22等差数列的概念通项公式性质练习含答案.docx
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22等差数列的概念通项公式性质练习含答案
2.2等差数列概念、通项公式、性质
第1课时等差数列的概念及通项公式
题型一等差数列的概念例1判断下列数列是不是等差数列?
(1)9,7,5,3,⋯,-2n+11,⋯;
(2)-1,11,23,35,⋯,12n-13,⋯;
(3)1,2,1,2,⋯;
(4)1,2,4,6,8,10,⋯;
(5)a,a,a,a,a,⋯.跟踪训练1数列{an}的通项公式an=2n+5(n∈N+),则此数列()A.是公差为2的等差数列B.是公差为5的等差数列C.是首项为5的等差数列D.是公差为n的等差数列题型二等差中项例2在-1与7之间顺次插入三个数a,b,c,使这五个数成等差数列,求此数列.
跟踪训练2若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5,求m和n的等差中项.
题型三等差数列通项公式的求法及应用
例3在等差数列{an}中,
(1)若a5=15,a17=39,试判断91是否为此数列中的项.
(2)若a2=11,a8=5,求a10.
跟踪训练3
(1)求等差数列8,5,2,⋯的第20项;
(2)判断-401是不是等差数列-5,-9,-13,⋯的项,如果是,是第几项?
等差数列的判定与证明典例1已知数列{an}满足an+1=3an+3n,且a1=1.
(1)证明:
数列3ann是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
典例2已知数列{an}:
a1=a2=1,an=an-1+2(n≥3).
(1)判断数列{an}是否为等差数列?
说明理由;
(2)求{an}的通项公式.
【课堂练习】
1.下列数列不是等差数列的是()
A.1,1,1,1,1B.4,7,10,13,16
1245
C.3,3,1,3,3D.-3,-2,-1,1,2
2.已知等差数列{an}的通项公式an=3-2n(n∈N+),则它的公差d为()
A.2B.3C.-2D.-3
3.已知在△ABC中,三个内角A,B,C成等差数列,则角B等于()
A.30°B.60°C.90°D.120°
4.若数列{an}满足3an+1=3an+1,则数列{an}是()
1
A.公差为1的等差数列B.公差为3的等差数列
1
C.公差为-31的等差数列D.不是等差数列
3
5.已知等差数列1,-1,-3,-5,⋯,-89,则它的项数是()
A.92B.47C.46D.45
1.判断一个数列是否为等差数列的常用方法
(1)an+1-an=d(d为常数,n∈N+)?
{an}是等差数列;
(2)2an+1=an+an+2(n∈N+)?
{an}是等差数列;
(3)an=kn+b(k,b为常数,n∈N+)?
{an}是等差数列.但若要说明一个数列不是等差数列,则只需举出一个反例即可.
2.由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d可以看出,只要知道首项a1和公差d,就可以求出通项公式,反过来,在a1,d,n,an四个量中,只要知道其中任意三个量,就可以求出另一个量.
【巩固提升】
一、选择题
1.设数列{an}(n∈N+)是公差为d的等差数列,若a2=4,a4=6,则d等于()
A.4B.3C.2D.1
2.已知等差数列-5,-2,1,⋯,则该数列的第20项为()
A.52B.62C.-62D.-523.在数列{an}中,a1=2,2an+1-2an=1,则a101的值为()
A.52
B.51
C.50
D.49
4.若5,x,
y,z,
21成等差数列,则x+y+z的值为()
A.26
B.
29
C.39
D.52
5.已知在等差数列
{an}中,
a3+a8=22,
a6=7,则a5等于()
A.15
B.
22
C7
D.29
6.等差数列
20,17,14,11,⋯
中第一个负数项是()
A.第7项
B.
第8项
C.第9项
D.
第10项
7.一个等差数列的前4项是
a
a,x,b,2x,则ab等于()
1
1
1
2
A.4
B.2
C.3
D.23
8.在数列{an}中,
a2=2,a6
=0,且数列
1
1是等差数列,则a4等于(an+1
1
1
1
1
A.2
B.13
C.14
D.16
二、填空题
9.若一个等差数列的前三项为a,2a-1,3-a,则这个数列的通项公式为.
10.现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为升.
11.首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差d的取值范围是
12.已知数列{an}中,a1=1,an-1-an=anan-1(n≥2,n∈N+),则a10=.
三、解答题
13.已知{an}为等差数列,且a3=-6,a6=0,求{an}的通项公式.
6an-4
14.已知数列{an}满足an+1=,且a1=3(n∈N+).
an+2
1
(1)证明:
数列是等差数列;
an-2
(2)求数列{an}的通项公式.
15.已知数列{an}满足:
a1=10,a2=5,an-an+2=2(n∈N+),求数列{an}的通项公式.
2.2.1答案
例1.由等差数列的定义得
(1)
(2)(5)为等差数列,(3)(4)不是等差数列.
跟踪训练1.A
例2.∵-1,a,b,c,7成等差数列,∴b是-1与7的等差中项,
b=-12+7=3.
又a是-1与3的等差中项,∴
-1+3
a=2=1.
又c是3与7的等差中项,∴
3+7c=3+27=5.
∴该数列为-1,1,3,5,7.
跟踪训练2解由m和2n的等差中项为4,得m+2n=8.又由2m和n的等差中项为5,得2m+n=10.
两式相加,得3m+3n=18,即m+n=6.
所以
m和n的等差中项为m+2n=3.
a1+4d=15.
a1=7,
例3
解
(1)因为
解得
a1+16d=39,
d=2,
所以
an=7+2(n-1)=2n+5.
令2n+5=91,得n=43.
a1=12,解得ad=-1.
因为43为正整数,所以91是此数列中的项.
a1+d=11,
(2)设{an}的公差为d,则
a1+7d=5,
∴an=12+(n-1)×(-1)=13-n,所以a10=13-10=3.
跟踪训练3解
(1)由a1=8,a2=5,得d=a2-a1=5-8=-3,
由n=20,得a20=8+(20-1)×(-3)=-49.
(2)由a1=-5,d=-9-(-5)=-4,得这个数列的通项公式为an=-5+(n-1)×(-4)=-4n-1.由题意,令-401=-4n-1,得n=100,即-401是这个数列的第100项.
典例1
(1)证明由an+1=3an+3n,两边同时除以3n+1,
由等差数列的定义知,数列3ann是以a1=1为首项,1为公差的等差数列.
3333an11n
(2)解由
(1)知3n=3+(n-1)×3=3,故an=n·3n-1,n∈N+.
典例2解
(1)当n≥3时,an=an-1+2,即an-an-1=2,而a2-a1=0不满足an-an-1=2(n≥3),
∴{an}不是等差数列.
(2)当n≥2时,an是等差数列,公差为2.
当n≥2时,an=1+2(n-2)=2n-3,
又a1=1不适合上式,
∴{an}的通项公式为an=1,n=1,
2n-3,n≥2.
课堂练习
DCBBC
巩固提升
1—8DAACABCAn
9.an=+1
4
10.
67
66
8
11.83,3
13.解设数列{an}的公差为d,
a1+2d=-6,
由已知得aa1++5dd==-0,6,
a1=-10,解得da=2,10
所以数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d=-10+(n-1)×2=2n-12.
11
+,
an-24
an+2an-2+4
4an-84an-2
1
故数列1是等差数列.
an-2
1n+3,
当n=2k时,a2k=a2+(k-1)·(-2)=5-2k+2=7-2k.
∴an=7-n(n为偶数).
7-n,n为偶数,a11-n,n为奇数.
2.2第2课时等差数列的性质
题型一an=am+(n-m)d的应用例1在等差数列{an}中,已知a2=5,a8=17,求数列的公差及通项公式.
跟踪训练1{bn}为等差数列,若b3=-2,b10=12,则b8=.
题型二等差数列性质的应用
例2已知等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求此数列的通项公式.
引申探究
1.在例2中,不难验证a1+a4+a7=a2+a4+a6,那么,在等差数列{an}中,若m+n+p=q+r+s,m,n,p,q,r,s∈N+,是否有am+an+ap=aq+ar+as?
2.在等差数列{an}中,已知a3+a8=10,则3a5+a7=.
跟踪训练2在等差数列{an}中,已知a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,求a3+a6+a9的值.
题型三等差数列的设法与求解
18,它们的平方和等于116,求这三个数.
例3已知三个数成单调递增等差数列,它们的和等于
数列问题如何选择运算方法典例等差数列{an}中,a3+a7+2a15=40,求a10.
课堂练习】
a3=10,a8=-20,则公差d等于(
3.等差数列{an}中,
a4+a5=15,a7=12,
则a2等于(
A.3
B.-
3
3
3
C.32
D.-
2
A.32B.-32C.35
4.设公差为-2的等差数列{an},如果a1+a4+a7+⋯+a97=50,那么a3+a6+a9+⋯+a99等于(A.-182B.-78C.-148D.-82
5.在等差数列{an}中,已知a2+2a8+a14=120,则2a9-a10=.
1.在等差数列{an}中,每隔相同数目的项抽出来的项按照原来的顺序排列,构成的新数列仍然是等差数列.
2.在等差数列{an}中,首项a1与公差d是两个最基本的元素,有关等差数列的问题,如果条件与结论间的联系不明显,则均可根据a1,d的关系列方程组求解,但是,要注意公式的变形及整体计算,以减少计算量.
【巩固提升】
一、选择题
1.已知数列{an}为等差数列,a3=6,a9=18,则公差d为()
A.1
B.3
C.2
D.4
2.在等差数列
{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8的值等于()
A.45
B.75
C.180
D.300
3.已知等差数列{an}的公差为
d(d≠0),且
a3+a6+a10+a13=32,若am=8,则m的值为()
A.12
B.8
C.6
D.4
5.已知数列{an}为等差数列且a1+a7+a13=4π,则tan(a2+a12)的值为()
A.3B.±3
C.-33D.-3
6.已知数列ann是等差数列,且a3=2,a15=30,则a9等于()
A.12B.24C.16D.32
7.若a,b,c成等差数列,则二次函数y=ax2-2bx+c的图象与x轴的交点的个数为()
A.0B.1C.2D.1或2
8.已知{an}是公差为正数的等差数列,a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则a11+a12+a13的值为()
A.105B.120C.90D.75
二、填空题
9.在等差数列{an}中,已知am=n,an=m,m,n∈N+,则am+n的值为
11.在下面的数表中,已知每行、每列中的数都成等差数列.
第1列
第2列
第3列
第1行
1
2
3
第2行
2
4
6
第3行
3
6
9
10.若三个数成等差数列,它们的和为
9,平方和为59,则这三个数的积为
那么位于表中的第n行第n+1列的数是
12.若等差数列{an}满足an+1+an=4n-3,则{an}的通项公式为三、解答题
13.在等差数列{an}中,
1
(1)若a2+a4+a6+a8+a10=80,求a7-2a8;
(2)已知a1+2a8+a15=96,求2a9-a10.
14.已知{an}为等差数列,且a1+a3+a5=18,a2+a4+a6=24.
(1)求a20的值;
341
(2)若bn=2an-2,试判断数列{bn}从哪一项开始大于0.
15.已知两个等差数列{an}:
5,8,11,⋯与{bn}:
3,7,11,⋯,它们的项数均为100,则它们有多少个彼此具有相同数值的项?
2.2.2答案
例1在等差数列{an}中,已知a2=5,a8=17,求数列的公差及通项公式.解因为a8=a2+(8-2)d,所以17=5+6d,解得d=2.
又因为an=a2+(n-2)d,所以an=5+(n-2)×2=2n+1.跟踪训练1.8
例2解方法一因为a1+a7=2a4,a1+a4+a7=3a4=15,所以a4=5.
又因为a2a4a6=45,所以a2a6=9,
所以(a4-2d)(a4+2d)=9,即(5-2d)(5+2d)=9,解得d=±2.
若d=2,an=a4+(n-4)d=2n-3,n∈N+;
若d=-2,an=a4+(n-4)d=13-2n,n∈N+.
方法二设等差数列的公差为d,
则由a1+a4+a7=15,得
a1+a1+3d+a1+6d=15,
即a1+3d=5.①
由a2a4a6=45,
得(a1+d)(a1+3d)(a1+5d)=45,将①代入上式,得
(5-2d)×5×(5+2d)=45,
即(5-2d)(5+2d)=9,②
联立①②解得a1=-1,d=2或a1=11,d=-2,
即an=-1+2(n-1)=2n-3;
或an=11-2(n-1)=-2n+13.
引申探究
1.解设公差为d,则am=a1+(m-1)d,
an=a1+(n-1)d,
ap=a1+(p-1)d,
aq=a1+(q-1)d,
ar=a1+(r-1)d,
as=a1+(s-1)d,
∴am+an+ap=3a1+(m+n+p-3)d,
aq+ar+as=3a1+(q+r+s-3)d,
∵m+n+p=q+r+s,∴am+an+ap=aq+ar+as.
2.20
解析∵a3+a8=10,∴a3+a3+a8+a8=20.
∵3+3+8+8=5+5+5+7,
∴a3+a3+a8+a8=a5+a5+a5+a7,即3a5+a7=2(a3+a8)=20.
跟踪训练2解方法一∵(a2+a5+a8)-(a1+a4+a7)=3d,(a3+a6+a9)-(a2+a5+a8)=3d,
∴a1+a4+a7,a2+a5+a8,a3+a6+a9成等差数列.
∴a3+a6+a9=2(a2+a5+a8)-(a1+a4+a7)=2×33-39=27.
方法二∵a1+a4+a7=a1+(a1+3d)+(a1+6d)
=3a1+9d=39,
∴a1+3d=13,①
∵a2+a5+a8=(a1+d)+(a1+4d)+(a1+7d)=3a1+12d=33.
∴a1+4d=11,②
d=-2,
联立①②解得a1=19.
∴a3+a6+a9=(a1+2d)+(a1+5d)+(a1+8d)=3a1+15d=3×19+15×(-2)=27.
例3.解设这三个数分别为a-d,a,a+d,且d>0.
a-d+a+a+d=18,由题意可得222
a-d+a+a+d=116,
a=6,a=6,
解得或
d=2d=-2.
∵d>0,∴a=6,d=2.∴这个数列是4,6,8.
跟踪训练3.解设这三个数分别为
a-d,a,a+d.
a-d+a+a+d=6,
由题意可得
a-d
·a·a+d=-24,
a=2,
a=2,
解得
或
d=4
d=-4.
∴所求三个数为-
2,2,6或6,2,-2.
典例解
方法一
设{an}的公差为
d.
则a3+a7+2a15=a1+2d+a1+6d+2(a1+14d)
=4a1+36d=4(a1+9d)
=4a10=40,
∴a10=10.
方法二∵a3+a7+2a15=a3+a7+a15+a15=a10+a10+a10+a10=40,∴a10=10.
课堂练习BCAD30
巩固提升
1—8CCBCDADA
9.0
10.-21
11.n2+n
12.an=2n-52
13.解
(1)a2+a4+a6+a8+a10=5a6=80,∴a6=16,
111∴a7-2a8=2(2a7-a8)=2(a6+a8-a8)=2a6=8.
(2)∵a1+2a8+a15=4a8=96,∴a8=24.∴2a9-a10=a10+a8-a10=a8=24.
14.解
(1)因为a1+a3+a5=18,a2+a4+a6=24,所以a3=6,a4=8,则公差d=2,所以a20=a3+17d=40.
(2)由
(1)得an=a3+(n-3)d=6+(n-3)×2=2n,
34141
所以bn=2×2n-2=3n-2.
由bn>0,即3n-421>0,得n>461,
26
所以数列{bn}从第7项开始大于0.
15.解因为an=3n+2(n∈N*),bk=4k-1(k∈N*),两数列的共同项可由3n+2=4k-1求得,
4**
所以n=3k-1.而n∈N*,k∈N*,
3
所以设k=3r(r∈N*),得n=4r-1.
1≤3r≤100,*
由已知且r∈N*,可得1≤r≤25.
1≤4r-1≤100,
所以共有25个相同数值的项.
111
得an+1-2-an-2=4,n∈N+,
当n=2k-1时,2k=n+1,a2k-1=a1+(k-1)·(-2)=12-2k,∴an=12-(n+1)=11-n(n为奇数).