用基底建模向量法解决立体几何问题Word文档格式.docx
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（BABB1）?
（ABBC）=BA?
AB
因为ABLBC
BBLABBBLBC
Dl
Cl
BC,
BA?
BCBB1?
ABBB1?
BC
所以BA?
0,BB<
|?
AB=0,
■1■21■2
BB1?
BC0,BA?
AB=-a.所以BA^?
AC=-a.
又BA]?
AC
BA1?
AC?
cosBA，AC,cosBA,AC
a2
所以〈Ba],Ac>
=120°
.
所以异面直线BA与AC所成的角为60°
.
【解后归纳】求异面直线所成角的关键是求异面直积，必须会把所求向量用空间的一组基向量来表示
线上两向量的数量积，而要求两向量的数量
例3:
如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中,/ABC=6（o,PAL面ABCD,PA=AC=a,PB=PD=2a,
点E在PD上，且PE:
PD=2:
1.在棱PC上是否存在一点F,使BF//平面AEC?
证明你的结论.
uuuuuiruuu
解析：
我们可选取AB,AD,AP作为一组空间基底
D
UUU设PF
UUUUUUUPC，而BFUUU
1）AB
UUU
又因为AE
UULT
AD（1
UUUUUU
APPE
UUUUUUUUU
BPPFAP
）AP
UUU2UUU
APPD
3
UlU
AB
uuu
AP
UULT（AC
AP）
2UULT
3（ad
1UUU
-AP
UULT并且AC要使BF
2UULT-AD
UUUUULT
ABAD
UUU即
（1）AB
II平面AEC,那么存在实数
）AP=x（:
AP
UUUUUUUULT
x,y使BFxAEyAC成立
-->
2UULTUUUUULT—AD）+y（ABAD）
于是，可得到
-1=y
2
x
解得
故在棱pc上存在一点
1x
F,其为PC的中点,
使BF〃平面AEC
【例4】证明：
四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点且互相平分（此点称为四面体的重
心）.
【规范解答】•••EG分别为ABAC的中点，
•••EG丄BC,同理HF丄BC,•••EGHF.
从而四边形EGH为平行四边形，故其对角线EF,
GH相交于一点Q且0为它们的中点，连接OPOQ
只要能证明向量QP=-QQ就可以说明P,QQ三点共线且Q
为PQ的中点，事实上，QPQGGP,QQQHHQ,而Q为GH的中点，例4图
•••QGQH0,GP主-CD,QH丄CD,
…GP—CD,QH—CD.
*■■!
*■-A■■Afc-
•=QPQQQGQHGPHQ0丄CD丄CD=0
22'
•QPQQ=,•PQ经过Q点，且Q为PQ的中点.
【解后归纳】本例要证明三条直线相交于一点Q我们采用的方法是先证明两条直线相交于一点
然后证明QP,QQ两向量共线，从而说明P、QQ三点共线进而说明PQ直线过Q点.
例5.如图在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G
分别是A1D1、D1D、D1C1的中点.
平面EFG//平面AB1C.
证明：
设
UUUT
则EG
UUUUUUT
AB=aAD
UUUUUUUU
EDi+DiG=
=b,
AAi=c,
UUUTUUUT
AC=a+b=2EG
EG
uur
UULTEF
//
UUUU
ED1
UUUITDiF
UULU
BiC=
UUUIT
BiCi
iii2b—2C=2（b—c）,
yLUUUULT
+CiC=b—c=2EF,•••
//BiC
片B
又•••EG与EF相交，AC与B1C相交,
•••平面EFG//平面AB1C.
例6.如图，平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,
以顶点A为端点的三条棱长都为1，且
两夹角为60°
（i）求ACi的长;
⑵求BDi与AC夹角的余弦值.
解：
设AB=a,
Uiy
AD=b,■」=c,则两两夹角为
60°
UUUUUULT
（i）ACi=AC+
UU?
UUUTUUUTCCi=AB+AD+
AAi=a+b+c.
•Ii|2=（a+b+c）2=|a|2+|b|2+|c|2+2a•b+2b
i
=3+6Xixixj=6,
UUUU•|ACi|='
6，即ACi的长为6.
UUUUTUUUUUUUUULTUUU啓
⑵BDi=BD+DDi=AD—AB+AAi=b—a+c.
BD!
UUUT
BDi•AC=（b—a+c）•（a+b）
b—a2+a•c+b2—a•b+b•
=i.
|BDi
UUUT
|=.'
（b—a+c）2=.'
2,|AC|=:
但+b）2=.'
3,
•cos〈BDi,
AC>
UUUUUUUT
BDiUUUU-
BDi
V6
2x,.'
36.
AB
，且模均为i.
•c+2a•c
•BDi与AC夹角的余弦值为
14.已知线段AB在平面a内，线段Ada，线段BDLAB且与a所成的角是30，如果AB=a,AC=BD=b,求CD之间的距离.
.如图，由AC丄a,知AC丄AB.
〈CA,BD
过D作DD丄a,D'
为垂足，则/DBD=30°
|CD|2=cd?
CD
I3■•o
（CAABCD）2
cA
aB
2■■■■■■
BD|2CA?
AB2CA?
BD2AB?
BD
=b2+a2+b2+2b2cos120°
=a2+b2.
15如图所示,已知-AB（^（D是平面AC外的一点点,OA!
2OA,OB12OB,OC12OC,OD12OD,
A,B,C1,D四点共面.
•••
A1C1
OO1
OA
2OO
2OA
2（OO
OA）2AO2（ABAD）
*■
b-
A-
=2（OB
OA）
（OD
（2OB
2OA）
（2OD
=（OB1
OA1）
（OD1
A〔EB1
A1D1
.A1,B1,C1,D1四点共面.
16:
如图，已知平行六面体ABCD-ABCD的底面ABCD是菱形，且/
OCXBD
uuuruiuujuu
分别以CD,CB,CC1的单位向量e1,e2,es为空间的基底e,e2,es
JJITJJJULULT
依题设中的条件，可知：
CDme1,OBme2,OO1ne3
<
e1,e2>
=60°
JJJ
e1,e3>
<
e2,e3>
=60
JUT
（1）QBD
BO
OD
me2me1,
JJJJJUT
BDOO1
（
me2
nej（ne3）
mn（6e
3e
2e3）
mn（cose1
cose2,e3）0
.C1C丄BD
17.如图，在梯形ABCD中，AB//CD,/ADC=90°
3AD=DC=3,AB=2,E是DC上的点，且满足
DE=1,连结AE，将△DAE沿AE折起到△D1AE
GCB=ZC1CD=/BCD=60
的位置，使得/D1AB=60°
，设AC与BE的交点为O.
uuuruuuuuuruuu
（1）试用基向量AB,AE,AD1表示向量ODi；
（2）求异面直线0D1与AE所成角的余弦值；
⑶判断平面D1AE与平面ABCE是否垂直？
并说明理由.
（1）•/AB//CE,AB=CE=2,
•四边形ABCE是平行四边形,
•OD1=
uuuruuu-AO=AD1
•••O为BE的中点.
1uuu
-丄（AB2（
uuur
AE）=
uuur1uuur1uuur
AD1-丄AB-1AE
（2）设异面直线
0D1与AE所成的角为
0,
0D1
AE
贝Ucos0=|cos
uuuuuur
•/OD1-AE=（AD1
AE〉
1uuu
-」AB-
—uutr-
OD1
1=
1uuuruuu
丄AE）AE=
2）
uuurAD1
uuur1uuuuuur
AE-丄AB-AE
1uuur
-弓lAE|2
11
=1X・2Xcos45°
—X2X2Xcos45°
—X（,2）2=-1,
|OD1|=
（AD
OD1与AE所成角的余弦值为
⑶平面D1AE丄平面ABCE.证明如下:
取AE的中点M，则
uuuur
D1M
uuuuAM
1uuuruuur
=1ae-AD1,
uuujuuur4uuuuuuruuur.uuuruuurD1M・AE=（*AE-AD1）AE=j|AE|2-AD1
=1*,2）2-1X,2Xcos45°
=0.
uuuiin
D1M丄Ae.^D1M丄AE.
uuuun
uuu4uuuruuu
AB=（2AE-AD1）
uuu4uuur
AB=1AE
uuuruuuruuur
•AB—AD1-AB
=2X,2X2Xcos45°
-1X2Xcos60°
=0,
uuuuuuiir
DMuuu
D1M丄AB,•D1M丄AB.
又AEnAB=A,AE、AB?
平面ABCE,•D1M丄平面ABCE.
在四面体、平行六面体等图形中，当不易找到（或作出）从一点出发的三条两两垂直的直线建立直
坐标系时，可采用“基底建模法”选定从一点发的不共面的三个向量作为基底，并用它们表示出指定
的向量，再利用向量的运算证明平行和垂直，求解角和距离。
“基底建模法”可作为空间直角坐标系
的一个补充（尤其是在传统几何法难作辅助线，向量坐标法又难以建系时），掌握该方法可有效地提
高利用空间向量解决立体几何问题的能力。
•对应训练分阶提升一、基础夯实
A.
OM2OAOBOC
B
C.
MAMBMC0
D.
（C
）
OM
1OA
1OB
丄OC
5
OAOB
OC
2若向量｛a,b,c｝是空间的一个基底，向量个基底的向量是（C）
m=a+b,n=a-b，那么可以与mn构成空间另
A.a
B.b
C.c
D.2a
3.如图所示，已知四面体ABCD,E、
uuuuuu
AB、BC、
、CD、AC的中点，则
2（AB
+BC+CD）化简
的结果为
（）
A•BF
B.
EH
C.HG
FG
2（
uuu^uuu^uuuAB+BC+CD）=
4（AC
+CD=iAD=1
F、G、H分别为
答案：
C
uuiruuur
•2HG=HG
4•如图，在底面ABCD为平行四边形的四棱柱
ABCD—A1B1C1D1中,
M是AC与BD的交点,
若AB=a,
A1D1=b
AA=c,则下列向
量中与B1M相等的向量是（）
A•—2a+尹+c
B.§
a+尹+c
1.在下列条件中，使M与A、BC一定共面的是
C.^a—尹+c
uuuuruuuo
B1M=B1B
uuuu
+BM
=c+2BD
D•—尹—2b+c
由题意，根据向量运算的几何运算法则,
1uuuruuuii
=C+2（AD—AB）=-@a+尹+c.
A
5.已知正方体ABCD—A1B1C1D1
中，点E为上底面A1C1
的中心，若AE=
AAA
uuuruuur
+xAB+yAD
则x、y的值分别为
A.x=1,
y=1
B.x=1,
y=2
C.x=2,
y=2
D.x=2,
1IIiir
uuuir
如图,
UUUI
AE=
=AA1
+Ae=AA1+
1A1C1
题组二
空间中的共线、共面问题
4.A（1,0,1），B（4,4,6）,C（2,2,3），D（10,14,17）这四个点是否共面（共面或不共面）.
uuuuur
AB=（3,4,5）,AC=（1,2,2）,
uuuuuiruuuruuir
AD=（9,14,16），设AD=xAB+yAC.
即（9,14,16）=（3x+y,4x+2y,5x+2y）,
x=2，从而A、B、C、D四点共面.
y=3,
共面
题组三
空间向量数量积及应用
点E、
F、G分别为
AB、AD、
DC的中点，贝Ua2等于（
BA•
B.
2AD
•BD
FG•
CA
2EF
•CB
uuir
n
>
=—，•:
3，
解析
:
〈AD
BD
.2AD
-BD=2a2xcos3
=a2
6.如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于a,
7.二面角a-l—3为60°
A、B是棱I上的两点，AC、
BD分别在半平面a、B内，AC丄I,BD丄l，且AB=
AC=a,BD=2a，贝UCD的长为（）
A.2aB.,'
5aC.aD..'
3a
•••AC丄I,BD丄l,
uuruuuuuuruuuuuuuuu
•••〈AC,BD>
=60。
，且AC•BA=0,AB•BD=0,
uuuuuruuuuuuuuuuu~~UU?
~~USUj
CD=CA+AB+BD,•|CD|=J（CAABBD）
=a2+a2+（2a）2+2a•2acos120°
=2a.答案：
ABC，AB=BC=AA1，/ABC
8.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1丄底面
=90°
，点E、F分别是棱AB、BB1的中点,
则直线
EF和BC1所成的角是
C.90
120
答案:
1已知：
AM人2x
1）,B（1,x
2,2
A.19
X的值等于（C
19
14
2.正四棱维P-ABCD中，0为底面中心，设示为
uiruAB
ruurui,BC
ruiruj,OP
A.4
3k
44b.
3r3r
41?
1k
1r3r
41；
j
3.已知向量
（x,y,1）,b
（3,2,z），且a//b,
则xzyz的值是
A.6
B.5
C.4
D.3
4.已知向量
（0,1,1）b
A.2
B.2
Ai
E为PC的中点，则
uiru
AE可表
3rr
41j
（1，°
，2）,若向量kab与向量ab互相垂直，则k的值是
5.下面命题正确的个数是
1若P2x3y，则p与x、y共面；
uurumrunr
2若MP2MA3MB，则mp、a、b共面；
uurluuuurruuurr
3若0aOB0c0d0,
则AB、C、D共面;
1UU
5ULU
OP
④若
6
3，则P、AB、C共面;
A.1
B.2
C.3D.4
rrr
r
6•已知点A在基底｛a,b,C｝下的坐标为（8,6,4）,其中a
底｛i,j,k｝下的坐标是
k,ck
，则点A在基
A.（12,14,10）B.（10,12,14）C.（14,12,10）D.（4,3,2）
UUUUU6UUTU
OCOA—OBUUUUUU
7•已知点WQOB©
1,1）,向量6，则向量Ob的OC夹角是（A）
A.3
8.已知向量a
（2,2,
1），向量b
（0,3,4）
则向量a
在向量
b上的射影的长是（B）
C.5
D.10
9.已知AeOOBO1,0）®
0,0,2）若BDPAC，且DCPAB，则点。
的坐标为（d）
A.（-1,-1,-2）B.
（-1,-1,-2）
C.（1,-
1,-2）
（-1
1,2）
UUUU
10.已知OABC是四面体，
G是厶ABC的重心，若
则
的值是（C）
A.1B.2
UULULT
UUUUU
11.设AB、C是空间中不共面的四点，且满足
ABAC
0ACAD
ABAD0,则abcd
是
A.锐角三角形B.
直角三角形C.
钝角三角形D
.形状不能确定
12.在平面内，自一点O至多能引三条射线OAOBOC使它们两两所成角相等，且两两所成的角
那么在空间中，自一点
O至多能引四条射线，使它们两两所成角相等，则两两所成的
角为
升级会员 