四川省宜宾市第四中学届高三高考适应性最后一模考试数学理试题 Word版含答案.docx

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四川省宜宾市第四中学届高三高考适应性最后一模考试数学理试题Word版含答案

2018年四川省宜宾市第四中学高考适应性考试

数学（理科）

一.选择题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合，则

A.B.C.D.

2.复数

A.iB.1+iC.D.

3.已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为

A.B.C.D.

4.设，，则“”是“”的

A.充分而不充分条件B.必要而不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知圆M：

截直线所得线段的长度是，则圆M与圆N：

的位置关系是

A.内切B.相离C.外切D.相交

6.中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知,

则A=

A.B.C.D.

7.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为

A.20πB.24πC.32πD.28π

8.甲乙丙丁戊五个老师要安排去4个地区支教，每个地区至少安排一人，则不同的安排方法共有多少种

A.150B.120C.180D.240

9.平面过正文体ABCD—A1B1C1D1的顶点A,，

，则m，n所成角的正切值为

A.B.C.D.

10.若函数在单调递增，则a的取值范围是

A.B.C.D.

11.已知正三角形ABC的边长为，平面ABC内的动点P，M满足，，则的最大值是

A.B.C.D.

11.已知函数，若函数与图像的交点为（x1,y1），（x2,y2），…，（xm,ym），则

A.B.C.D.

二.填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

13.的展开式中，项的系数为

14.已知，则

15.若x，y满足约束条件，则，都有成立；则的取值范围是.

16.已知函数在R上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是_________.

三．解答题：

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.（本题满分12分）已知是公差为3的等差数列，数列满足，.

（I）求的通项公式；（II）求的前n项和.

18.（本小题满分12分）

甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分。

已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响。

各轮结果亦互不影响。

假设“星队”参加两轮活动，求：

（）“星队”至少猜对3个成语的概率；

（）“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望EX

19.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD.E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.

（I）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；

（II）若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.

20.（本小题满分12分）

设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率.

21．（本小题满分12分）

函数.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）若，求证：

.

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分10分）选修4—4：

坐标系与参数方程

已知直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.

（Ⅰ）求圆的直角坐标方程；

（Ⅱ）若是直线与圆面的公共点，求的取值范围.

23．（本小题满分10分）

已知函数

（Ⅰ）若，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若，判断与的大小关系并证明.

2018年四川省宜宾市第四中学高考适应性考试

数学（理科）答案

1．选择题

1-5：

CAABD6-10：

DCBAC11-12：

BA

2．填空题

13.14.15.16.

17.（I）由已知，得得，所以数列是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为.

（II）由（I）和，得，因此是首项为1，公比为的等比数列.记的前项和为，则

18.解：

（Ⅰ）记事件A:

“甲第一轮猜对”，记事件B：

“乙第一轮猜对”，

记事件C：

“甲第二轮猜对”，记事件D：

“乙第二轮猜对”，

记事件E：

“‘星队’至少猜对3个成语”.

由题意，

由事件的独立性与互斥性，

所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.

（Ⅱ）由题意，随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,6.

由事件的独立性与互斥性，得

.

可得随机变量X的分布列为

X

0

1

2

3

4

6

P

所以数学期望.

19.（本小题满分12分）

（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB与CD不平行.

延长AB，DC，相交于点M（M∈平面PAB），点M即为所求的一个点.理由如下：

由已知，BC∥ED，且BC=ED.

所以四边形BCDE是平行四边形.

从而CM∥EB.

又EB平面PBE，CM平面PBE，

所以CM∥平面PBE.

（说明：

延长AP至点N，使得AP=PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点）

（Ⅱ）方法一：

由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，所以CD⊥平面PAD.

从而CD⊥PD.所以PDA是二面角P-CD-A的平面角.

所以PDA=45°.设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.

过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.

易知PA⊥平面ABCD，从而PA⊥CE.

于是CE⊥平面PAH.所以平面PCE⊥平面PAH.

过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE.

所以APH是PA与平面PCE所成的角.

在Rt△AEH中，AEH=45°，AE=1，所以AH=.

在Rt△PAH中，PH==，所以sinAPH==.

方法二：

由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，

所以CD⊥平面PAD.于是CD⊥PD.

从而PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以PDA=45°.

由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD.设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.

作Ay⊥AD，以A为原点，以,的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A（0,0,0），P（0,0,2），C（2,1,0），E（1,0,0），

所以=（1,0,-2），=（1,1,0），=（0,0,2）

设平面PCE的法向量为n=（x,y,z），

由得设x=2，解得n=（2,-2,1）.

设直线PA与平面PCE所成角为α，则sinα==.

所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.

20.（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确定量，由，得，再利用，可解得，（Ⅱ）先化简条件：

，即M再OA中垂线上，，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求；利用两直线方程组求H，最后根据，列等量关系解出直线斜率.

试题解析：

（1）解：

设，由，即，可得，又，所以，因此，所以椭圆的方程为.

（2）设直线的斜率为，则直线的方程为，

设，由方程组消去，

整理得，解得或，

由题意得，从而，

由

（1）知，设，有，，

由，得，所以，

解得，因此直线的方程为，

设，由方程组消去，得，

在中，，

即，化简得，即，

解得或，所以直线的斜率为或.

21．解：

（Ⅰ）．

当a≤0时，，则在上单调递减；

当时，由解得，由解得．

即在上单调递减；在上单调递增；

综上，a≤0时，的单调递减区间是；时，的单调递减区间是，

的单调递增区间是．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知在上单调递减；在上单调递增，

则．

要证≥，即证≥，即+≥0，

即证≥．

构造函数，则，

由解得，由解得，

即在上单调递减；在上单调递增；

∴，

即≥0成立．从而≥成立．

22.解：

（1）∵圆的极坐标方程为，

∴，

又∵，，，∴，

∴圆的普通方程为；

（2）设，

故圆的方程，

∴圆的圆心是，半径是，将代入得，

又∵直线过，圆的半径是，

∴，∴，即的取值范围是.

23.解：

（1）因为，所以.

①当时，得，解得，所以;

②当时，得，解得，所以;

③当时，得，解得，所以;

综上所述，实数的取值范围是

（2），因为,

所以