1、t=h.*(0:N);for n=1:N u(n+1)=u(n)+h*Euler_fun1(t(n),u(n);endplot(t,u,*);hold on v(1)=u(n)+h*Euler_fun1(t(n),u(n); for k=1:6v(k+1)=u(n)+h/2*(Euler_fun1(t(n),u(n)+Euler_fun1(t(n+1),v(k); end u(n+1)=v(k+1);osol=dsolve(Du=-5*u,u(0)=1u_real=eval(sol);plot(t,u_real,r将上述 h 换为0.05得:由图像知道:显然改进的Euler法要比Euler法精
2、确度要高;3.将u=-u(0t1),u(0)=0,u(0)=1化为一阶方程组,并用Euler法和改进的的Euler法求解,步长h=0.1,0.05;function du=fun31(y)du=y;function dy=fun32(u)dy=-u;u(1)=0;y(1)=; u(n+1)=u(n)+h*y(n); y(n+1)=y(n)+h*(-u(n); v(1)=u(n)+h*fun31(y(n); w(1)=y(n)+h*fun32(u(n);for k=1:v(k+1)=u(n)+h/2*(fun31(y(n)+fun31(.w(k);w(k+1)=y(n)+h/2*(fun32(u
3、(n)+fun32(.v(k); y(n+1)=w(k+1);D2u=-uu(0)=0Du(0)=1;由图像可以知道:实习题(二)1.取步长 ,分别用Euler 法和改进的Euler 法求下列初值问题的解,并与真解相比较.(1)真解;function du=fun1(x,u)du=u-2*x/u;xend=1;x(1)=0;x=h.*(0:%Eluer法% u(n+1)=u(n)+h*fun1(x(n),u(n);plot(x,u,%改进的Eluer法% v(1)=u(n)+h*fun1(x(n),u(n); v(k+1)=u(n)+h/2*(fun1(x(n),u(n)+fun1(x(n+1
4、),v(k);%真解%u_real=sqrt(1+2*x);plot(x,u_real,(2)function du=fun2(x,u)du=(u/x)-x.2/u.2;x=1:h:2;x(1)=1;u(1)=2; u(n+1)=u(n)+h*fun2(x(n),u(n); v(1)=u(n)+h*fun2(x(n),u(n); v(k+1)=u(n)+h/2*(fun2(x(n),u(n)+fun2(x(n+1),v(k);u_real=x.*(8-3.*log(x).(1/3);由图像可知:改进的Euler法和Euler法都很接近真值。(3).function du=fun3(x,u)du
5、=u/(2*x)-x/(2*u2);N=0.5/h;1.5; u(n+1)=u(n)+h*fun3(x(n),u(n); v(1)=u(n)+h*fun3(x(n),u(n); v(k+1)=u(n)+h/2*(fun3(x(n),u(n)+fun3(x(n+1),v(k);u_real=(4*x.(3/2)-3*x.2).(1/3);2.试用预报校正格式(1.20)解初值问题并与Euler格式比较精度,取h=0.1。作业要求:写出程序,列表或用图形显示结果,并给出图或表所说明的结果。function du=Euler_fun2(t,u)du=-u+t+1; u(n+1)=u(n)+h*Eul
6、er_fun2(t(n),u(n); u0(n+1)=u(n)+h*Euler_fun2(t(n),u(n); u(n+1)=u(n)+h/2*(Euler_fun2(t(n),u(n)+Euler_fun2(t(n+1),u0(n+1);Du=-u+t+1显然预报校正格式要比Euler法精确度要高;P37 例4.1 用四级四阶Runge-Kutta法计算初值问题: u=4tu0.5,0t2, u(0)=1.取h=0.1,0.5,1.精确解为 u(t)=(1+t2)2写出程序,列表或用图形显示结果,并给出图或表所说明的结果.function du=fun4(t,u)du=4*t*u.(1/2);N=2/h;t=0: k1=fun4(t(n),u(n); k2=fun4(t(n)+0.5*h,u(n)+0.5*h*k1); k3=fun4(t(n)+0.5*h,u(n)+0.5*h*k2); k4=fun4(t(n)+h,u(n)+h*k3); u(n+1)=u(n)+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6; u_real=(1+t.2).2;将上述h换为0.5后图像为:将上述h换为1后图像为:从上述图像来看:第一幅图说明四级四阶Runge-Kutta法精度很高;后面两幅图说明了步长h取的越小越逼近精确值。
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