進行近似計算。

當解題或購物中需要計算時，估算可以用於考查合理性。

檢驗預測或作出決定……」

（1）最高位估算

　　只計算式中幾個運算數字的最高位的結果，估算整個算式的值大概在什麼範圍。

　　例1

　　1137＋5044－3169

　　最高位之和1＋5－3＝3，結果在3000左右。

　　如果因為忽視小數點而算成560，依據「一個不等於零的數乘以真分數，積必小於被乘數」估算，錯誤立即暴露。

　　例3

51.9×1.51

　　整體思考。

　　因為

51.9≈50，　　而50×1.51≈50×1.5＝75，　　又51.9＞50，1.51＞1.5，

　　所以51.9×1.51＞75。

　　另外9×1＝9，　　所以原式結果大致是75多一點，三位小數的末位數字是9。

　　例4

3279÷79

　　把3279和79，看作3200和80。

準確商接近40，若相差較大，則是錯的。

（2）最低位估算

　　例如，6403＋232＋1578

　　3＋2＋8＝13，原式和的末位必是3。

（3）規律估算

　　和大於每一個加數；

　　兩個真分數（或純小數）的和小於2；

　　一個真分數與一個帶分數（或一個純小數與一個帶小數）的和大於這個帶分數（或帶小數），且小於這個帶分數（或帶小數）的整數部分與2的和；

　　兩個帶分數（或帶小數）的和總是大於兩個帶分數（或帶小數）整數部分的和，且小於這兩個整數部分的和加上2；

　　奇數±奇數＝偶數，偶數±偶數＝偶數，奇數±偶數＝奇數；

　　差總是小於被減數；

　　整數與帶分數（或帶小數）的差小於整數與帶分數（或帶小數）的整數部分的差；帶分數（或帶小數），與整數的差大於帶分數（或帶小數）的整數部分與整數的差。

　　帶分數（或帶小數）與真分數（或純小數）的差小於這個帶分數（或帶小數），且大於帶分數（或帶小數）減去1的差；

　　帶分數與帶分數（或帶小數與帶小數）的差小於被減數與減數的整數部分的差，且大於這個差減去1；

　　如果兩個因數都小於1，則積小於任意一個因數；

　　若兩個因數都大於1，則積大於任意一個因數；

　　帶分數與帶分數（或帶小數與帶小數）的積大於兩個因數的整數部分的積，且小於這兩個整數部分分別加1後相乘的積；

例如，

　　A＜AB＜B。

　　奇數×偶數＝偶數，偶數×偶數＝偶數；

　　若除數＜1，則商＞被除數；

　　若除數＞1，則商＜被除數；

　　若被除數＞除數，則商＞1；

　　若被除數＜除數，則商＜1。

（4）位數估算

　　整數減去小數，差的小數位數等於減數的小數位數；例如，320－0.68，差為兩位小數。

　　最高位的乘積滿十的兩個整數相乘的積的位數，等於這兩個數的位數和；

　　例如，451×7103

　　最高位的積4×7＝28，滿10，結果是3＋4＝7（位數）。

在整除的情況下，被除數的前幾位不夠除，商的位數等於被除數的位數減去除數的位數；

　　例如，147342÷27

14不夠27除，商是4－2＝2（位數）。

　　被除數的前幾位夠除，商的位數等於被除數的位數與除數位數的差加上1。

　例如，30226÷238

　　302夠238除，商是5－3＋1＝3（位數）。

（5）取整估算

　　把接近整數或整十、整百、……的數，看作整數，或整十、整百…的數估算。

　　如1.98＋0.97≈2＋1，和定小於3。

　　12×8.5≈10×10，積接近100。

3.並項式

　　應用交換律、結合律，把能湊整的數先並起來或去括號。

　　例1

3.34＋12.96＋6.66

　　　　＝12.96＋（3.34＋6.66）　　

　　＝12.96＋10＝22.96　　＝3－3＝0

　　例3

15.74－（8.52＋3.74）　　＝15.74－3.74－8.52　　＝12－8.52＝3.48

　　例4

1600÷（400÷7）　　＝1600÷400×7　　＝4×7　　＝28

4.提取式

　　根據乘法分配律，可逆聯想。

　　＝（3.25＋6.75）×0.4＝10×0.4　　＝4

5.合乘式

　　　　＝87.5×10×1＝875

　　　　＝8－7＝1

6.擴縮式

　　例11.6×16＋0.4×36

　　　　　　　　＝0.4×（64＋36）　　　　＝0.4×100＝40

例216×45

7.分解式

　　例如，14×72＋42×76　　＝14×3×24＋42×76　　＝42×（24＋76）　　＝42×100＝4200

8.約分式

　　　　＝3×7×2＝42

　　例2169÷4÷7×28÷13

　　=1988

　　例71988198********8÷198********91989被除數與除數，分別除

9.拆分式

10.拆積式

　　例如，32×1.25×25　　＝8×1.25×（4×25）　　＝10×100＝1000

11.換和式

　例10.1257×8　　　　＝（0.125＋0.0007）×8　　　　＝1＋0.0056＝1.0056

例48.37－5.68　　　　＝（8.37＋0.32）－（5.68＋0.32）　　　　＝8.69－6＝2.69

12.換差式

13.換乘式

　　例1123＋234＋345＋456＋567＋678　　　　＝（123＋6