圆中典型计算题Word文件下载.docx

1、说明：在圆中解决弦的问题时，常用到垂径定理、勾股定理或锐角三角函数等知识，经常添加的辅助线是连接半径或过圆心作已知弦的垂线，构造以半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，然后运用垂径定理、勾股定理或锐角三角函数来求解。例2.如图所示，在圆O中，弦AB=1.8cm，圆周角ACB=30，求圆O的直径。此题要求直径，但图中没有直径，因此可先作出直径，构造直角三角形，并利用圆周角定理的推论，将特殊角转移到直角三角形中，然后运用勾股定理或锐角三角函数等求出直径的长。如图所示，作直径AD，连接BDABD=90ACB=30而D与ACB所对的是同一条弧D=ACB=30在RtABD中，ABD=90，D=30，AB=

2、1.8cmAD=2AB=3.6cm即圆O的直径为3.6cm或由，得如图所示，连接OA、OBAOB和ACB分别是弧AB所对的圆心角和圆周角AOB=2ACB=60又OA=OBAOB是等边三角形OA=OB=AB=1.8cm圆O的直径为3.6cm要求直径可先求半径，或作出直径，构造直角三角形，运用勾股定理等求出直径的长。例3.如图所示，ABC内接于圆O，AE为圆O的直径，AD为ABC的高，求证：BAE=CAD。这两个角既可以看做是同一个圆的两个圆周角，又可以看做是两个三角形的对应角，因此，可以添加不同的辅助线，利用圆中角的关系及三角形中角的关系来证明它们相等。证法1：连接BE，如图（1）所示AE是圆O

3、的直径，ABE=ADC=90E=C，BAE=CAD图（1）证法2：连接EC，如图（2）所示AE是圆O的直径，ACE=ADB=90E=B，BAD=EACBADEAD=EACEAD即BAE=CAD图（2）证法3：如图（3）所示，过点O作ONAB，交AB于M，交圆O于N，ADC=AMO=90BAE=CAD图（3）（1）如果已知条件中有关于圆直径的条件，可连接圆上有关的点，以构成直径所对的圆周角，这是圆的证明与计算题中常见的一条辅助线。（2）证法3中由ONAB，得到，从而得到，即AOM=C，这是一种常用的证明角相等的方法，在证明与计算中要能灵活运用。例4.已知：如图所示，ABC为等腰三角形，O是底边B

4、C的中点，圆O与腰AB相切于点D。求证：AC是圆O的切线。由于AC与圆O有没有交点，已知条件中并没有指出，因此要证明AC是圆O的切线，就需要过点O作AC的垂线OE（垂足是E），再证明OE是圆O的半径即可。如图所示，连接OD，AO，过点O作OEAC，垂足是EAB与圆O相切于点DODAB又AB=AC，OB=OCBAO=CAOOD=OEOD为圆O的半径OE为圆O的半径又OEAC，AC是圆O的切线连接OD，过点O作OEAC，垂足是E，证明BDOCEO，得到OD=OE判定直线为圆的切线时，主要辅助线的添加方法：如果已知直线经过圆上一点，那么连半径，证垂直（如例5）；如果已知直线与圆是否有公共点在条件中没

5、有给出，那么作垂直，证半径（如此例）。例5.如图所示，ABC中，C=90，以DB为直径作半圆切AC于E点，O是圆心，若AB=10，BC=6，求AD的长。如图所示，连接OE，在两个直角三角形中，由，可以求得AD的长。解：连接OE，AC与圆O相切于点EOEAC，又C=90在RtAOE与RtABC中，有设OE=x，则（1）此题也可以用三角形相似求得比例式。（2）此题设OE=x，则，列方程求解，化未知为已知从而建立了OE与AO的联系，这种方程思想是解决几何问题常用的一种思想方法。例6.已知，两圆外切时，圆心距为10cm，两圆内切时，圆心距为4cm。求两圆半径的长。根据两圆位置关系中，两圆的半径与圆心距

6、之间的关系，可列出方程组求出这两个圆的半径的长。设这两个圆的半径分别为Rcm和rcm（Rr）根据题意，得解得即大圆的半径为7cm，小圆的半径为3cm。例7.如图所示，圆O1与圆O2相交于点A、B，过A点的直线分别交两圆于点C、D，点M是CD的中点，直线BM分别交两圆于点E、F。（1）CE/DF；（2）ME=MF遇到两圆相交时，可连公共弦AB，由B为桥梁，把C与D联系起来，从而解决问题。证明：（1）如图所示，连接AB，在圆O1中，C=B在圆O2中，B=D，C=DCE/DF（2）C=D，CM=DM，CME=DMFME=MF例8.如图所示，AB是圆O的直径，AC是弦，D是弧BC的中点，过点D作AC的

7、延长线的垂线DP，垂足为P，若PD=12，PC=8。（1）求证：PD是圆O的切线；（2）求圆O的半径R的长。由AB是圆O的直径，点D是弧BC的中点，APPD，故连接BC、OD后，由垂径定理可以得到四边形PDEC为矩形（如图所示），则PD为圆O的切线可得证，再由勾股定理便可以求出圆O的半径R的长。（1）证明：连接BC、OD，相交于点E点D是弧BC的中点，则ODBC，且BE=CEAB是圆O的直径，且APPDACB=APD=90PD/BC，ODPD又OD为圆O的半径，PD是圆O的切线（2）解：由（1）得BCP=APD=PDO=90四边形PDEC为矩形CE=PD=12，BE=CE=12在RtBEO中，

8、OE=ODDE=ODPC=R8，解得R=13圆O的半径R=13例9.如图所示，在RtABC中，C=90，A=60，将ABC绕点B旋转至ABC的位置，且使A、B、C三点在同一直线上，求点A移动到点A所经过的路径的长度。将ABC绕点B旋转至ABC的位置，顶点A移动到点A所经过的路径是以点B为圆心，AB长为半径，圆心角是150的一段圆弧，如图所示，用弧长公式计算即可得出结论。在RtABC中，C=90，BC=ABC=30，AB=4cm又ABC是将ABC绕点B旋转得到的ABCABCABC=ABC=30ABA=180ABC=18030=150即点A移动到点A所经过的路径长是。例10.，A=30，点O在斜边

9、AB上，半径为2cm的圆O过点B，切AC边于点D，交BC边于点E。求由线段CD、CE及弧DE围成的阴影部分的面积。这是求一个不规则图形的面积，应设法转化为规则图形的面积的和或差来计算，我们可以采用割补法，如图所示，连接OD，OE，利用梯形ODCE的面积与扇形ODE的面积的差，可以求得阴影部分的面积。连接OD，OEAD切圆O于点D，ODACC=90，四边形ODCE是直角梯形过点E作EFOD于F在RtABC中A=30，B=60则OEB=B=60EOD=60，OEF=30在RtOEF中，OEF=30，OE=2cmOF=1cm，即阴影部分的面积是求与圆有关的阴影部分的面积问题，常用的方法有：“公式法”

10、、“和差法”、“割补法”、“等积代换法”、“几何变换法”等。主要思路是将不规则图形的面积转化为规则图形的面积。例11.如图所示，在等腰直角三角形ABC中，BAC=90，AB=AC=2，分别以B、C为圆心，2为半径画弧，求阴影部分的面积。仔细观察图形，会发现这是两个扇形（扇形BAE与扇形CAD）重叠的一个组合图形，因此我们可以用如下方法来求解。如图所示，过点A作AFBC，垂足为F，则阴影部分面积=扇形BAE的面积+扇形CAD的面积ABC的面积。即如图所示，过点A作AFBC，垂足为F，以点F为旋转中心，分别将阴影ADF部分逆时针旋转90，将阴影AEF部分顺时针旋转90，则阴影部分面积=扇形ABC的面积ABC的面积。过程略。解法3：我们还可以采用代数方法，利用图形中面积的和差所隐含的等量关系来构造方程。如图所示，设阴影部分面积为X，每一处空白部分面积为Y，因此有解这个方程组，得