微分方程作业Word文档下载推荐.docx
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t=h.*（0:
N）;
forn=1:
N
u（n+1）=u（n）+h*Euler_fun1（t（n）,u（n））;
end
plot（t,u,'
*'
）;
holdon
v
（1）=u（n）+h*Euler_fun1（t（n）,u（n））;
fork=1:
6
v（k+1）=u（n）+h/2*（Euler_fun1（t（n）,u（n））+Euler_fun1（t（n+1）,v（k）））;
end
u（n+1）=v（k+1）;
o'
sol=dsolve（'
Du=-5*u'
'
u（0）=1'
u_real=eval（sol）;
plot（t,u_real,'
r'
将上述h换为0.05得：
由图像知道:
显然改进的Euler法要比Euler法精确度要高；
3.将u‘’=-u（0≤t≤1），u（0）=0,u’（0）=1化为一阶方程组，并用Euler法和改进的的Euler法求解，步长h=0.1,0.05；
functiondu=fun31（y）
du=y;
functiondy=fun32（u）
dy=-u;
u
（1）=0;
y
（1）=;
u（n+1）=u（n）+h*y（n）;
y（n+1）=y（n）+h*（-u（n））;
v
（1）=u（n）+h*fun31（y（n））;
w
（1）=y（n）+h*fun32（u（n））;
fork=1:
v（k+1）=u（n）+h/2*（fun31（y（n））+fun31（...w（k）））;
w（k+1）=y（n）+h/2*（fun32（u（n））+fun32（...v（k）））;
y（n+1）=w（k+1）;
D2u=-u'
u（0）=0'
Du（0）=1'
;
由图像可以知道:
实习题
（二）
1.取步长
，分别用Euler法和改进的Euler法求下列初值问题的解，并与真解相比较.
（1）
真解
；
functiondu=fun1（x,u）
du=u-2*x/u;
xend=1;
x
（1）=0;
x=h.*（0:
%——Eluer法——%
u（n+1）=u（n）+h*fun1（x（n）,u（n））;
plot（x,u,'
%——改进的Eluer法——%
v
（1）=u（n）+h*fun1（x（n）,u（n））;
v（k+1）=u（n）+h/2*（fun1（x（n）,u（n））+fun1（x（n+1）,v（k）））;
%——真解——%
u_real=sqrt（1+2*x）;
plot（x,u_real,'
（2）
functiondu=fun2（x,u）
du=（u/x）-x.^2/u.^2;
x=1:
h:
2;
x
（1）=1;
u
（1）=2;
u（n+1）=u（n）+h*fun2（x（n）,u（n））;
v
（1）=u（n）+h*fun2（x（n）,u（n））;
v（k+1）=u（n）+h/2*（fun2（x（n）,u（n））+fun2（x（n+1）,v（k）））;
u_real=x.*（（8-3.*log（x））.^（1/3））;
由图像可知：
改进的Euler法和Euler法都很接近真值。
（3）
.
functiondu=fun3（x,u）
du=u/（2*x）-x/（2*u^2）;
N=0.5/h;
1.5;
u（n+1）=u（n）+h*fun3（x（n）,u（n））;
v
（1）=u（n）+h*fun3（x（n）,u（n））;
v（k+1）=u（n）+h/2*（fun3（x（n）,u（n））+fun3（x（n+1）,v（k）））;
u_real=（4*x.^（3/2）-3*x.^2）.^（1/3）;
2.试用预报校正格式（1.20）解初值问题
并与Euler格式比较精度，取h=0.1。
作业要求：
写出程序，列表或用图形显示结果，并给出图或表所说明的结果。
functiondu=Euler_fun2（t,u）
du=-u+t+1;
u（n+1）=u（n）+h*Euler_fun2（t（n）,u（n））;
u0（n+1）=u（n）+h*Euler_fun2（t（n）,u（n））;
u（n+1）=u（n）+h/2*（Euler_fun2（t（n）,u（n））+Euler_fun2（t（n+1）,u0（n+1）））;
Du=-u+t+1'
显然预报校正格式要比Euler法精确度要高；
P37例4.1用四级四阶Runge-Kutta法计算初值问题：
u’=4tu0.5,0≤t≤2,
u（0）=1.
取h=0.1,0.5,1.精确解为u（t）=（1+t2）2
写出程序，列表或用图形显示结果，并给出图或表所说明的结果.
functiondu=fun4（t,u）
du=4*t*u.^（1/2）;
N=2/h;
t=0:
k1=fun4（t（n）,u（n））;
k2=fun4（t（n）+0.5*h,u（n）+0.5*h*k1）;
k3=fun4（t（n）+0.5*h,u（n）+0.5*h*k2）;
k4=fun4（t（n）+h,u（n）+h*k3）;
u（n+1）=u（n）+h*（k1+2*k2+2*k3+k4）/6;
u_real=（1+t.^2）.^2;
将上述h换为0.5后图像为：
将上述h换为1后图像为：
从上述图像来看：
第一幅图说明四级四阶Runge-Kutta法精度很高；
后面两幅图说明了步长h取的越小越逼近精确值。
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