浙江专用版高中数学第一章空间几何体13131柱体锥体台体的表面积与体积学案新人教A版必修2.docx

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浙江专用版高中数学第一章空间几何体13131柱体锥体台体的表面积与体积学案新人教A版必修2

1.3.1　柱体、锥体、台体的表面积与体积

目标定位　1.了解表面与展开图的关系.2.了解柱、锥、台体的表面积和体积计算公式；能运用柱、锥、台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.

自主预习

1.多面体的表面积

多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积.

2.旋转体的表面积

名称

图形

公式

圆柱

底面积：

S底＝2πr2

侧面积：

S侧＝2πrl

表面积：

S＝2πrl＋2πr2

圆锥

底面积：

S底＝πr2

侧面积：

S侧＝πrl

表面积：

S＝πrl＋πr2

圆台

上底面面积：

S上底＝πr′2

下底面面积：

S下底＝πr2

侧面积：

S侧＝πl（r＋r′）

表面积：

S＝π（r′2＋r2＋r′l＋rl）

3.体积公式

（1）柱体：

柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.

（2）锥体：

锥体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.

（3）台体：

台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝（S′＋＋S）h.

即时自测

1.判断题

（1）直棱柱的侧面展开图是矩形，一边是棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长.（√）

（2）圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形.（×）

（3）柱体的底面积为S，高为h，其体积V＝Sh，特别地，圆柱的底面半径为r，高为h；其体积V＝πr2h.（√）

（4）已知圆锥SO的底面半径r＝2，高为4，则其体积为16π.（×）

提示　

（2）圆锥的侧面展开图是一个扇形.

（4）V＝π×22×4＝π.

2.圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其侧面积等于（　　）

A.15B.15πC.24πD.30π

解析　S侧＝πrl＝π×3×5＝15π.

答案　B

3.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是（　　）

A.4πB.3πC.2πD.π

解析　底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故选C.

答案　C

4.圆台OO′的上、下底面半径分别为1和2，高为6，则其体积等于________.

解析　V＝π（12＋1×2＋22）×6＝14π.

答案　14π

类型一　空间几何体的表面积

【例1】如图所示，已知直角梯形ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5cm，BC＝16cm，AD＝4cm.求以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.

解　以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，其上底半径是4cm，下底半径是16cm，母线DC＝＝13（cm）.

∴该几何体的表面积为π（4＋16）×13＋π×42＋π×162＝532π（cm2）.

规律方法　1.圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中的相关量是求解旋转体表面积的关键.

2.棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形（或梯形）求解.

【训练1】如图，已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S－ABC，求它的表面积.

解　先求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交BC于点D.

因为BC＝a，SD＝＝＝a.

所以S△SBC＝BC·SD

＝a×a＝a2.

因此，四面体S－ABC的表面积S＝4×a2＝a2.

类型二　空间几何体的体积（互动探究）

【例2】如图，三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1－ABC，三棱锥B－A1B1C，三棱锥C－A1B1C1的体积之比.

[思路探究]

探究点一　题中三棱台与三棱锥有什么关系？

提示　题中三个三棱锥可看作是由三棱台分割而成的.

探究点二　求体积的常用方法有哪些？

提示　求几何体体积的常用方法有：

公式法，等积变换法，补体法，分割法.

解　设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S.

∴VA1－ABC＝S△ABC·h＝Sh，

VC－A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝Sh.

又V台＝h（S＋4S＋2S）＝Sh，

∴VB－A1B1C＝V台－VA1－ABC－VC－A1B1C1

＝Sh－－＝Sh，

∴体积比为1∶2∶4.

规律方法　求几何体体积的常用方法

【训练2】如图，

在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求A到平面A1BD的距离d.

解　在三棱锥A1－ABD中，AA1⊥平面ABD，AB＝AD＝AA1＝a，

A1B＝BD＝A1D＝a，

∵VA1－ABD＝VA－A1BD，

∴×a2·a＝××a×·a·d.

∴d＝a.∴A到平面A1BD的距离为a.

类型三　与三视图有关的表面积、体积问题

【例3】一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是（　　）

A.4，8B.4，

C.4（＋1），D.8，8

解析　由正视图得出四棱锥的底面边长与高，进而求出侧面积与体积.

由正视图知：

四棱锥的底面是边长为2的正方形，四棱锥的高为2，

∴V＝×22×2＝.四棱锥的侧面是全等的等腰三角形，底为2，高为，

∴S侧＝4××2×＝4.

答案　B

规律方法　1.解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图，然后根据三视图中的数据在直观图中求出计算体积所需要的数据.

2.若由三视图还原的几何体的直观图由几部分组成，求几何体的体积时，依据需要先将几何体分割分别求解，最后求和.

【训练3】已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．

解析　由三视图可大致画出三棱锥的直观图如图，

由正、俯视图可知，△ABC为等腰三角形，且AC＝2，AC边上的高为1，∴S△ABC＝×2×1＝.

由侧视图可知：

三棱锥的高h＝1，∴VS－ABC＝S△ABCh＝.

答案　

[课堂小结]

1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键.

2.计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题.

3.在几何体的体积计算中，注意体会“分割思想”、“补体思想”及“等价转化思想”.

1.已知长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，对角线的长是2，则这个长方体的体积是（　　）

A.6B.12C.24D.48

解析　设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为x、2x、3x，又对角线长为2，则x2＋（2x）2＋（3x）2＝

（2）2，解得x＝2.∴三条棱长分别为2、4、6.

∴V长方体＝2×4×6＝48.

答案　D

2.一个几何体的三视图及其尺寸如图（单位：

cm），则该几何体的表面积为（　　）

A.12π　　　　　　　　B.18π

C.24πD.36π

解析　由三视图知该几何体为圆锥，底面半径r＝3，母线l＝5，

∴S表＝πrl＋πr2＝24π.故选C.

答案　C

3.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比为________.

解析　设底面半径为r，侧面积为4π2r2，表面积为2πr2＋4π2r2，其比为.

答案　

4.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，截下一个棱锥C－A1DD1求棱锥C－A1DD1的体积与剩余部分的体积之比.

解　已知长方体可以看成直四棱柱，设它的底面ADD1A1的面积为S，高为h，则它的体积为V＝Sh.

而棱锥C－A1DD1的底面积为S，高为h，故三棱锥C－A1DD1的体积：

VC－A1DD1＝×Sh＝Sh，余下部分体积为：

Sh－Sh＝Sh.

所以棱锥C－A1DD1的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.

基础过关

1.圆台的上、下底面半径分别是3和4，母线长为6，则其表面积等于（　　）

A.72B.42πC.67πD.72π

解析　S圆台表＝S圆台侧＋S上底＋S下底

＝π（3＋4）·6＋π·32＋π·42＝67π.

答案　C

2.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1－ACD的体积是（　　）

A.B.C.D.1

解析　三棱锥D1－ADC的体积V＝S△ADC×D1D＝××AD×DC×D1D＝××1×1×1＝.

答案　A

3.一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如下图所示该四棱锥侧面和体积分别是（　　）

A.4，8B.4，

C.4（＋1），D.8，8

解析　由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2，高为2，侧面上的斜高为＝，所以S侧＝4×＝4，V＝×22×2＝.

答案　B

4.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________.

解析　S圆柱＝2·π＋2π··a＝πa2，

S圆锥＝π＋π··a＝πa2，∴S圆柱∶S圆锥＝2∶1.

答案　2∶1

5.一个几何体的三视图如图所示（单位：

m），则该几何体的体积为________m3.

解析　根据三视图知，该几何体上部是一个底面直径为4m，高为2m的圆锥，下部是一个底面直径为2m，高为4m的圆柱.故该几何体的体积

V＝π×22×2＋π×12×4＝（m3）.

答案　

6.如图是某几何体的三视图.

（1）画出它的直观图（不要求写画法）；

（2）求这个几何体的表面积和体积.

解　

（1）这个几何体的直观图如图所示.

（2）这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱（底面半径为1，高为2），它的上部是一个圆锥（底面半径为1，母线长为2，高为），

所以所求表面积为S＝π×12＋2π×1×2＋π×1×2＝7π，

体积为V＝π×12×2＋×π×12×＝2π＋π.

7.在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直线为轴，三角形面旋转一周形成一旋转体，求此旋转体的表面积和体积.

解　过C点作CD⊥AB，垂足为D.以△ABC中边AB所在直线为轴旋转一周，所得到的旋转体是两个底面重合的圆锥，如图所示，这两个圆锥的高的和为AB＝5，底面半径DC＝＝，故S表＝π·DC·（BC＋AC）＝π。

V＝π·DC2·AD＋π·DC2·BD

＝π·DC2·（AD＋BD）＝π.

即所得旋转体的表面积为π，体积为π.

能力提升

8.体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是（　　）

A.54B.54πC.58D.58π

解析　设上底面半径为r，则由题意求得下底面半径为3r，设圆台高为h1，

则52＝πh1（r2＋9r2＋3r·r），

∴πr2h1＝12.令原圆锥的高为h，由相似知识得知＝，∴h＝h1，

∴V原圆锥＝π（3r）2×h＝3πr2×h1＝×12＝54.

答案　A

一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（　　）

A.＋πB.＋π

C.＋πD．1＋π

解析　由三视图知，半球的半径R＝，四棱锥为底面边长为1，高为1的正四棱锥，∴V＝×1×1×1＋×π×＝＋π，故选C.

答案　C

10.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD－A1C1D1，且这个几何体的体积为10，则AA1＝________.

解析　由题意知VABCD－A1C1D1＝VABCD－A1B1C1D1－VB－A1B1C1＝2×2·AA1－××2×2·AA1＝AA1＝10，∴AA1＝3.

答案