届高考数学一轮复习讲义及课时作业全国通用第二章第5节指数与指数函数.docx

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届高考数学一轮复习讲义及课时作业全国通用第二章第5节指数与指数函数

第5节　指数与指数函数

最新考纲　1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，，的指数函数的图象；4.体会指数函数是一类重要的函数模型.

知识梳理

1.根式

（1）概念：

式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.

（2）性质：

（）n＝a（a使有意义）；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝

2.分数指数幂

（1）规定：

正数的正分数指数幂的意义是a＝（a>0，m，n∈N＋，且n>1）；正数的负分数指数幂的意义是a－＝（a>0，m，n∈N＋，且n>1）；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.

（2）有理指数幂的运算性质：

aras＝ar＋s；（ar）s＝ars；（ab）r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.

3.指数函数及其性质

（1）概念：

函数y＝ax（a>0且a≠1）叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.

（2）指数函数的图象与性质

a>1

0

图象

定义域

R

值域

（0，＋∞）

性质

过定点（0，1），即x＝0时，y＝1

当x>0时，y>1；

当x<0时，0

当x<0时，y>1；

当x>0时，0

在（－∞，＋∞）上是增函数

在（－∞，＋∞）上是减函数

[常用结论与微点提醒]

1.在第一象限内，指数函数y＝ax（a>0且a≠1）的图象越高，底数越大.

2.指数函数的单调性仅与底数a的取值有关.

3.画指数函数y＝ax（a>0，且a≠1）的图象，应抓住三个关键点：

（1，a），（0，1），.

诊断自测

1.思考辨析（在括号内打“√”或“×”）

（1）＝－4.（　　）

（2）（－1）＝（－1）＝.（　　）

（3）函数y＝2x－1是指数函数.（　　）

（4）函数y＝ax2＋1（a>1）的值域是（0，＋∞）.（　　）

解析　

（1）由于＝＝4，故

（1）错.

（2）（－1）＝＝1，故

（2）错.

（3）由于指数函数解析式为y＝ax（a＞0，且a≠1），

故y＝2x－1不是指数函数，故（3）错.

（4）由于x2＋1≥1，又a＞1，∴ax2＋1≥a.

故y＝ax2＋1（a＞1）的值域是[a，＋∞），（4）错.

答案　

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）×

2.（教材例题改编）若函数f（x）＝ax（a>0，且a≠1）的图象经过，则

f（－1）＝（　　）

A.1B.2C.D.3

解析　依题意可知a2＝，解得a＝，

所以f（x）＝，所以f（－1）＝＝.

答案　C

3.（2017·北京卷）已知函数f（x）＝3x－，则f（x）（　　）

A.是偶函数，且在R上是增函数

B.是奇函数，且在R上是增函数

C.是偶函数，且在R上是减函数

D.是奇函数，且在R上是减函数

解析　∵函数f（x）的定义域为R，

f（－x）＝3－x－＝－3x＝－f（x），

∴函数f（x）是奇函数.

∵函数y＝在R上是减函数，

∴函数y＝－在R上是增函数.

又∵y＝3x在R上是增函数，

∴函数f（x）＝3x－在R上是增函数.

答案　B

4.设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是（　　）

A.a

C.b

解析　根据指数函数y＝0.6x在R上单调递减可得0.61.5<0.60.6<0.60＝1，而c＝1.50.6>1，∴b

答案　C

5.（2018·青岛调研）已知函数f（x）＝ax－2＋2的图象恒过定点A，则A的坐标为（　　）

A.（0，1）B.（2，3）C.（3，2）D.（2，2）

解析　由a0＝1知，当x－2＝0，即x＝2时，f

（2）＝3，即图象必过定点（2，3）.

答案　B

考点一　指数幂的运算

【例1】化简下列各式：

（1）＋2－2·－（0.01）0.5；

（2）a·b－2·（－3a－b－1）÷.

解　

（1）原式＝1＋×－

＝1＋×－＝1＋－＝.

（2）原式＝－a－b－3÷（4a·b－3）

＝－a－b－3÷（ab－）＝－a－·b－

＝－·＝－.

规律方法　1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：

（1）必须同底数幂相乘，指数才能相加；

（2）运算的先后顺序.

2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.

3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.

【训练1】化简下列各式：

（1）[（0.064）－2.5]－－π0；

（2）.

解　

（1）原式＝－－1

＝－－1

＝－－1＝0.

（2）原式＝

＝a－－－·b＋－＝.

考点二　指数函数的图象及应用

【例2】

（1）函数f（x）＝1－e|x|的图象大致是（　　）

（2）若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________.

解析　

（1）f（x）＝1－e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，又e|x|≥1，

∴f（x）的值域为（－∞，0]，

因此排除B，C，D，只有A满足.

（2）曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可知：

如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1].

答案　

（1）A　

（2）[－1，1]

规律方法　1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.

2.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.

【训练2】

（1）（2018·东北三校联考）函数f（x）＝ax－1（a>0，a≠1）的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是（　　）

A.y＝B.y＝|x－2|

C.y＝2x－1D.y＝log2（2x）

（2）（2018·长沙一中质检）若函数f（x）＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________.

解析　

（1）由题意，得点A（1，1），将点A（1，1）代入四个选项，y＝的图象不过点A（1，1）.

（2）将函数f（x）＝|2x－2|－b的零点个数问题转化为函数y＝|2x－2|的图象与直线y＝b的交点个数问题，数形结合求解.

在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示.

∴当0

∴b的取值范围是（0，2）.

答案　

（1）A　

（2）（0，2）

考点三　指数函数的性质及应用（易错警示）

【例3】

（1）（2018·承德模拟）若函数f（x）＝的值域是，则f（x）的单调递增区间是________.

（2）下列各式比较大小正确的是（　　）

A.1.72.5>1.73B.0.6－1>0.62

C.0.8－0.1>1.250.2D.1.70.3<0.93.1

解析　

（1）令g（x）＝ax2＋2x＋3，

由于f（x）的值域是，

所以g（x）的值域是[2，＋∞）.

因此有解得a＝1，

这时g（x）＝x2＋2x＋3，f（x）＝.

由于g（x）的单调递减区间是（－∞，－1]，

所以f（x）的单调递增区间是（－∞，－1].

（2）A中，∵函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5<3，

∴1.72.5<1.73，错误；

B中，∵y＝0.6x在R上是减函数，－1<2，

∴0.6－1>0.62，正确；

C中，∵（0.8）－1＝1.25，

∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小.

∵y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2，

∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误；

D中，∵1.70.3>1,0<0.93.1<1，

∴1.70.3>0.93.1，错误.故选B.

答案　

（1）（－∞，－1]　

（2）B

规律方法　1.比较指数式的大小的方法是：

（1）能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；

（2）不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.

2.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.

易错警示　在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.

【训练3】

（1）已知定义在R上的函数f（x）＝2|x－m|－1（m为实数）为偶函数，记a＝f（log0.53），b＝f（log25），c＝f（2m），则a，b，c的大小关系为（　　）

A.a

C.a

（2）（2018·滁州质检）当x∈（－∞，－1]时，不等式（m2－m）·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是________.

解析　

（1）由函数f（x）＝2|x－m|－1为偶函数，得m＝0，所以f（x）＝2|x|－1，当x>0时，f（x）为增函数，

log0.53＝－log23，所以log25>|－log23|>0，

所以b＝f（log25）>a＝f（log0.53）>c＝f（2m）＝f（0），

故b＞a＞c.

（2）原不等式变形为m2－m<，

又y＝在（－∞，－1]上是减函数，知≥＝2.

故原不等式恒成立等价于m2－m<2，解得－1

答案　

（1）B　

（2）（－1，2）

基础巩固题组

（建议用时：

40分钟）

一、选择题

1.（2017·沈阳模拟）若a＝，b＝x2，c＝logx，则当x>1时，a，b，c的大小关系是（　　）

A.c

C.a

解析　当x>1时，01，c＝logx<0，所以c

答案　A

2.（2018·河北八所重点中学一模）设a>0，将表示成分数指数幂的形式，其结果是（　　）

A.aB.aC.aD.a

解析　原式＝＝＝a.

答案　C

3.（2018·南阳、信阳等六市一模）设x>0，且1

A.0

C.1

解析　∵x>0时，11.

∵x>0时，bx0时，>1.

∴>1，∴a>b，∴1

答案　C

4.函数f（x）＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（　　）

A.a>1，b<0

B.a>1，b>0

C.00

D.0

解析　由f（x）＝ax－b的图象可以观察出，函数f（x）＝ax－b在定义域上单调递减，所以0

函数f（x）＝ax－b的图象是在f（x）＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.

答案　D

5.（2018·宝鸡调研）若函数f（x）＝a|2x－4|（a>0，且a≠1），满足f

（1）＝，则f（x）的单调递减区间是（　　）

A.（－∞，2]B.[2，＋∞）

C.[－2，＋∞）D.（－∞，－2]

解析　由f

（1）＝，得a2＝，解得a＝或a＝－（舍去），即f（x）＝.

由于y＝|2x－4|在（－∞，2]上递减，在[2，＋∞）上递增，所以f（x）在（－∞，2]上递增，在[2，＋∞）上递减.

答案　B

二、填空题

6.不等式2x2－x<4的解集为___