初中竞赛数学第6讲一元二次函数的图象和性质.docx
《初中竞赛数学第6讲一元二次函数的图象和性质.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中竞赛数学第6讲一元二次函数的图象和性质.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
初中竞赛数学第6讲一元二次函数的图象和性质
第六讲二次函数的图象和性质
【趣题引路】
例生产某商品xt需费用1000+5x+x2元,出售该商品xt时的价格是每吨a+元,其中a,b是常数,如果生产出的商品都能卖掉,并且当产量是150t时利润最大,这时的价格是每吨40元,求a,b的值.毛
解析设卖出xt的利润是y元,则
y=x（a+）-（1000+5x+x2）
=（-）x2+（a-5）x-1000.
又由题设知,当x=150时,y最大,因此
即
解得a=45,b=-30.
当b=-30时,-<0,
∴函数有最大值.
∴a=45,b=-30为所求.
点评
这是一个关于商品的利润问题,解决此类问题的关键是函数建模,使之转变为函数问题,利用一元二次函数的性质求解.二次函数的研究通常和一元二次方程、一元二次不等式等联系起来.
【知识延伸】
例1已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标是（8,0）,顶点坐标是（6,-12）,求这个二次函数的解析式.
解析方法一:
由题意可列方程组
解得a=3,b=-3b,c=96.
故函数解析式为y=3x2-36x+96;
方法二:
设所求解析式为y=a（x-6）2-12.
又图象过（8,0）,
∴a（8-6）2-12=0,
∴a=3,
故函数解析式为y=3x2-36x+96;
方法三:
函数图象关于直线x=6对称,因此图象一定通过点（8,0）和点（4,0）,即4,8是方程ax2+bx+c=0的两个根,因而二次函数可以写成y=a（x-4）（x-8）.
又函数图象过（6,-12）,
∴a（6-4）（6-8）=-12.
∴a=3.
故函数解析式为y=3x2-36x+96.
点评
在求二次函数解析式时,若已知抛物线上任意三点,常设一般式:
y=ax2+bx+c（a≠0）;若已知顶点或对称轴,常设顶点式:
y=a（x+m）2+n,其中（-m,n）为顶点;若已知抛物线与x轴交点的坐标时,常设交点式:
y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）.
例2已知抛物线y=x2+px+q上有一点M（x0,y0）位于x轴下方,
（1）求证:
已知抛物线与x轴有两个交点A（x1,0）,B（x2,0）,其中x1（2）求证:
x1解析
（1）由已知,得
△=p2-4q=4（x0+）2-4y0>0,即△>0,
∴方程x2+px+q=0有两个实根,且不相等.
不妨设x1（2）由韦达定理
又y0=x02+px0+q<0,
即x02-（x1+x2）x0+x1x2<0,
（x0-x1）（x0-x2）<0,
即x1（3）当点M为（1,-1999）时有x0=1,y0=-1999,
则由x1,x2为整数,（x1-1）（x2-1）也为整数,且x1-1>x2-1,
得或
解得或
点评
此题“△”的求值较新颖,值得借鉴;第（3）问利用二次三项式的因式分解过渡自然.
【好题妙解】
佳题新题品味
例设抛物线y=ax2+bx+c开口向下,与x轴交于-1与3处,试判断下列关系式哪些是正确的?
（1）abc>0;
（2）a+b+c=0;（3）a=-b;（4）3b=2c;（5）a-b+c>0;（6）5a+b+c>0;（7）c>2b;
（8）9a+3b+c=0.
解析由开口向下知,a<0.
由于抛物线与x轴交于x1=-1与x2=3处.
∴y=a（x-x1）（x-x2）=a（x+1）（x-3）=ax2-2ax-3a.
即b=-2a,c=-3a.由此可知
abc=6a3<0表明
（1）错;a+b+c=-4a>0表示
（2）错;b=-2a表明（3）对;3b=-6a,2c=-6a表示（4）对;a-b+c=0表明（5）错;5a+b+c=0表明（6）错;c-2b=a<0,（7）错;9a+3b+c=0,（8）对.
中考真题欣赏
例（2003年北京市中考题）已知抛物线y=ax2+4ax+t与x轴一个交点为A（-1,0）.
（1）求抛物线与x轴另一个交点B的坐标;
（2）D是抛物线与y轴交点,C是抛物线上一点,且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9,求此抛物线解析式;
（3）E是第二象限内到x轴,y轴的距离之比为5:
2的点,如果点E在
（2）中的抛物线上,且它与点A在抛物线对称轴同侧,问:
在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△APE的周长最小?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
解析
（1）由已知,-1为方程ax2+4ax+t=0的一根,设另一根为x2,
则-1+x2=-=-4
∴x2=-3,
即抛物线与x轴另一交点为（-3,0）;
（2）由
（1）知（-1）·x2=
∴t=3a.
则抛物线解析式为y=ax2+4ax+3a,
∴D为（0,3a）.
又AB∥CD∴C为（-4,3a）,
∴│AB│=2,│CD│=4,梯形高为│3a│.
∴9=.3│a│,求得a=±1.
故所求抛物线为y=x2+4x+3或y=-x2-4x-3;
（3）设E（x0,y0）则y0=-x0（x0<0）.
（i）若a=-1,则y0=-x02-4x0-3即-x0=-x02-4x0-3,
而此方程无实根;
（ii）若a=1,则y0=x02+4x0+3,解方程-x0=x02+4x0+3,得x01=-,x02=-6（舍去）.
∴E（-,）
∵AE长度一定,只须PA+AE最小.
又点A关于x=-2的对称点为B（-3,0）,
∴PA+PE=PB+PE≥BE.
∴P为BE与x=-2的交点时满足题设要求.
不难求得BE解析式为y=x+,
令x=-2,得y=,
∴P（-2,）.
即存在这样的点P（-2,）满足（3）要求.
点评
本题难点在（3）,关键是将△APE周长最小的条件转化为B、P、E三点共线,从而求点P.
竞赛样题展示
例1（1997年陕西数学竞赛题）若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限,且过点（0,1）和（-1,0）,则S=a+b+c的值的变化范围是（）
A.0解析将（0,1）,（-1,0）代入y=ax2+bx+c得
即
∴S=a+b+c=2b.
∵二次函数y=ax2+bx+c顶点在第一象限,
∴->0,又a=b-1,
∴->0,即2b（b-1）<0.
∴0选B.
点评
本题只给出两点,不能求出a、b、c具体的值，只能求出a、b、c之间的关系，据此再求Ｓ的取值范围.
例2（1993年江苏初中数学竞赛试题）已知是两位数,二次函数y=x2+mx+n的图象与x轴交于不同的两点,这两点间距离不超过2.
（1）求证:
0（2）求出所有这样的两位数.
解析
（1）设y=x2+mx+n的图象与x轴的两交点为A（x1,0）,B（x2,0）,x1≠x2,
则x1,x2为方程x2+mx+n=0的两个不同实根.
∴x1+x2=-m,x1·x2=n.
又0<│x1-x2│≤2即0<（x1+x2）2-4x1x2≤4,
也即0（2）∵m,n为整数（m≠0）,
∴m2-4n=1,2,3,4,而m2被4除余0或1,故m2-4n被4除也余0或1,
从而只能有m2-4n=1或m2-4n=4.
解这两个不定方程,得:
∴所求两位数为10,32,56,20,43,68.
点评
一元二次函数y=ax2+bx+c与x轴两交点的横坐标即是方程ax2+bx+c=0的两根,利用韦达定理即可求解.
全能训练
A卷
1.已知函数y=（m2+m）x2+mx+4,
（1）m是何值时,y是x的一次函数?
（2）m是何值时,y是x的二次函数?
2.已知抛物线y=x2与直线y=x+k有交点,求k的取值范围.
3.已知二次函数的图象经过点（1,0）和（-1,8）,且与抛物线y=2x2的开口方向及形状相同.
（1）求此二次函数解析式;
（2）求其顶点坐标和与x轴交点坐标;
（3）若将此抛物线绕顶点旋转180°后,求旋转后的抛物线的解析式.
4.二次函数y=x2+bx+c的图象向左平移两个单位,再向上平移三个单位,得到二次函数y=x2-2x+1,求b,c的值.
5.已知抛物线y=x2+2x+（m-2）,问:
当m取何值时,抛物线与y轴的交点在x轴的上方,在x轴的下方,抛物线过原点?
6.如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=1,则下列关系成立的是（）
A.abc>0B.a+b+c<0
C.a2
A卷答案
1.
（1）m=-1时,y是x的一次函数;
（2）m≠0,且m≠1时,y是x的二次函数.
2.k≥-
3.
（1）y=2x2-4x+2.
（2）（1,0）,（1,0）（3）y=-2x2+4x-2
4.b=-6,c=6.
5.在y=x2+2x+（m-2）中,令x=0,则y=m-2.
当m-2>0,即m>2时,抛物线与y轴交于x轴上方;
当m-2<0,即m<2时,抛物线与y轴交于x轴下方;当m-2=0,即m=2时,抛物线过原点.
6.D
B卷
1.设一元二次方程x2+bx+c=0的两根为98,99,在二次函数y=x2+bx+c中,若x取0,1,2,…,100,曲则y的值能被6整除的个数是（）
A.33B.34C.65D.67
2.二次函数y=a2x2-4x+1有最小值-1,则a的值是（）.
A.B.-C.±D.±2
3.如图,已知抛物线y=x2+（k+）x+（k+1）（k为常数）,与x轴交于A（x1,0）,B（x2,0）（x1<0（1）求此抛物线解析式;
（2）设M、N是抛物线在x轴上方的两点,且与x轴的距离均为1,点P是抛物线顶点,问:
过M、N、C三点的圆与直线CP是否只有一个公共点C?
试证明你的结论.
4.已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（-3,0）,与y轴交于点E（0,-1）.
（1）求此二次函数的解析式;
（2）若点Q（m,n）在此抛物线上,且-3≤m≤3,求n的取值范围;
（3）设点B是此抛物线与x轴的另一个交点,P是抛物线上异于点B的一个动点,连结BP交y轴于点N（点N在点E的上方）,若△AOE∽△BON,求点P的坐标.
5.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点是C,它与x轴有两个不相同的交点A和B.
（1）若点C的横坐标是3,A,B两点的距离是8,求方程ax2-（6a-b）x+9a-3b+c=0的根;
（2）若点C到x轴的距离等于A、B两点距离的k倍,求证:
b2-4ac=16k2.
B卷答案
1.D由已知可得b=-197,c=98×99,则y=x2-197x+98×99=x（x+1）-198x+98×99.
要使6|y,则6|x（x+1）.又2|x（x+1）,只须3|x（x+1）,则3|x或3|x+1.
当3|x时，共有[]+1=34个，当3|x+1时，共有[]=33个。
故67个，选D.
2.C．由题意得a2≠0,且=-1，解得a=±.
3.
（1）∵（OA+OB）2=OC2+16,∴（-x1+x2）2=OC
升级会员 