高考文科数学江西卷试题与答案word解析版.docx
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高考文科数学江西卷试题与答案word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类
（江西卷）
第Ⅰ卷
一、选择题：
本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2013江西，文1）复数z＝i（－2－i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在（ ）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（2013江西，文2）若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝（ ）．
A．4B．2C．0D．0或4
3．（2013江西，文3）若，则cosα＝（ ）．
A．B．C．D．
4．（2013江西，文4）集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是（ ）．
A．B．C．D．
5．（2013江西，文5）总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A．08B．07C．02D．01
6．（2013江西，文6）下列选项中，使不等式x＜＜x2成立的x的取值范围是（ ）．
A．（－∞，－1）B．（－1,0）
C．（0,1）D．（1，＋∞）
7．（2013江西，文7）阅读如下程序框图，如果输出i＝4，那么空白的判断框中应填入的条件是（ ）．
A．S＜8B．S＜9C．S＜10D．S＜11
8．（2013江西，文8）一几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）．
A．200＋9πB．200＋18πC．140＋9πD．140＋18π
9．（2013江西，文9）已知点A（2,0），抛物线C：
x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|＝（ ）．
A．2∶B．1∶2C．1∶D．1∶3
10．（2013江西，文10）如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1m的圆O在t＝0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y＝cosx，则y与时间t（0≤t≤1，单位：
s）的函数y＝f（t）的图像大致为（ ）．
第Ⅱ卷
二、填空题：
本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．（2013江西，文11）若曲线y＝xα＋1（α∈R）在点（1,2）处的切线经过坐标原点，则α＝________.
12．（2013江西，文12）某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N*）等于________．
13．（2013江西，文13）设f（x）＝sin3x＋cos3x，若对任意实数x都有|f（x）|≤a，则实数a的取值范围是________．
14．（2013江西，文14）若圆C经过坐标原点和点（4,0），且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________．
15．（2013江西，文15）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．
三、解答题：
本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（2013江西，文16）（本小题满分12分）正项数列{an}满足：
－（2n－1）an－2n＝0.
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）令，求数列{bn}的前n项和Tn.
17．（2013江西，文17）（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1.
（1）求证：
a，b，c成等差数列；
（2）若，求的值．
18．（2013江西，文18）（本小题满分12分）小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：
以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X，若X＞0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X＜0就去下棋．
（1）写出数量积X的所有可能取值；
（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．
19．（2013江西，文19）（本小题满分12分）如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.
（1）证明：
BE⊥平面BB1C1C；
（2）求点B1到平面EA1C1的距离．
20．（2013江西，文20）（本小题满分13分）椭圆C：
（a＞b＞0）的离心率，a＋b＝3.
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m.证明：
2m－k为定值．
21．（2013江西，文21）（本小题满分14分）设函数f（x）＝a为常数且a∈（0,1）．
（1）当时，求；
（2）若x0满足f（f（x0））＝x0，但f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶周期点．证明函数f（x）有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2；
（3）对于
（2）中的x1，x2，设A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（a2,0），记△ABC的面积为S（a），求S（a）在区间上的最大值和最小值．
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类（江西卷）
第Ⅰ卷
一、选择题：
本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．
答案：
D
解析：
z＝i（－2－i）＝1－2i，在复平面上的对应点为（1，－2），在第四象限，故选D.
2．
答案：
A
解析：
当a＝0时，显然不成立；当a≠0时．由Δ＝a2－4a＝0，得a＝4.故选A.
3．
答案：
C
解析：
cosα＝.故选C.
4．
答案：
C
解析：
从A，B中各任取一个数有（2,1），（2,2），（2,3），（3,1），（3,2），（3,3），共6种情况，其中两个数之和为4的有（2,2），（3,1），故所求概率为.故选C.
5．
答案：
D
解析：
所取的5个个体依次为08,02,14,07,01.故选D.
6．
答案：
A
解析：
原不等式等价于①或②
①无解，解②得x＜－1.故选A.
7．
答案：
B
解析：
i＝2，S＝5；i＝3，S＝8；i＝4，S＝9，结束．所以填入的条件是“S＜9”．故选B.
8．
答案：
A
解析：
由三视图可知，该几何体是由一个长方体及长方体上方的一个半圆柱组成．所以体积V＝4×10×5＋×π·32·2＝200＋9π.故选A.
9．
答案：
C
解析：
射线FA的方程为x＋2y－2＝0（x≥0）．
如图所示，知tanα＝，∴sinα＝.
由抛物线的定义知|MF|＝|MG|，
∴.故选C.
10．答案：
B
解析：
假设经过t秒后，圆心移到O1，则有∠EO1F＝2∠AO1F，且cos∠AO1F＝1－t.
而x＝1·∠EO1F，∴y＝cosx＝cos∠EO1F＝cos2∠AO1F＝2cos2∠AO1F－1＝2（1－t）2－1＝2t2－4t＋1＝2（t－1）2－1，t∈[0,1]．故选B.
第Ⅱ卷
注意事项：
第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．
二、填空题：
本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．答案：
2
解析：
切线斜率k＝＝2，
又y′＝αxα－1在点（1,2）处，y′|x＝1＝α，故α＝2.
12．答案：
6
解析：
由题意知每天植树的棵数组成一个以2为首项，2为公比的等比数列，所以Sn＝＝2（－1＋2n）≥100，∴2n≥51，∴n≥6.
13．答案：
[2，＋∞）
解析：
∵f（x）＝sin3x＋cos3x＝2sin∈[－2,2]，又∵|f（x）|≤a恒成立，∴a≥2.
14．
解析：
圆心在直线x＝2上，所以切点坐标为（2,1）．
设圆心坐标为（2，t），由题意，可得4＋t2＝（1－t）2，∴，半径.
所以圆C的方程为.
15．
答案：
4
解析：
作FO⊥平面CED，则EO⊥CD，FO与正方体的侧棱平行，所以平面EOF一定与正方体的左、右侧面平行，而与其他四个面相交．
三、解答题：
本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．
解：
（1）由－（2n－1）an－2n＝0，得（an－2n）（an＋1）＝0.
由于{an}是正项数列，所以an＝2n.
（2）由an＝2n，，则，
.
17．
解：
（1）由已知得sinAsinB＋sinBsinC＝2sin2B，
因为sinB≠0，所以sinA＋sinC＝2sinB.
由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列．
（2）由，c＝2b－a及余弦定理得（2b－a）2＝a2＋b2＋ab，
即有5ab－3b2＝0，所以.
18．
解：
（1）X的所有可能取值为－2，－1,0,1.
（2）数量积为－2的有·，共1种；
数量积为－1的有·，·，·，·，·，·，共6种；
数量积为0的有·，·，·，·，共4种；
数量积为1的有·，·，·，·，共4种．
故所有可能的情况共有15种．
所以小波去下棋的概率为；
因为去唱歌的概率为，所以小波不去唱歌的概率p＝1－p2＝.
19．
（1）证明：
过B作CD的垂线交CD于F，则BF＝AD＝，EF＝AB－DE＝1，FC＝2.
在Rt△BFE中，BE＝.
在Rt△CFB中，BC＝.
在△BEC中，因为BE2＋BC2＝9＝EC2，
故BE⊥BC.
由BB1⊥平面ABCD得BE⊥BB1，
所以BE⊥平面BB1C1C.
（2）解：
三棱锥EA1B1C1的体积V＝AA1·＝.
在Rt△A1D1C1中，A1C1＝.
同理，EC1＝，
A1E＝.
故＝.
设点B1到平面EA1C1的距离为d，则三棱锥B1A1C1E的体积
V＝·d·＝，
从而，.
20．
解：
（1）因为，
所以，.
代入a＋b＝3，得，a＝2，b＝1.
故椭圆C的方程为.
（2）方法一：
因为B（2,0），P不为椭圆顶点，则直线BP的方程为y＝k（x－2），①
①代入，解得P.
直线AD的方程为：
.②
①与②联立解得M.
由D（0,1），P，N（x,0）三点共线知，解得N.
所以MN的斜率为m＝，
则2m－k＝（定值）．
方法二：
设P（x0，y0）（x0≠0，±2），则，
直线AD的方程为：
，
直线BP的方程为：
，
直线DP的方程为：
，令y＝0，由于y0≠1可得N，
联立
解得M，
因此MN的斜率为
m＝
＝
＝
＝，
所以2m－k＝
＝
＝
＝
＝（定值）．
21．
解：
（1）当时，，.
（2）f（f（x））＝
当0≤x≤a2时，由解得x＝0，
因为f（0）＝0，故x＝0不是f（x）的二阶周期点；
当a2＜x≤a时，由解得∈（a2，a），
因，
故为f（x）的二阶周期点：
当a＜x＜a2－a＋1时，由（x－a）＝x解得∈（a，a2－a＋1），
因，
故不是f（x）的二阶周期点；
当a2－a＋1≤x≤1时，
由解得∈（a2
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