最短路径问题教案河南省漯河市舞阳县人教版八年级数学上册文档格式.docx

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教学策略分析：

最短路径问题从本质上说是最值问题，作为八年级学生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手.

解答“当点A、B在直线l的同侧时，如何在l上找到点C，使AC与BC的和最小”，需要将其转化为“直线l异侧的两点，与直线l上的点的线段的和最小”的问题，为什么需要这样转化，怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解上和操作上的困难.

在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求做的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路和方法，一些学生想不到.

教学时，教师可以让学生首先思考“直线l异侧的两点，与直线l上的点的和最小”为学生搭建桥梁，在证明最短时，教师要适时点拨学生，让学生体会任意的作用.

教学条件分析:

在初次解决问题时，学生出现了多种方法，通过测量，发现利用轴对称将同侧两点转化为异侧两点求得的线段和比较短；

进而利用几何画板通过动画演示，实验验证了结论的一般性；

最后通过逻辑推理证明.

教具准备：

直尺、几何画板，ppt

教学过程：

环节

教师活动

学生活动

设计意图

一

复

习

引

入

1.【问题】：

看到图片，回忆如何用学过的数学知识解释这个问题？

2.这样的问题，我们称为“最短路径”问题.

1、两点之间，线段最短.

2、两边之和大于第三边.

从学生已经学过的知识入手，为进一步丰富、完善知识结构做铺垫.

二

探

究

新

知

1.探究一：

【故事引入】：

唐朝诗人李颀在《古从军行》中写道：

“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．”诗中就隐含着一个有趣的数学问题，古时候有位将军，每天从军营回家，都要经过一条笔直的小河.而将军的马每天要到河边喝水，那么问题来了，

问题：

怎样走才能使总路程最短呢？

认真读题，仔细思考.

将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象线段和最小问题.

从异侧问题入手，由简到难，逐步深入.

2.探究二：

【变换情境】：

后来将军把家搬到了河的对面，若还是要带马先到河边喝水，然后再回家，应该怎样走，才能使总路程最短呢？

（1）

【转化】：

你能将实际问题抽象为数学问题吗？

（2）

【展示】：

让学生猜想，并画出图形.

巡视发现学生不同的作法（尽可能多），分别展示各小组的作法.

给予学生一定的提示.

（3）

【度量】：

如何才能判断哪种猜想是正确的呢？

（测量一下）在几何画板中分别度量出AC,BC的长度，并计算AC+BC.让学生观察数值如何变化.并反思各自的作法是否正确.

【回答】：

学生思考并回答，如何将实际问题转化为数学问题.

已知：

直线L和同侧两点A、B

求作：

直线L上一点C，使C满足AC+BC的值最小.

【学生展示】：

作法1：

作法2：

：

作法3：

【学生反思】：

第1种作法是利用“垂线段最短”，得到AC最短，利用“两点之间线段最短”，得到BC最短，但不能确定AC+BC是最短的.

第2种作法只能说明在河l上取一点，到A、B两地的距离相等，也就是AC＝BC.不能说明AC+BC最短

第3种作法应该是正确的.

学生主动探索，充分发挥学生的主动性.

展示多种方法，产生思维冲突，引发学生进一步探究的学习欲望.

3.解决问题

【追问】用第3种作法的同学，你们是怎样想到作点B关于直线L的对称点的？

为什么要作对称点？

如果做点B关于直线L的对称点，就是把点B移到了另一侧，而且满足了BC＝BC’.其实直线L上所有点到B和B’的距离都相等.

也可是根据垂直平分线的性质，L就是线段BB’的垂直平分线，而垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.

利用轴对称将同侧线段和最短转化为异侧线段和最短问题.借助轴对称，把折线转化为线段的长来求解.

让学生进一步体会做法的正确性，提高逻辑思维能力.

让学生在反思的过程中，体会轴对称的作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验.

（4）

【推理论证】：

如何证明AC+BC最短呢？

【提示】：

没有比较就不会产生大小.通常我们要在直线上任另取一点C＇（与点C不重合），只要证明AC＇+BC＇〉AC+BC即可.

【几何画板】下面我们可以借助数学工具—几何画板来进一步验证一般性.

老师动手操作，验证结论的正确性..

（1）学生自主证明，教师纠错.

（2）师生共同分析，学生说明证明过程，教师版书.

（3）共同完成证明过程.

认真观察，思考，要想确认AC+BC最短，可以在直线l上任取一点C’（不与点C重合）

1.独立纠错

2.兵教兵

让学生进一步体会作法的正确性，提高逻辑思维能力.

通过动画演示，从特殊到一般地验证了前面的结论.

三

发

散

思

维

除了作点B关于直线l的对称点以外，还有没有别的作法？

还可以作点A关于直线l的对称点.

发散思维，培养学生一题多解的能力.

四

得

出

结

论

【问题】：

我们是如何解决将军饮马问题的？

先将实际问题转化为数学问题.然后作其中一个点关于直线l的对称点，连接对称点和另一点与直线的交点就是满足最短距离的点的位置.

让学生反思刚才的探究过程.培养数学思维，和及时总结所学的知识的好习惯.

五

范

例

分

析

如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再回到P处，请画出旅游船的最短路径.

在具体问题中实践已有模型，固化已有模型.为进一步丰富、完善知识结构做铺垫.

六

巩

固

练

1.【题目】：

如图，直线l是一条河，P、Q为河同侧的两地，欲在l上某处修建一个水泵站M，分别向P、Q两地供水，四种方案中铺设管道最短的是（）

2.【题目】：

如图，在直角三角形ABC中，角A＝30度，角C为直角，且BC=1，MN为AC的垂直平分线，设P为直线MN上任一点，PB+PC的最小值为

3.如图，正方形ABCD边长为8，M在BC上，BM＝2，N为AC上的一动点，则BN+MN的最小值为

将军饮马模型的直接应用.

习题难度，由易到难，逐步深入.让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法.

七

课

堂

小

本节课研究问题的基本过程是什么？

当我们遇到一个实际问题，首先，我们要将实际问题变成一个数学问题（群答），也就是抽象成一个数学模型，这样可以帮助我们进行实验观察，进而运用合情推理得到一个猜想，然后我们可以通过严谨的逻辑证明，验证猜想，从而得出结论，最后再将结论运用到实际问题里.

2.【问题】：

轴对称在所研究问题中起什么作用？

利用轴对称主要是进行问题的转化，它其实是起到了一个桥梁的作用，同时也体现了我们数学学习中的转化思想.

我们要先将实际问题变成一个数学问题，然后观察实验，提出猜想，之后通过证明，验证猜想，从而得出结论，最后再将结论运用到实际问题里.

转化作用

培养学生总结在课题学习的基本思路.

目标检测设计：

题目1、（课后练习）课本93页，第15题.

【设计意图】

本题难度适中，适合作为课后练习，是学生跳一跳能摘到的果子，达到复习本节课知识方法，又为后续学习打下基础.

题目2、（拓广探索）在∠AOB内有一点P，在射线OA上找一点M，在射线OB上找一点N，使

的周长最短.

学以致用，并且有提高和挑战，作两次轴对称.在解决最短路径问题时，通常利用轴对称将同侧转化为异侧问题，化折线为直线，从而作出最短路径的选择.