有限元考试试题及答案第一组docWord文档格式.docx
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（5）分）
（1）通过整体坐标系和局部坐标系的映射关系得到四节点四边形等参单元的母单元，
并选取单元的唯一模式；
（2）通过坐标变换和等参元确定平面四节点四边形等参数单元的几何形状和位移
模式；
（3）将四节点四边形等参数单元的位移模式代入平面问题的几何方程，得到单元
应变分量的计算式，再将单元应变代入平面问题的物理方程，得到平面四节点等参
数单元的应力矩阵；
（4）用虚功原理求得单元刚度矩阵，最后用高斯积分法计算完成。
二、论述题（3道,共计30分）。
1.简述四节点四边形等参数单元的平面问题分析过程。
（10分）
（1）通过整体坐标系和局部坐标系的映射关系得到四节点四边形等参单元的母单元，并选取单元的唯一模式；
（2）通过坐标变换和等参元确定平面四节点四边形等参数单元的几何形状和位移模
式；
（3）将四节点四边形等参数单元的位移模式代入平面问题的几何方程，得到单元应
变分量的计算式，再将单元应变代入平面问题的物理方程，得到平面四节点等参数单元的应力矩阵；
（4）用虚功原理求得单元刚度矩阵，最后用高斯积分法计算完成。
2.轴对称问题的简单三角形单元是否是常应力，常应变为什么（
10分）
不是常应力和常应变。
因为应变与位移分量的关系式为:
r
{}
z
rz
u
1
w
这里除含有微分算符外，还包含了
的倒数项1/r,则即使位移模式为线性的，但由于该项的存在，使得应变与坐标有关，
即不会是常应变。
应力应变的物理关系为D，由于应变不是常应变，
则所求得的应力也不会是常应力。
3.在薄板弯曲理论中做了哪些假设薄板单元和厚板单元的基本假设有什么不同（10分）
四种假设：
1）变形前的中面法线在变形后仍为弹性曲面的法线。
2）变形前后板的厚度不变。
3）板变形时，中面无伸缩。
4）板内各水平层间互不挤压。
不同点：
薄板单元假设横向纤维无挤压，板的中面法线变形后仍保持为直线，该直
线垂直于变形后的中面，但是厚板单元的假设考虑横向变形的影响，板的中面法线变形
后仍基本保持为直线，但该直线不再垂直于变形后的中面，法线绕坐标轴的转角不再是挠度的导数，而是独立的变量。
三、计算题（3道，共计45分）。
1.如图所示等腰直角三角形单元，其厚度为t，弹性模量为E，泊松比
0；
单元的边长及结点编号见图中所示。
求
（1）形函数矩阵N
（2）应变矩阵B和应力矩阵S
（3）单元刚度矩阵Ke
（12分）
解：
设图1所示的各点坐标为点
1（a，0），点2（a，a），点3（0，0）
于是，可得单元的面积为
A
1a2，及
2
（1）形函数矩阵N为
N1
12
（0
axay）
a
NIN1
IN2
IN3
0gx
ay）；
N2
N3
N1
1（a2
ax
0y）
a2
g
（2）应变矩阵B和应力矩阵S分别为
-a
B1
-a，B2
a，B3
；
BB1B2B3
E
SDB1
B2
B3
-a，S2
a，S3
S1
S
-
1a
3
（3）单元刚度矩阵Ke
K11
K12
K13
Et
e
T
K
BDBtAK21
K22
K23
4
K31
K32
K33
2.如图所示的四结点矩形单元，求出节点3的位移。
设厚度t＝1m，μ＝0，E
为常量。
（13分）
注：
对于四节点矩形单元有：
1.
N4
2.
ke
BDBtdxdy
→Ni
1（1
k11k12
k21k22
k31k32
k41k42
i）（1i）（i1,2,3,4）
k13k14
k23k24，
k33k34
k43k44
11
kij
Bi
DBj
tdxdy
abt
dd
2b
ij1
i
j
ij
b
81
j1
（i,j
1,2,3,4）
j11
（1
i）（1
i）（i1,2,3,4）
N3
k11
k12
k13
k14
B
Btdxdy
k21
k22
k23
k24
，
D
k31
k32
k33
k34
k41
k42
k43
k44
tdxdyabt
DBj
j1
ij
keeRe，代入边界条件μ1＝ν1＝μ2＝ν2＝μ4＝ν4＝0，将对应的行和列划掉没剩下的
方程为：
μ3
-P
ν
又Ni
i）（1i）（i1,2,3,4），且3
1，3
1，a=1,b=1
所以
8
μ
→E
ν3
8P
解得
5E
3.有一如图3（a）所示的剪力墙，墙顶作用竖向荷载P。
将该剪力墙划分为两个三
结点三角形常应力单元，单元和结点编号如图3（b）所示，并将荷载P分成两个
P/2作用在3、4结点。
已知单元厚度为t，弹性模量为E，泊松比μ=1/3。
求结点3和结点4的位移，以及单元①的应变和应力。
（20分）
建立直角坐标系（注Y轴向下为正），单元①i,j,m对应的节点编号为3,1,4，单元②对应的节点编号为2,4,1。
对于单元①：
i（0,0）,j（0,4）,m（2,0）
bi=yi-ym=4；
bj=ym-yi=0；
bm=yi-yj=-4
ci=xm-xj=2；
cj=xi-xm=-2；
cm=xj-xi=0
三角形面积A=1/2*2*4=4
几何矩阵[B]=1
弹性矩阵[D]=
单元刚度矩阵
2（9
）
4（1
4（3
2）
[D][B]t
2（
1）
4（
2（1
[k]
[B]
16（1
=
16
8（
8（1
[k]2
[k]1
然后合成总刚[K]。
整体节点力矢量为{F}
[F1x
F1y
F2x
F2y
P
0]
节点位移矢量为{d}
00
u3
v3
u4
v4
{F}[K]{d}，采用缩减矩阵法划去位移为零的行与列，得
2（9
P/2
4（
4（32）v4
1.50
8.99
1.88
8.42
单元①的应变
单元①的应力
[B]{d}1P
0.285
0.47
0.56T
[D][B]{d}1
P0.58
1.68
0.84
t
P/2
①
m
②
4m
（a）
（b）
图3
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