弹性模量计算公式Word文档下载推荐.docx

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也有可能在弯矩作用平面外失稳,即弯扭失稳.其弯曲失稳为第二类稳定问题,即极值点失稳;

其弯扭失稳对理想的无缺陷的压弯构件属于第一类稳定问题,即分支点失稳,但对实际构件则是极值点失稳.对理想的两端简支的双轴对称工形截面压弯构件,在两端作用有轴线压力P和使构件产生同向曲率变形的弯矩M,如果在其侧向有足够的支撑（如图3.1（b））,构件将发生平面内的弯曲失稳,其荷载―挠度曲线如图3.2（a）中曲线a,失稳的极限荷载为Pu,属于极值点失稳.图3.1两端简支理想压弯构件图3.2压弯构件荷载变形曲线如果在侧向没有设置支撑（如图3.1（c）,则构件在荷载P未达到平面内极限荷载Pu时,）可能发生弯扭失稳,即在弯矩作用平面内产生挠度v,在平面外剪心产生位移u,并绕纵轴产生扭转角（如图3.1（d）,其荷载-变形曲线如图3.2（b）中曲线b,属于分支点失稳,失稳）的分荷载为Pyw,,且Pyw3.1压弯构件平面内失稳对压弯构件,当弯矩作用平面外有足够多支撑可以避免发生弯扭失稳时,若失稳则只可能发生平面内弯曲失稳.当用弹性理论分析理想压弯构件的荷载挠度关系,可以得到图3.3中的二阶弹性曲线b,它以轴心受压弯构件的分岔点荷载PE处引出的水平线a为渐近线.实际压弯构件存在初始缺陷（残余应力、几何缺陷）,材料为弹塑性体.如按弹塑性理论分析,荷载挠度曲线将是图中曲线OABC.曲线上A点标志着杆件中点截面边缘开始屈服,对应的荷载为Pe,随后塑性向截面内部发展,构件变形快速增加,形成OAB上升段,构件处于稳定平衡状态;

B点为曲线的极值点,对应的荷载Pu为构件在弯矩作用平面内失稳的极限荷载;

到达B点以后,由于弹性区缩小到导致构件抵抗力矩的增加小于外力矩的增加程度,出现下降段BC,52构件处于不稳定平衡状态.由失稳全过程可以看出实际压弯构件在弯矩作用平面内的弯曲失稳属于二阶弹塑性分析的极值点失稳,不能用弹性理论和平衡微分方程求解极限荷载Pu,而可用数值积分法通过得出荷载挠度曲线后求得极限荷载.压弯构件平面内弯曲失稳的弹性分析虽然不能求出极限荷载,但它是弹塑性分析的基础,因此有必要先研究压弯构件平面内弹性失稳.图3.3压弯构件荷载挠度曲线3.1.1压弯构件平面内弹性弯曲性能在第二章讨论初始几何缺陷对轴心受压构件稳定性能的影响时,对图2.13所示有偏心的轴心受压杆已作过分析,即当作偏心压弯构件得出了荷载P与构件中点挠度δ之间的关系曲线.从式（2.48）中可以看出,若假设材料是无限弹性体,则当δ→∞时,P→PE,即临界荷载P以欧拉荷载PE为极值.然而实际材料都是有限弹性的,由于压弯构件平面内弯曲失稳时,构件为弹塑性工作状态,因此弹性分析只有理论意义.下面仅讨论两端铰接受轴向压力和平面内横向荷载共同作用的弹性压弯构件的内力与变形性能.1.横向均布荷载作用的压弯构件横向均布荷载作用的压弯构件图3.4（a）所示为在均布荷载q作用下两端铰接的压弯构件.假定材料完全弹性,取图3.4（c）所示隔离体,在距左端x处截面的内力矩Mf=EIy′′,外力矩Me=Py+qx（lx）2,平衡方程为令k=PEI,则2EIy′′+Py=qx（lx）2qx（xl）2EI2方程（3.1）的特解可写作y=c1x+c2x+c3,代入方程（3.1）,有y′′+k2y=（3.1）（Pc1q2）x2+（Pc2+ql2）x+Pc3+2EIc1=0上式是恒等式,故53c1=q∕（2P）,c2=-ql∕（2P）2,c3=-EIq∕P2方程（3.1）对应的齐次线性方程y〃+ky=0的通解可写作y=Asinkχ+Bcoskχ,则方程（3.1）的通解为22y=Asinkχ+Bcoskχ+qχ∕（2P）-qlχ∕（2P）-EIq/P（3.2）由边界条件y（0）=0,y（l）=0得A=EIq∕Ptg（κl∕2）,2B=EIq∕P2则qklqxtgsinkx+coskx12（lx）kEI22kEI构件在x=l2处有最大挠度ymax,令u=kl2,可得y=4（3.3）ymax=ql41cosuql416EIu4cosu32EIu212（2secuu22）=y05u4（3.4）式中:

y0=5ql4（384EI）是均布荷载作用下简支梁的最大挠度,即当P=0时,由式（3.4）求得的最大挠度.式（3.4）中括号内的值为考虑轴线压力后最大挠度的放大系数.图3.4均布荷载作用的压弯构件将secu展开成幂级数,有secu=1+式中12546162778u+u+u+u+2247208064u=kll=22Pπ=EI2PPE则式（3.4）可写成ymax=y01+1.034（PPE）+1.0038（PPE）+≈y02[]11PPE（3.5）式中Am=1/（1P/PE）是最大挠度的放大系数.构件中点的最大弯矩为=Amy0541.028PPEMmax=ql28+Pymax=M01+1PPEβmM=1PP=AmM0E（3.6）式中M0=ql28是均布荷载作用下简支梁跨中的最大弯矩;

βm为等效弯矩系数;

Am为弯矩放大系数,用以考虑轴压力P产生的二阶效应.2.横向集中荷载作用的压弯构件由图3.5（c）知,当0<

x≤l2时,平衡方程为EIy′′+Py=Qx2令k2=P（EI）,则通解为y′′+k2y=Qx（2EI）（3.7）3Ql（tguu）=Ql33（tguu）=y03（tgu3u）（3.9）4Pu48EIuu式中y0=Ql3（48EI）是集中荷载Q作用在跨中时简支梁的最大挠度,3（tguu）u3是有轴压力作用时最大挠度放大系数.将tgu展成幂级数y=Asinkx+BcoskxQx（2P）Q引入边界条件y（0）=0,y′（l2）=0,得B=0,A=sec（kl2）,则通解2PkQkly=secseckxkx2Pk2令u=kl2,当x=l2时,跨中最大挠度为ymax=（3.8）tgu=u+u33+2u515+17u7315+将u=kl2=π2PPE代入,则式（3.9）可改写为ymax=y01+0.987（PPE）+0.986（PPE）+≈y02[图3.5跨中集中荷载作用的压弯构件]式中1（1P/PE）为最大挠度放大系数.跨中最大弯矩为11PPE（3.10）Mmax=Ql4+Pymax=QlPl21+412EI（1PPE）5510.178PPEβmM0==M0（3.11）1PP1PP=AmM0EE式中M0=Ql4是集中荷载作用下简支梁最大弯矩;

弯矩放大系数10.2PPE.Am≈1PPE对于弹性压弯构件,根据各种荷载作用和支撑情况,可以计算出跨中弯矩Mmax的表达通式βmM（3.12）Mmax=1PPE再考虑初始缺陷的影响,假定各种缺陷的等效初弯曲呈跨中挠度为ν0的正弦曲线,则在任意横向荷载或端弯矩作用下跨中总弯矩应为βM+Pν0（3.13）Mmax=m1PPE当压弯构件长度中点截面边缘纤维达到屈服时,其应满足PβmM+Pν0+=fyA（1PPE）W令（3.14）中M=0,则得到有初始缺陷的轴心压杆边缘纤维屈服时的表达式P0P0ν0+=fyA（1P0PE）W因为P0=Afy（为轴心压杆稳定系数）,则由式（3.15）得（3.14）（3.15）ν0=11PEA将式（3.16）代入（3.14）,整理得由边缘纤维屈服导出的相关公式βmMP+=fyAW（1PPE）其中等效弯矩系数βm取值见表3.1.3.1.2压弯构件平面内弹塑性弯曲失稳从图3.3可以看出,当压弯构件截面边缘纤维开始屈服,构件进入弹塑性阶段后,随着外荷载的增加,截面弹性区越来越小,构件抗弯刚度降低,变形加快,以至构件抗弯能力增加小于外力作用效应的增加,达到极限状态时（图3.3极值点B）,内外力开始无法平衡,构件发生平面内弹塑性整体失稳.由于压弯构件的截面形状,尺寸和外力作用方式等不同,弯曲失稳时构件塑性发展的范围可能只出现在图3.6（a）所示的阴影区,即弯曲凹面受压的一侧;

也可能如图3.6（b）所示,在受压凹面和受拉凸面同时出现塑性区;

对单轴对称截面压弯构件,塑性区也可能只出现在受拉凸面的一侧,图3.6（c）所示.1AfyW（3.16）（3.17）图3.6压弯构件弯曲失稳的塑性区分布压弯构件的极限荷载求解比较困难,一般情况下可用数值积分法得到数值解,但如果截面形状比较简单,不考虑初弯曲和较复杂的残余应力分布影响时,经简化后也可用解析法得到近似解.56表3.1等效弯矩系数βm值1.解析法对于轴压力P和两端相同弯矩M共同作用的两端简支压弯构件（图3.7）用Jezek解析法[18],求解可以求出精确度比较高的极限荷载.其假设为:

（1）材料为理想的弹塑性体;

（2）构件的变形曲线为正弦曲线的一个半波.图3.7a是矩形截面的压弯构件,在轴力P和端弯矩M共同作用下,平面内弹塑性弯曲失稳时构件截面的塑性有两种类型:

只出现在受压区,如图3.7b阴影部分所示,截面弹性区高度为he,细长构件常属此类;

另一类为受压,受拉区均出现塑性区,图3.7e所示,短粗构件常属此类.下面分别加以讨论:

1）第一种情况:

塑性区仅出现在受压区（图3.7b）图3.7c、图3.7d分别为第1种情况截面的应变和应力图.由应力图可以分别得出轴线方向力和力矩的平衡方程:

2PyP1P=ζyAζy+ζtbhe或ζy+ζt=（3.18）2bhe（）（）57图3.7矩形截面压弯构件中央截面的应变和应力M+Pv=由上式可解出弹性区高度1（ζy+ζt）bhehhe2233h3（M+Pν）2PyP（3.19）he=（3.20）式中,Py=Aζy,表示轴心受压时全截面屈服压力.由应变图知曲率Φ=εy+εthe=ζy+ζtEhe=2（PyP）Ebhe2（3.21）根据变形曲线假定,挠曲线为y=νsin（πxl）中央截面处的曲率为由式（3.21）式（3.22）知（3.22）（3.23）Φ=y′′（l2）=vπ2/l2lEbhe2将（3.20）代入（3.22）后,得到构件压力P与挠度v的函数关系hPν12Py由极值条件νπ22=2（PyP）（3.24）M+Pν2l2Py1P=2Py9bπEPy23（3.25）dPdν=0,得ν=将式（3.26）代入（3.25）后,得1PyhPM13P2PyPy（3.26）5812MP=2×

bh31（3.27）12lhPy（1PPy）11由于P=0时,截面边缘纤维开始屈服时的弯矩My=bh2ζy=Pyh,且全截面的惯性矩661Ix=bh3,则构件在平面内弯曲失稳的弹塑性极值荷载12π2E3M（3.28）Pu=1l23My（1PuPy）将式（3.26）代入（3.20）,得情况1的弹性区高度Mhe=h1（3.29）3My（1PuPy）则（3.28）可以写成3π2EIxheπ2EIex（3.30）Pu==l2hl2式中,Iex是弹性区截面惯性矩,说明塑性发展使构件抗弯刚度下降至EIex,极限荷载与以弹性区为截面的轴心受压构件的欧拉临界力相当.塑性区出现第一种情况的条件是图3.7d中截面受拉侧的应力ζt≤ζy,由式（3.18）可以得出π2EIx3he≥（1PuPy）h（3.31）也可写作PuPy≥M3My1PuPy（）（3.32）2）第2种情况:

塑性区同时出现在受压,受拉区（图3.7e）出现第2种情况的条件为MPuPy<

3My1PuPy（）（3.33）根据图3.7g所示的应力分布,可以分别列出轴线压力和力矩平衡方程P=Pybheζy2bcζy由应变图3.7f知曲率（3.34）（3.35）M+Pν=bheζy（h2he3c）+2bcζy（h2c2）heEhel2联立式（3.34）、（3.35）、（3.36）可得到P与ν之关系2P2M+Pνl4ζy2hν{1}=4PyPy3hπ4Edv由极值条件=0,得dPPyhPν=13P2Py2Φ=2εy=2ζy=νπ2（3.36）（3.37）2MPy（3.38）将式（3.38）代入式（3.37）,整理后得59P[1uPu=Pl2y由式（3.36）、（3.38）、（3.39）得到π2EIx2M]33My22（3.39）he=h1PuPy（）32M3My（3.40）则式（3.39）可以写作Pu=π2EIxhel2=hπ2EIexl2（3.41）式（3.41）与式（3.30）的表达形式一致.关于压弯构件的平面内弹塑性稳定分析,除了简明的Jezek方法外,还有较精确的数值积分法.2.数值积分法上述Jezek方法由于先假定压弯构件的变形曲线,此曲线与实际的变形曲线有误差,因此不可能建立各个截面的力平衡方程,而只能建立弯矩最大截面处的内外力平衡方程.在分析中也没有考虑残余应力等初始缺陷的影响.由于计算中简化较多,解析解的精度有待提高,可以用数值法确定压弯构件的极限荷载.数值法有多种,数值积分法是常用的一种.数值积分法可分为二步计算:

首先根据截面的内力平衡条件建立弯矩M,压力P和曲率Φ之间的关系;

然后根据构件的变形曲线建立挠度,转角和曲率之间的关系,由于曲率与外力矩相对应,故可通过同一截面的曲率建立压力与挠度的关系,通过分级加载得到压力P与构件中点挠度νm的对应函数关系,利用极值条件即可得到压弯构件的极限荷载.以图3.8（a）为例,说明数值积分法的计算过程.已知截面尺寸、构件长度、荷载作用条件MP=e,残余应力分布如图3.8（b）所示,残余压应力、拉应力峰值分别为ζrc和ζrt,材料为理想弹塑性体.图3.8压弯构件数值积分法示例1）建立截面的MPΦ关系图3.9（a）表示划分为很多单元的工形截面,单元的面积为Ai,截面任一点的应变εi是轴向应变ε0、弯曲应变Φzi和残余应变εri=ζriE三部分的代数和（如图3.9（b）、（c）所示）,即εi=ε0+Φzi+εri（a）60图3.9截面的应变当截面处于弹性状态时,应力ζi=Eεi,根据内力平衡条件M=∫AζizidA=∫AE（ε0+Φzi+εri）zidA=EΦ∫Azi2dA=EIxy′′P=∫AζidA=∫AE（ε0+Φzi+εri）dA=Eε0A（b）（c）由式（c）可知,当截面处于弹性状态时,压弯构件和受弯构件一样,弯矩M与曲率Φ成正比,而与轴线压力P无关.但在弹塑性状态,因各截面塑性发展程度不同,MPΦ相关.在弹塑性状态时,若以εy=ζyE表示屈服应变,任一单元面积Ai上的应力均取平均值,则有ζi=Eεiζi=ζyζi=ζy当εy≤εi≤εy时当当εi>

εy时εi<

εy时（d）截面的轴向压力P和弯矩M分别为P=∑ζiAiAM=∑ζiAiziA（e）联合（a）、（d）,通过对式（e）数值积分即可得到构件在弹塑性状态的MPΦ关系.具体算法见如下框图图3.10电算框图612）求解压弯构件的极限荷载Pu以图3.11所示两端铰接,几何条件和荷载作用均对称的压弯构件为例,具体求解过程见框图3.12.图3.11两端铰接压弯构件图3.11（a）中所示压弯构件在给定一个轴力P1情况下,端部挠度y0=0,而转角0未知,使其满足构件中点的转角m=0即可,若给定的0不能使m足不过可以先给定一个0的初始值,够小（如m<

105）,则调整0重新迭代,直至m足够小,满足计算精度要求.这样就可以得到与给定轴力P1对应的构件中点的挠度vm1值,如图3.11（b）所示.同理,可以得到不同的轴力P对应的构件中点的挠度νm值,最终可以画出图3.11（b）所示的Pνm曲线,其极限点B对应的P即为极限荷载Pu.对不同的荷载作用,数值积分的思路相同,但具体计算细节有所不同.通过理论求解和试验分析压弯构件在平面内的极限荷载,才可以推演出压弯构件的稳定设计公式.62图3.12压弯构件极限荷载电算框图3.1.3压弯构件弯矩作用平面内的稳定理论在设计中的应用压弯构件在弯矩作用平面内的整体稳定计算通常采用两个计算准则,即边缘纤维屈服准则和极限承载力准则.1.边缘纤维屈服准则边缘纤维屈服准则以弹性分析为基础,以弯矩最大截面边缘纤维屈服作为计算准则.这一准63则比较适用于冷弯薄壁型钢压弯构件,因为这类构件的边缘纤维屈服荷载非常接近于构件的极限荷载;

该准则也用于格构式压弯构件绕虚轴弯曲的稳定计算.参照式（3.17）,给合压弯构件弯矩作用平面内的稳定概念,可以得到按边缘纤维屈服准则导出的相关公式βmxMxP+=fy（3.42）xAPW1x1xPEx式中x为弯矩作用平面内轴心受压构件的整体稳定系数;

W1x为受压最大纤维的毛截面抵抗矩;

βmx为等效弯矩系数,参见表3.1.将式（3.42）写成设计公式,即βmxMxP+≤f（3.43）xAPWx1xPEx式中f为钢材屈服强度设计值.2.极限承载力准则一般钢结构中的压弯构件当截面最大纤维刚开始屈服时尚有较大的强度储备,即可以容许截面塑性有一定发展,因此应该以弹塑性稳定理论为基础,以失稳时的极限荷载为计算准则.压弯构件的初偏心和初弯曲对构件的影响性质上相同,因此在制定规范时考虑构件存在l1000的初弯曲（即初弯曲的矢高为构件长度l的1/1000）,考虑实测的残余应力分布,用数值方法计算出近200条压弯构件的极限承载力曲线.将用数值方法得到的压弯构件极限承载力Pu与用边缘纤维屈服准则导出的相关公式（3.42）中的轴心压力P比较后发现,对于短粗实腹杆,式（3.42）偏于安全;

而对细长实腹杆,式（3.42）偏于不安全.因此,规范借用了弹性压弯构件边缘纤维屈服准则计算公式的形式,同时考虑截面塑性发展和二阶弯矩,最后提出了一近似相关公式,即规范所采用的实腹式压弯构件弯矩作用平面内的稳定计算公式βmxMxP+≤f（3.44）xAγRPγxW1x10.8PEx式中P——所计算构件段范围内的轴向压力;

Mx——所计算构件段范围内的最大弯矩;

x——弯矩作用平面内的轴心受压构件的稳定系数;

W1x——弯矩作用平面内较大受压纤维的毛截面抵抗矩;

PEx——欧拉临界力;

γR——抗力分项系数,对Q235钢,γR=1.087,对Q345,Q390,Q420钢,γR=1.111;

βmx——等效弯矩系数,参见表3.1.对于T型钢,双角钢T形等单轴对称截面压弯构件,当弯矩作用于对称轴平面且使较大翼缘受压时,构件失稳时出现的塑性区除存在受压区屈服和受压,受拉区同时屈服两种情况外,还可能在受拉区首先屈服而导致构件失去承载能力,因此除了按式（3.44）计算外,还应按下式计算:

64PA式中βmxMxγPγxW2x11.25RPEx≤f（3.45）W2x——受拉侧最外纤维的毛截面抵抗矩;

γx——与W2x相应的截面塑性发展系数.其余符号同式（3.44）,上式第二项分母中的1.25也是经过与理论计算结果比较后引进的修正系数.3.2压弯构件平面外失稳如图3.1（c）所示,当压弯构件没有设置侧向支撑时,在外荷载P尚未达到平面内弯曲失稳的临界荷载Pu之前,就可能导致压弯构件发生空间的弯扭