22等差数列的概念通项公式性质练习含答案.docx

1、22等差数列的概念通项公式性质练习含答案2.2 等差数列概念、通项公式、性质第 1 课时 等差数列的概念及通项公式题型一 等差数列的概念 例 1 判断下列数列是不是等差数列？(1)9,7,5,3 ， 2n11，；(2) 1,11,23,35， 12n13，；(3)1,2,1,2，；(4)1,2,4,6,8,10，；(5)a， a， a， a， a， . 跟踪训练 1 数列 an的通项公式 an 2n 5(n N)，则此数列 ( ) A 是公差为 2 的等差数列 B是公差为 5 的等差数列 C是首项为 5 的等差数列 D 是公差为 n 的等差数列 题型二 等差中项 例 2 在 1 与 7 之间顺

2、次插入三个数 a， b， c，使这五个数成等差数列，求此数列跟踪训练 2 若 m 和 2n 的等差中项为 4,2m 和 n 的等差中项为 5，求 m 和 n 的等差中项题型三 等差数列通项公式的求法及应用例 3 在等差数列 an 中，(1)若 a5 15， a17 39，试判断 91 是否为此数列中的项(2)若 a2 11， a8 5，求 a10.跟踪训练 3 (1)求等差数列 8,5,2，的第 20 项；(2)判断 401 是不是等差数列 5， 9， 13，的项，如果是，是第几项？ 等差数列的判定与证明 典例 1 已知数列 an满足 an13an3n，且 a1 1.(1)证明：数列 3ann

3、 是等差数列；(2)求数列 an的通项公式典例 2 已知数列 an：a1a21， anan12(n3)(1)判断数列 an 是否为等差数列？说明理由；(2)求 an的通项公式【课堂练习】1下列数列不是等差数列的是 ( )A 1,1,1,1,1 B4,7,10,13,161 2 4 5C.3， 3 ， 1 ， 3， 3 D 3 ， 2， 1,1,22已知等差数列 an的通项公式 an32n(nN)，则它的公差 d为( )A2 B3 C 2 D33已知在 ABC中，三个内角 A，B， C成等差数列，则角 B 等于( )A 30 B 60 C 90 D120 4若数列 an满足 3an13an1，则

4、数列 an 是( )1A公差为 1 的等差数列 B公差为 3的等差数列1C公差为 31的等差数列 D不是等差数列35已知等差数列 1， 1， 3，5， 89，则它的项数是 ( )A 92 B47 C 46 D 451判断一个数列是否为等差数列的常用方法(1)an1and(d 为常数， nN)? an 是等差数列；(2)2an1anan2(nN)? an 是等差数列；(3)anknb(k，b 为常数， nN)? an是等差数列 但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可2由等差数列的通项公式 ana1(n1)d 可以看出，只要知道首项 a1和公差 d，就可以求出通项公式，反过来，在

5、a1，d，n，an 四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量 .【巩固提升】一、选择题1设数列 an( nN )是公差为 d的等差数列，若 a24，a46，则 d 等于 ( )A 4 B3 C2 D 12已知等差数列 5， 2,1，则该数列的第 20 项为( )A52 B62 C62 D 52 3在数列 an中，a12,2an12an1，则 a101的值为 ( )A52B51C50D494若 5， x，y，z，21 成等差数列，则 xyz的值为 ( )A26B29C39D525已知在等差数列 an 中，a3 a822，a6 7，则 a5 等于 ( )A15B22C7D296等差数列

6、20,17,14,11，中第一个负数项是 ( )A第 7 项B第8项C第 9 项D第 10 项7一个等差数列的前 4 项是aa，x， b，2x，则ab等于 ( )1112A.4B.2C.3D.238在数列 an 中，a2 2， a60，且数列11 是等差数列，则 a4等于 ( an11111A.2B.13C.14D.16二、填空题9若一个等差数列的前三项为 a,2a1,3a，则这个数列的通项公式为 10现有一根 9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4节的容积共 3升，下面 3节的容积共 4 升，则第 5 节的容积为 升11首项为 24 的等差数列，从第 10 项起开始为正数，则公差

7、 d 的取值范围是 12. 已知数列 an 中，a11，an1ananan1(n 2，nN)，则 a10 .三、解答题13已知 an为等差数列，且 a3 6， a6 0，求 an的通项公式6an 414已知数列 an 满足 an1 ，且 a13(nN )an 21(1)证明：数列 是等差数列；an 2(2)求数列 an的通项公式15已知数列 an 满足： a110，a25，anan22(nN)，求数列 an的通项公式2.2.1 答案例 1. 由等差数列的定义得 (1)(2)(5) 为等差数列， (3)(4) 不是等差数列跟踪训练 1 .A例 2. 1，a，b，c，7 成等差数列， b是1与 7

8、的等差中项，b1273.又 a 是 1 与 3 的等差中项，13a 2 1.又 c是 3与 7的等差中项，37 c32 7 5.该数列为 1,1,3,5,7.跟踪训练 2 解 由 m和 2n 的等差中项为 4，得 m 2n 8. 又由 2m和 n 的等差中项为 5，得 2mn10.两式相加，得 3m 3n 18，即 mn 6.所以m和 n的等差中项为 m2 n3.a1 4d 15.a1 7，例3解 (1) 因为解得a1 16d 39，d2，所以an72（n1） 2n5.令 2n 591，得 n43.a112， 解得 ad 1.因为 43 为正整数，所以 91 是此数列中的项a1 d11，(2)

9、 设 an的公差为 d，则a1 7d5，an12(n1)( 1) 13 n， 所以 a10 13 10 3.跟踪训练 3 解 (1) 由 a1 8，a25，得 da2a158 3，由 n20，得 a208(201)( 3) 49.(2) 由 a1 5，d 9( 5) 4，得这个数列的通项公式为 an5(n1)( 4)4n1. 由题意，令 401 4n 1，得 n 100， 即 401是这个数列的第 100 项典例 1 (1) 证明 由 an13an 3n，两边同时除以 3n1，由等差数列的定义知，数列 3ann 是以a1 1为首项， 1为公差的等差数列3 3 3 3 an 1 1 n(2) 解

10、 由(1) 知3n3( n1)33， 故 ann3n-1， nN.典例 2 解 （1） 当 n3时， an an1 2，即 anan1 2， 而 a2a10 不满足 an an1 2（ n3） ，an 不是等差数列（2） 当 n2时， an 是等差数列，公差为 2.当 n2时，an12（n2） 2n3，又 a11 不适合上式，an 的通项公式为 an 1，n1，2n 3， n2.课堂练习DCBBC巩固提升18 DAACABCA n9. a n 1410.6766811. 83，313. 解 设数列 an 的公差为 d，a12d 6，由已知得 aa15dd0，6，a1 10， 解得 da2，10

11、所以数列 an 的通项公式为 ana1（ n 1） d 10（ n1） 2 2n 12.11，an 2 4an2 an2 44an8 4 an 21故数列 1 是等差数列an 21 n 3，当 n2k 时，a2ka2（k1）（ 2）52k272k.an7n（n为偶数 ）7 n， n为偶数， a 11 n， n为奇数 .2.2 第 2 课时 等差数列的性质题型一 anam（nm）d 的应用 例1 在等差数列 an中，已知 a2 5， a8 17，求数列的公差及通项公式跟踪训练 1 bn 为等差数列，若 b3 2，b10 12，则 b8 .题型二 等差数列性质的应用例2 已知等差数列 an 中，

12、a1a4a715，a2a4a645，求此数列的通项公式引申探究1在例 2 中，不难验证 a1a4a7a2a4a6，那么，在等差数列 an中，若 mnpqrs，m，n，p，q，r， sN，是否有 am an apaqaras？2在等差数列 an 中，已知 a3a810，则 3a5 a7 .跟踪训练 2 在等差数列 an 中，已知 a1a4a739，a2a5a833，求 a3 a6 a9的值题型三 等差数列的设法与求解18，它们的平方和等于 116，求这三个数例 3 已知三个数成单调递增等差数列，它们的和等于数列问题如何选择运算方法 典例 等差数列 an 中，a3a72a1540，求 a10.课堂

13、练习】a3 10， a8 20，则公差 d等于 (3等差数列 an 中，a4a5 15 ， a7 12，则 a2 等于 (A3B333C32D2A32 B 32 C354设公差为 2 的等差数列 an ，如果 a1a4a7 a97 50 ，那么 a3 a6 a9 a99等于 ( A 182 B 78 C 148 D 825在等差数列 an 中，已知 a2 2a8a14120，则 2a9a10 .1在等差数列 an 中，每隔相同数目的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列2在等差数列 an 中，首项 a1与公差 d是两个最基本的元素， 有关等差数列的问题， 如果条件与结论间的

14、联系不明显， 则均可根据 a1，d 的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量【巩固提升】一、选择题1已知数列 an 为等差数列， a36，a918，则公差 d 为( )A1B3C2D42在等差数列 an中，若 a3a4a5a6a7450，则 a2a8 的值等于 ( )A45B75C180D3003已知等差数列 an的公差为d(d0)，且a3 a6a10 a13 32，若 am 8，则 m 的值为 ( )A12B8C6D45已知数列 an 为等差数列且 a1 a7 a13 4，则 tan(a2 a12)的值为 ( )A. 3 B 3C 33 D 36已知数列 ann 是

15、等差数列，且 a32，a1530，则 a9等于 ( )A 12 B24 C16 D 327若 a，b，c 成等差数列，则二次函数 yax22bxc 的图象与 x轴的交点的个数为 ( )A0 B1 C2 D1 或 28已知 an 是公差为正数的等差数列， a1a2a315，a1a2a380，则 a11 a12 a13 的值为 ( )A 105 B120 C90 D 75二、填空题9在等差数列 an中，已知 amn，anm，m，nN，则 amn 的值为11在下面的数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列 .第1列第2列第3列第1行123第2行246第3行36910若三个数成等差数列，它们的和为9，

16、平方和为 59，则这三个数的积为那么位于表中的第 n 行第 n 1 列的数是 12若等差数列 an满足 an1an4n3，则 an的通项公式为 三、解答题13在等差数列 an 中，1 (1)若 a2a4 a6 a8 a10 80，求 a72a8；(2)已知 a1 2a8 a15 96，求 2a9 a10.14已知 an 为等差数列，且 a1a3a5 18，a2a4a624. (1)求 a20 的值；3 41(2)若 bn2an 2 ，试判断数列 bn从哪一项开始大于 0.15已知两个等差数列 an ： 5,8,11，与 bn ：3,7,11，它们的项数均为 100，则它们有多少个彼此具有相同数

17、值 的项？2.2.2 答案例 1 在等差数列 an 中，已知 a2 5， a8 17，求数列的公差及通项公式 解 因为 a8a2 （8 2） d，所以 17 5 6d，解得 d 2.又因为 ana2（ n2） d，所以 an 5 （ n2） 2 2n1. 跟踪训练 1 . 8例2 解 方法一 因为 a1a72a4，a1a4a73a415， 所以 a45.又因为 a2a4a6 45，所以 a2a6 9，所以（ a42d）（ a42d）9，即（52d）（5 2d）9， 解得 d 2.若 d2，ana4（n4）d2n3，nN；若 d 2， an a4（ n4） d13 2n，nN.方法二 设等差数列

18、的公差为 d，则由 a1 a4 a7 15，得a1 a1 3d a1 6d15，即 a1 3d 5. 由 a2a4a6 45，得（ a1d）（ a13d）（ a15d） 45， 将代入上式，得（5 2d） 5（5 2d）45，即（5 2d）（5 2d） 9， 联立解得 a1 1， d2 或 a1 11， d 2，即 an 12（ n1） 2n3；或 an11 2（ n1） 2n 13.引申探究1解 设公差为 d，则 ama1（m1）d，an a1 （ n 1） d，ap a1 （ p 1） d，aq a1 （ q 1） d，ara1（r1）d，as a1 （s 1）d， am an ap 3a

19、1 （ m np3）d，aq ar as3a1（ qr s3）d，mnpqrs， amanapaqar as.220解析 a3 a8 10， a3 a3a8 a8 20.3 3 8855 57， a3 a3a8 a8 a5 a5a5 a7， 即 3a5 a7 2（a3 a8） 20.跟踪训练 2 解 方法一 （a2 a5 a8） （a1 a4 a7） 3d， （ a3 a6 a9） （ a2 a5 a8） 3d，a1a4a7，a2a5a8，a3a6a9 成等差数列 a3 a6 a9 2（ a2 a5a8） （ a1 a4 a7） 233 39 27.方法二 a1a4a7a1（ a1 3d） （

20、a16d） 3a1 9d 39， a1 3d 13， a2 a5 a8 （ a1 d） （ a1 4d） （ a17d） 3a112d33. a1 4d 11， d 2，联立解得 a1 19.a3a6a9（a12d） （ a1 5d） （a18d） 3a115d31915（ 2） 27.例 3. 解 设这三个数分别为 ad，a， ad，且 d0.ad a a d 18， 由题意可得 2 2 2a d a a d 116，a 6， a6，解得 或d2 d 2. d0， a6， d2. 这个数列是 4,6,8.跟踪训练 3. 解 设这三个数分别为a d，a，a d.ad a a d 6，由题意可得

21、ada ad 24，a2，a2，解得或d4d 4.所求三个数为2,2,6 或 6,2, 2.典例 解方法一设an 的公差为d.则 a3a72a15a12da16d 2（a114d）4a136d4（a19d） 4a10 40， a10 10.方法二 a3 a72a15 a3 a7 a15 a15a10 a10 a10 a10 40， a10 10.课堂练习 BCAD 30巩固提升 CCBCDADA . . n2 n . an 2n52解 (1) a2 a4 a6 a8a10 5a6 80， a616，1 1 1 a7 2a8 2（2 a7 a8） 2（ a6a8a8） 2a6 8.(2) a1

22、2a8 a15 4a8 96， a824. 2a9a10a10a8a10 a8 24.1解 (1) 因为 a1 a3 a518， a2 a4a6 24， 所以 a36， a4 8，则公差 d 2， 所以 a20 a3 17 d 40.(2) 由(1) 得 ana3(n3)d6(n3)2 2n，3 41 41所以 bn22n 2 3n 2 .由 bn0，即 3n 4210，得 n461，26所以数列 bn从第 7 项开始大于 0. 解 因为 an3n2(nN*)，bk4k1(kN*)，两数列的共同项可由 3n24k1 求得，4 * *所以 n 3k 1. 而 nN*，kN*，3所以设 k3r( rN*) ，得 n4r1.13r 100， *由已知 且 r N*，可得 1r 25.14r1100，所以共有 25 个相同数值的项1 1 1得an12an24，nN，当 n2k1时，2kn1，a2k1a1（k1）（ 2） 12 2k， an12（n1）11n（n为奇数 ）