导与练高三理科数学重点班一轮复习练习46正弦定理和余弦定理及其应用含答案解析.docx

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导与练高三理科数学重点班一轮复习练习46正弦定理和余弦定理及其应用含答案解析

第6节　正弦定理和余弦定理及其应用

【选题明细表】

知识点、方法

题号

用正、余弦定理解三角形

1,6,8,10

与面积相关的问题

4,11,13

判断三角形的形状

2,5,7

实际问题与综合问题

3,9,12,14,15,16

基础对点练（时间:

30分钟）

1.（2015石景山区模拟）设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=4,b=4,

A=30°,则B等于（　B　）

（A）60°（B）60°或120°

（C）30°（D）30°或150°

解析:

因为a=4,b=4,A=30°,

由正弦定理=⇒sinB==,因为B是三角形的内角,且b>a,所以B=60°

或120°.

2.（2015长沙二模）△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则“a=2bcosC”是

“△ABC是等腰三角形”的（　A　）

（A）充分不必要条件

（B）必要不充分条件

（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件

解析:

法一　a=2bcosC⇒sinA=2sinBcosC⇒sin（B+C）=2sinBcosC⇒sinBcosC-cosBsinC=0⇒sin（B-C）=0,因为-π

所以B-C=0,所以B=C;

反之,若A=B≠C,

即a=b≠c,则由a=2bcosC,可得cosC=,

即C=,与A=B≠C矛盾.

所以“a=2bcosC”是“△ABC是等腰三角形”的充分不必要条件.

法二　由余弦定理,a=2bcosC⇒a=2b×⇒b=c;反之,同方法一.

3.张华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶,在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上,15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上,则电动车在点B时与电视塔S的距离是（　B　）

（A）2km（B）3km（C）3km（D）2km

解析:

画出示意图如图,由条件知AB=24×=6.在△ABS中,∠BAS=30°,AB=6,∠ABS=

180°-75°=105°,所以∠ASB=45°,由正弦定理知=,所以BS==3.

故选B.

4.在△ABC中,A=60°,AB=2,且△ABC的面积为,则BC的长为（　B　）

（A）（B）（C）2（D）2

解析:

S=AB·ACsin60°=×2×AC=,

所以AC=1,

所以BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos60°=3,

所以BC=.

5.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,且sin2B=sin2C,则△ABC的形状为（　D　）

（A）等腰三角形（B）锐角三角形

（C）直角三角形（D）等腰直角三角形

解析:

因为bcosC+ccosB=asinA,

所以由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A,

所以sin（B+C）=sin2A,

sinA=sin2A,sinA=1,

即A=.

又因为sin2B=sin2C,

所以由正弦定理得b2=c2,即b=c,

故△ABC为等腰直角三角形.

6.（2016合肥质检）设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,

3sinA=5sinB,则角C等于（　B　）

（A）（B）（C）（D）

解析:

因为3sinA=5sinB,

所以由正弦定理可得3a=5b,

所以a=b.

因为b+c=2a,

所以c=b,

所以cosC==-.

因为C∈（0,π）,

所以C=.

7.设△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,且（+）·=0,则△ABC的形状是　

.

解析:

由题得2B=A+C,3B=π得B=,

设AC中点D,则（+）·=2·=0,

即⊥得a=c.

所以△ABC为等腰三角形,

又因为B=,

所以△ABC为等边三角形.

答案:

等边三角形

8.在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若+=6cosC,则+的值是　　　　. 

解析:

由+=6cosC及余弦定理得=6·,

所以a2+b2=c2.

所以+=（+）=·====4.

答案:

4

9.（2016河北质检）在△ABC中,tan=2sinC,若AB=1,则AC+BC的最大值为　　　　. 

解析:

因为tan=2sinC,

所以=2sinC⇒=2sinC⇒=2sinC,

因为A+B+C=π,

所以A+B=π-C,

所以sin（A+B）=sinC,cos（A+B）=-cosC,

所以=2sinC,

因为0

所以sinC≠0,

所以cosC=,所以C=.

因为===,所以AC+BC=sinB+sinA=sin（π-A）+sinA=（cosA+sinA+2sinA）=sin（A+）,其中0<<且tan=,

所以当sin（A+）=1时,AC+BC取得最大值,为.

答案:

10.（2015黑龙江四校联考）△ABC的三个内角A,B,C对应的三条边长分别是a,b,c,且满足csinA+acosC=0.

（1）求C的值;

（2）若cosA=,c=5,求sinB和b的值.

解:

（1）因为csinA+acosC=0,由正弦定理得

2RsinCsinA+2RsinAcosC=0,

由sinA≠0,

所以tanC=-,又C∈（0,π）,

所以C=.

（2）由cosA=,A∈（0,）,

得sinA==,

sinB=sin（π-A-C）

=sin（A+C）

=sinAcosC+cosAsinC

=×（-）+×

=.

由=,

得b==3-4.

11.（2015高考陕西卷）△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=（a,b）与n=（cosA,sinB）平行.

（1）求A;

（2）若a=,b=2,求△ABC的面积.

解:

（1）因为m∥n,

所以asinB-bcosA=0,

由正弦定理得sinAsinB-sinBcosA=0,

又sinB≠0,

从而tanA=,

由于0

所以A=.

（2）法一　由余弦定理得

a2=b2+c2-2bccosA,

而a=,b=2,A=,

得7=4+c2-2c,

即c2-2c-3=0,

因为c>0,

所以c=3.

故△ABC的面积为bcsinA=.

法二　由正弦定理得=,

从而sinB=,

又由a>b知A>B,

所以cosB=.

故sinC=sin（A+B）=sin（B+）

=sinBcos+cosBsin

=.

所以△ABC的面积为absinC=.

能力提升练（时间:

15分钟）

12.（2015济南模拟）在200米高的山顶上,测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别为30°,60°,则塔高为（　C　）

（A）m（B）m

（C）m（D）m

解析:

如图,设AB表示山高,CD表示塔高,则∠DBC=60°-30°=30°,∠ABC=90°-60°=30°,连接AC,

在Rt△BAC中,

cos∠ABC=,

所以BC===,

在△BDC中,

∠DBC=30°,∠DCB=90°-60°=30°,

所以∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB=120°,

由正弦定理得,

=,

故DC==.

13.（2016南宁调研）设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且sin2A+

sin2B+sin2C=,△ABC的面积S∈[1,2],则下列不等式一定成立的是（　B　）

（A）ab（a+b）>16（B）bc（b+c）>8

（C）6≤abc≤12（D）12≤abc≤24

解析:

依题意得sin[（A+B）+（A-B）]+sin[（A+B）-（A-B）]+sin2C=,展开并整理得2sin（A+B）cos（A-B）+2sinCcosC=,又sin（A+B）=sinC,cosC=-cos（A+B）,所以

2sinCcos（A-B）+2sinCcosC=2sinC[cos（A-B）-cos（A+B）]=,所以4sinAsin

BsinC=,sinAsinBsinC=,又S=absinC=bcsinA=casinB,因此S3=

a2b2c2sinAsinBsinC=a2b2c2.由1≤S≤2得1≤a2b2c2≤23,即8≤abc≤16,因此选项C,D不一定成立.因为b+c>a>0,所以bc（b+c）>bc·a≥8,即有bc（b+c）>8,所以选项B一定成立.因为a+b>c>0,所以ab（a+b）>ab·c≥8,即有ab（a+b）>8,所以选项A不一定成立.故选B.

14.（2014高考江苏卷）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC,则cosC的最小值是　　　　. 

解析:

由正弦定理可得a+b=2c,

又cosC=

=

=

≥

=,

当且仅当a=b时取等号,所以cosC的最小值是.

答案:

15.某炮兵阵地位于地面A处,两观察所分别位于地面C和D处,已知CD=6km,

∠ACD=45°,∠ADC=75°,目标出现于地面B处时,测量得∠BCD=30°,∠BDC=15°,如图,求炮兵阵地到目标的距离.

解:

在△ACD中,

∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=60°,

CD=6,∠ACD=45°,

根据正弦定理有AD==CD.

同理,在△BCD中,

∠CBD=180°-∠BCD-∠BDC=135°,

CD=6,∠BCD=30°,

根据正弦定理得BD==CD.

又在△ABD中,

∠ADB=∠ADC+∠BDC=90°,

根据勾股定理有

AB==CD=CD=（km）.

所以炮兵阵地到目标的距离为km.

16.（2015高考山东卷）设f（x）=sinxcosx-cos2（x+）.

（1）求f（x）的单调区间;

（2）在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f（）=0,a=1,求△ABC的面积的最大值.

解:

（1）由题意知f（x）=-

=-

=sin2x-.

由-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,

可得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z;

由+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,

可得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.

所以f（x）的单调递增区间是[-+kπ,+kπ]（k∈Z）;

单调递减区间是[+kπ,+kπ]（k∈Z）.

（2）由f（）=sinA-=0,

得sinA=,

由题意知A为锐角,

所以cosA=.

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,

可得1+bc=b2+c2≥2bc,

即bc≤2+,

且当b=c时等号成立.

因此bcsinA≤.

所以△ABC面积的最大值为.

精彩5分钟

1.（2015浏阳一中模拟）已知△ABC内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若cosB=,

b=2,sinC=2sinA,则△ABC的面积为（　B　）

（A）（B）（C）（D）

解题关键:

关键求a,c,选用△ABC面积公式S△ABC=acsinB.

解析:

由正弦定理=,

得c=2a,①

由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得

4=a2+c2-2ac×,②

由①②得a=1,c=2,

又sinB==,

所以S△ABC=acsinB=×1×2×=.

2.（2015临沂模拟）某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼叫信号,我海军舰艇在A处获悉后,立即测