圆中典型计算题Word文件下载.docx

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说明：

在圆中解决弦的问题时，常用到垂径定理、勾股定理或锐角三角函数等知识，经常添加的辅助线是连接半径或过圆心作已知弦的垂线，构造以半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，然后运用垂径定理、勾股定理或锐角三角函数来求解。

例2. 

如图所示，在圆O中，弦AB=1.8cm，圆周角∠ACB=30°

，求圆O的直径。

此题要求直径，但图中没有直径，因此可先作出直径，构造直角三角形，并利用圆周角定理的推论，将特殊角转移到直角三角形中，然后运用勾股定理或锐角三角函数等求出直径的长。

如图所示，作直径AD，连接BD

∴∠ABD=90°

∵∠ACB=30°

而∠D与∠ACB所对的是同一条弧

∴∠D=∠ACB=30°

在Rt△ABD中，∠ABD=90°

，∠D=30°

，AB=1.8cm

∴AD=2AB=3.6cm

即圆O的直径为3.6cm

或由

，得

如图所示，连接OA、OB

∵∠AOB和∠ACB分别是弧AB所对的圆心角和圆周角

∴∠AOB=2∠ACB=60°

又OA=OB

∴△AOB是等边三角形

∴OA=OB=AB=1.8cm

∴圆O的直径为3.6cm

要求直径可先求半径，或作出直径，构造直角三角形，运用勾股定理等求出直径的长。

例3. 

如图所示，△ABC内接于圆O，AE为圆O的直径，AD为△ABC的高，求证：

∠BAE=∠CAD。

这两个角既可以看做是同一个圆的两个圆周角，又可以看做是两个三角形的对应角，因此，可以添加不同的辅助线，利用圆中角的关系及三角形中角的关系来证明它们相等。

证法1：

连接BE，如图

（1）所示

∵AE是圆O的直径，∴∠ABE=∠ADC=90°

∵∠E=∠C，∴∠BAE=∠CAD

图

（1）

证法2：

连接EC，如图

（2）所示

∵AE是圆O的直径，∴∠ACE=∠ADB=90°

∵∠E=∠B，∴∠BAD=∠EAC

∴∠BAD－∠EAD=∠EAC－∠EAD

即∠BAE=∠CAD

图

（2）

证法3：

如图（3）所示，过点O作ON⊥AB，交AB于M，交圆O于N

∵

，∴∠ADC=∠AMO=90°

∴∠BAE=∠CAD

图（3）

（1）如果已知条件中有关于圆直径的条件，可连接圆上有关的点，以构成直径所对的圆周角，这是圆的证明与计算题中常见的一条辅助线。

（2）证法3中由ON⊥AB，得到

，从而得到

，即∠AOM=∠C，这是一种常用的证明角相等的方法，在证明与计算中要能灵活运用。

例4. 

已知：

如图所示，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，圆O与腰AB相切于点D。

求证：

AC是圆O的切线。

由于AC与圆O有没有交点，已知条件中并没有指出，因此要证明AC是圆O的切线，就需要过点O作AC的垂线OE（垂足是E），再证明OE是圆O的半径即可。

如图所示，连接OD，AO，过点O作OE⊥AC，垂足是E

∵AB与圆O相切于点D

∴OD⊥AB

又AB=AC，OB=OC

∴∠BAO=∠CAO

∴OD=OE

∵OD为圆O的半径

∴OE为圆O的半径

又OE⊥AC，∴AC是圆O的切线

连接OD，过点O作OE⊥AC，垂足是E，证明△BDO≌△CEO，得到OD=OE

判定直线为圆的切线时，主要辅助线的添加方法：

①如果已知直线经过圆上一点，那么连半径，证垂直（如例5）；

②如果已知直线与圆是否有公共点在条件中没有给出，那么作垂直，证半径（如此例）。

例5. 

如图所示，△ABC中，∠C=90°

，以DB为直径作半圆切AC于E点，O是圆心，若AB=10，BC=6，求AD的长。

如图所示，连接OE，在两个直角三角形中，由

，可以求得AD的长。

解：

连接OE，∵AC与圆O相切于点E

∴OE⊥AC，又∠C=90°

∴在Rt△AOE与Rt△ABC中，有

设OE=x，则

（1）此题也可以用三角形相似求得比例式。

（2）此题设OE=x，则

，列方程求解，化未知为已知从而建立了OE与AO的联系，这种方程思想是解决几何问题常用的一种思想方法。

例6. 

已知，两圆外切时，圆心距为10cm，两圆内切时，圆心距为4cm。

求两圆半径的长。

根据两圆位置关系中，两圆的半径与圆心距之间的关系，可列出方程组求出这两个圆的半径的长。

设这两个圆的半径分别为Rcm和rcm（R>

r）

根据题意，得

解得

即大圆的半径为7cm，小圆的半径为3cm。

例7. 

如图所示，圆O1与圆O2相交于点A、B，过A点的直线分别交两圆于点C、D，点M是CD的中点，直线BM分别交两圆于点E、F。

（1）CE//DF；

（2）ME=MF

遇到两圆相交时，可连公共弦AB，由∠B为桥梁，把∠C与∠D联系起来，从而解决问题。

证明：

（1）如图所示，连接AB，在圆O1中，∠C=∠B

在圆O2中，∠B=∠D，∴∠C=∠D

∴CE//DF

（2）∵∠C=∠D，CM=DM，∠CME=∠DMF

∴ME=MF

例8. 

如图所示，AB是圆O的直径，AC是弦，D是弧BC的中点，过点D作AC的延长线的垂线DP，垂足为P，若PD=12，PC=8。

（1）求证：

PD是圆O的切线；

（2）求圆O的半径R的长。

由AB是圆O的直径，点D是弧BC的中点，AP⊥PD，故连接BC、OD后，由垂径定理可以得到四边形PDEC为矩形（如图所示），则PD为圆O的切线可得证，再由勾股定理便可以求出圆O的半径R的长。

（1）证明：

连接BC、OD，相交于点E

∵点D是弧BC的中点，则OD⊥BC，且BE=CE

∵AB是圆O的直径，且AP⊥PD

∴∠ACB=∠APD=90°

∴PD//BC，∴OD⊥PD

又OD为圆O的半径，∴PD是圆O的切线

（2）解：

由

（1）得∠BCP=∠APD=∠PDO=90°

∴四边形PDEC为矩形

∴CE=PD=12，∴BE=CE=12

在Rt△BEO中，OE=OD－DE=OD－PC=R－8

，∴

解得R=13

∴圆O的半径R=13

例9. 

如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°

，∠A=60°

，

，将△ABC绕点B旋转至△A’BC’的位置，且使A、B、C’三点在同一直线上，求点A移动到点A’所经过的路径的长度。

将△ABC绕点B旋转至△A’BC’的位置，顶点A移动到点A’所经过的路径是以点B为圆心，AB长为半径，圆心角是150°

的一段圆弧，如图所示，用弧长公式计算即可得出结论。

在Rt△ABC中，∠C=90°

，BC=

∴∠ABC=30°

，AB=4cm

又△A’BC’是将△ABC绕点B旋转得到的

∴△ABC≌△A’BC’

∴∠A’BC’=∠ABC=30°

∴∠ABA’=180°

－∠A’BC’=180°

－30°

=150°

即点A移动到点A’所经过的路径长是

。

例10. 

，∠A=30°

，点O在斜边AB上，半径为2cm的圆O过点B，切AC边于点D，交BC边于点E。

求由线段CD、CE及弧DE围成的阴影部分的面积。

这是求一个不规则图形的面积，应设法转化为规则图形的面积的和或差来计算，我们可以采用割补法，如图所示，连接OD，OE，利用梯形ODCE的面积与扇形ODE的面积的差，可以求得阴影部分的面积。

连接OD，OE

∵AD切圆O于点D，∴OD⊥AC

∵∠C=90°

，∴四边形ODCE是直角梯形

过点E作EF⊥OD于F

在Rt△ABC中

∵∠A=30°

，∴∠B=60°

则∠OEB=∠B=60°

∴∠EOD=60°

，∠OEF=30°

在Rt△OEF中，∠OEF=30°

，OE=2cm

∴OF=1cm，

即阴影部分的面积是

求与圆有关的阴影部分的面积问题，常用的方法有：

“公式法”、“和差法”、“割补法”、“等积代换法”、“几何变换法”等。

主要思路是将不规则图形的面积转化为规则图形的面积。

例11. 

如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°

，AB=AC=2，分别以B、C为圆心，2为半径画弧，求阴影部分的面积。

仔细观察图形，会发现这是两个扇形（扇形BAE与扇形CAD）重叠的一个组合图形，因此我们可以用如下方法来求解。

如图所示，过点A作AF⊥BC，垂足为F，则阴影部分面积=扇形BAE的面积+扇形CAD的面积－△ABC的面积。

即

如图所示，过点A作AF⊥BC，垂足为F，以点F为旋转中心，分别将阴影ADF部分逆时针旋转90°

，将阴影AEF部分顺时针旋转90°

，则阴影部分面积=扇形ABC的面积－△ABC的面积。

过程略。

解法3：

我们还可以采用代数方法，利用图形中面积的和差所隐含的等量关系来构造方程。

如图所示，设阴影部分面积为X，每一处空白部分面积为Y，因此有

解这个方程组，得