高中数学专题定积分的概念教案新人教A版选修2Word下载.docx
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＝∑?
＋n2?
i＝1i＝1nnni＝1?
n?
21 ＝·
n＋2[0＋1＋2＋?
＋（n－1）] nn1n?
n－1?
n－1＝2＋2·
＝2＋.n22n（3）取极限：
S＝lim?
2＋n→∞52 因此?
1（1＋x）dx＝. 2 探究点二定积分的几何意义 思考1从几何上看，如果在区间[a，b]上函数f（x）连续且恒有f（x）≥0，那么?
af（x）dx表示什么？
b?
?
n－1?
15 ＝2＋＝.?
2n?
22 答当函数f（x）≥0时，定积分?
af（x）dx在几何上表示直线x＝a，x＝b（a 思考2当f（x）在区间[a，b]上连续且恒有f（x）≤0时，?
af（x）dx表示的含义是什么？
若f（x）有正有负呢？
bb 答如果在区间[a，b]上，函数f（x）≤0时，那么曲边梯形位于x轴的下方（如图①）．于 b－a>
0，f（ξi）≤0，故nb－abbf（ξi）≤0.从而定积分?
af（x）dx≤0，这时它等于如图①所示曲边梯形面积的相反值，即?
af（x）dx＝－S. n 当f（x）在区间[a，b]上有正有负时，定积分?
函数f（x）的图象及直线x＝a，x＝b（a≠b）af（x）dx表示介于x轴、之间各部分面积的代数和（在x轴上方的取正，在x轴下方的取负）．（如图②），即?
af（x）dx＝－S1＋S2－S3.例2利用几何意义计算下列定积分：
（1）?
9－xdx；
（2）?
－3－1（3x＋1）dx. 3 23 bb
（2）直线x＝－1，x＝3，y＝0，以及y＝3x＋1所围成的图形，如图所示：
?
－1（3x＋1）dx表示直线x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所围成的图形在x轴上方的面积减去在x轴下方的面积， 11115023∴?
－＝16.－1（3x＋1）dx＝×
（3＋）×
（3×
3＋1）－（－＋1）×
2＝232333 反思与感悟利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积．不规则的图象常用分割法求面积，注意分割点的准确确定．跟踪训练2根据定积分的几何意义求下列定积分的值：
－1xdx；
0cosxdx；
（3）?
－1|x|dx.解
（1）如图
（1），?
－1xdx＝－A1＋A1＝0.
（2）如图
（2），?
0cosxdx＝A1－A2＋A3＝0. 2π 1 1 2π 1 3 11 （3）如图（3），∵A1＝A2，∴?
－1|x|dx＝2A1＝2×
＝1. 2（A1，A2，A3分别表示图中相应各处面积） 探究点三定积分的性质 思考1定积分的性质可作哪些推广？
答定积分的性质的推广 ①?
a[f1（x）±
f2（x）±
?
±
fn（x）]dx＝?
af1（x）dx±
af2（x）dx±
afn（x）dx；
②?
c1af（x）dx＋?
c2c1f（x）dx＋?
＋?
cnf（x）dx（其中n∈N）．af（x）dx＝?
思考2如果一个函数具有奇偶性，它的定积分有什么性质？
bb* bbbb 例3计算?
9－x－x）dx的值．－3（解如图， 3 2 3 定积分的几何意义得?
3 3 3 －3 2 π×
39π 9－xdx＝＝， 22 2 ?
－3xdx＝0，定积分性质得 9π3233233 ?
9－x－x）dx＝?
9－xdx－?
. －3（－3－3xdx＝ 2 反思与感悟根据定积分的性质计算定积分，可以先借助于定积分的定义或几何意义求出相关函数的定积分，再利用函数的性质、定积分的性质结合图形进行计算．12315227425613 跟踪训练3已知?
，?
，求：
0xdx＝，?
1xdx＝1xdx＝，?
2xdx＝4433
（1）?
03xdx；
16xdx；
1（3x－2x）dx.解
（1）?
03xdx＝3?
0xdx＝3（?
0xdx＋?
1xdx） 2 3 23 13 23 2 3 4 2 2 2 3 115 ＝3×
（＋）＝12；
44 75642422242
（2）?
）＝126；
16xdx＝6?
1xdx＝6（?
1xdx＋?
2xdx）＝6×
（＋33（3）?
1（3x－2x）dx＝?
13xdx－?
12xdx 7151512223＝3?
＝7－＝－.1xdx－2?
1xdx＝3×
－2×
3422☆课堂提高☆1．下列结论中成立的个数是（） 2 2 3 2 2 2 3 i31 ①?
xdx＝∑3·
；
i＝1nnn13 0 n②?
xdx＝lim∑n→∞i＝1 n13 0 130 ?
i－1?
3 n3 1·
ni31 ③?
xdx＝lim∑3·
.n→∞i＝1nnA．0B．1C．2D．3【答案】C 2．当n很大时，函数f（x）＝x在区间?
?
（i＝1,2，?
，n）上的值可以用（）近似代替 nn?
A. 2 ?
i?
1i?
i B．n?
1?
f?
C．?
D． n?
【答案】C 【解析】f（x）＝x在区间?
上的值可以用区间?
上每一点对应的函数值近似代替，故选C. nnnn?
3．下列等式不成立的是（）A.B.C.D. 2 ?
bab?
mf?
x?
ng?
dx＝m?
af?
dx＋n?
ag?
dx?
dx＝?
dx＋b－a bbaabbb?
ab?
g?
dx?
dx a?
2π?
2πsinxdx＝?
0?
2πsinxdx?
sinxdx 02π【答案】C 【解析】利用定积分的性质进行判断，选项C不成立．
例如 ?
10xdx?
1111111123，?
xdx?
x3dx?
x2dx.故选C. 000002346 6 4．已知定积分?
0f（x）dx＝8，且f（x）为偶函数，则?
－6f（x）dx等于（）．A．0B．16C．12D．8【答案】B 【解析】偶函数图象关于y轴对称，故?
－6f（x）dx＝2?
0f（x）dx＝16，故选B.5．已知 26 6 ?
edx?
e?
1，?
02x1x21edx?
e，?
x2220228xdx?
2ln2.求：
1x32
（1） ?
x1?
（2）；
（3）e?
dx.e?
3xdxedx?
0x?
x2【解析】
（1）
（2） ?
20exdx?
exdx?
e2?
1. 012x222x2000012?
e02x?
3x?
edx＋?
edx＋3?
x2dx＝e2－1＋8＝e2＋7. 2（3） ?
212122?
2xdx＝＋＝e－e＋ln2.e?
dxedx?
112xx?
2 2 6．利用定积分的定义计算?
1（－x＋2x）dx的值，并从几何意义上解释这个值表示什么．
（2）近似代替、求和 取ξi＝1＋（i＝1,2，?
，n），则 nii2i1 Sn＝∑f（1＋）·
Δx＝∑[－（1＋）＋2（1＋）]·
i＝1i＝1nnnnnin122222 ＝－3[（n＋1）＋（n＋2）＋（n＋3）＋?
＋（2n）]＋2[（n＋1）＋（n＋2）＋（n＋3）＋?
＋2n] nn12n?
2n＋1?
4n＋1?
n＋1?
n＋1＋2n?
＝－3[－]＋2·
n66n21111111 ＝－（2＋）（4＋）＋（1＋）（2＋）＋3＋. 3nn6nnn（3）取极限 1111111222 ?
1（－x＋2x）dx＝limSn＝lim[－（2＋）（4＋）＋（1＋）（2＋）＋3＋]＝，n→∞n→∞3nn6nnn3 222 ?
x＝2，y＝0与曲线f（x）＝－x2＋2x所围成的曲边梯形的面积．1（－x＋2x）dx＝的几何意义为直线x＝1， 3
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