微分：
信号f（t）的微分运算指f（t）对t取导数，即：
信号经过微分运算后突出显示了它的变化部分，起到了锐化的作用。
积分：
信号f（t）的积分运算指f（t）在（-∞，t）区间内的定积分，表达式为：
信号经过积分运算后，使得信号突出变化部分变得平滑了，起到了模糊的作用，利用积分可以削弱信号中噪声的影响。
5、典型的连续时间信号
1）实指数信号：
（对时间的微、积分仍是指数。
）
a>0时，信号将随时间而增长；a<0时，信号将随时间而衰减；a=0时，信号不随时间而变化，为直流信号。
τ是指数信号的时间常数，τ越大，指数信号增长或衰减的速率越慢。
2）正弦信号：
对时间的微、积分仍是同频率正弦。
3）复指数信号：
（）
实际不存在，但可以用于描述各种信号。
σ>0时，增幅振荡正、余弦信号；σ<0时，衰减振荡正、余弦信号；σ=0时等振幅振荡正、余弦信号；ω=0时，实指数信号；σ=0且ω=0时，直流信号。
4）抽样信号：
Sa（t）具有以下性质：
，；Sa（0）=1，Sa（t）=0（t=±π，±2π，…）。
5）钟形信号：
6、单位阶跃函数和单位冲激函数
1）单位阶跃函数：
可以方便地表示某些信号，用阶跃函数表示信号的作用区间，积分计算；
单位冲激函数为偶函数：
；
加权特性：
抽样特性：
，；
尺度变换：
，，，；
导数（冲激偶）：
，
冲激偶的抽样特性：
，，
冲激偶的加权特性:
，。
2）单位冲激函数：
单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大，作用时间极短一种物理量的理想化模型。
3）冲激函数与阶跃函数关系:
阶跃函数序列与冲激函数序列。
7、信号的分解
直流分量fD与交流分量fA（t）:
，其中fD为直流分量即信号的平均值。
偶分量与奇分量：
，其中fe=为偶分量，fo=为奇分量。
脉冲分量
一种分解为矩形窄脉冲分量：
，
另一分解为阶跃信号分量之叠加。
实部分量与虚部分量：
对于瞬时值为复数的信号f（t）可分解为实、虚部两个部分之和。
正交函数分量：
，用正交函数集来表示一个信号，组成信号的各分量就是相互正交的。
8、系统：
若干相互作用、相互联系的事物按一定规律组成具有特定功能的整体称为系统。
9、系统的分类及性质
连续系统与离散系统：
输入和输出均为连续时间信号的系统称为连续时间系统；输入和输出均为离散时间信号的系统称为离散时间系统。
连续时间系统的数学模型是用微分方程来描述，而离散时间系统的数学模型是用差分方程来描述。
动态系统与即时系统：
若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的历史状况有关，则称为动态系统或记忆系统；含有记忆元件（电容、电感等）的系统是动态系统，否则称即时系统或无记忆系统。
线性系统与非线性系统：
能同时满足齐次性与叠加性的系统称为线性系统。
满足叠加性是线性系统的必要条件；不能同时满足齐次性与叠加性的系统称为非线性系统。
时不变系统与时变系统：
满足时不变性质的系统称为时不变系统。
时不变性质:
若系统满足输入延迟多少时间，其激励引起的响应也延迟多少时间。
因果系统与非因果系统：
激励引起的响应不会出现在激励之前的系统，称为因果系统；也就是说，如果响应r（t）并不依赖于将来的激励[如e（t+1）]，那么系统就是因果的。
稳定系统与不稳定系统：
一个系统，若对有界的激励f（.）所产生的响应y=f（.）也是有界时，则称该系统为有界输入有界输出稳定，简称稳定；即若│f（.）│<∞，其│yf（.）│<∞，则称系统是稳定的。
线性时不变系统：
LTI连续系统的微分特性和积分特性
线性性质包括两方面：
齐次性和可加性，若系统既是齐次的又是可加的，则称该系统是线性的，即T[af1（·）+bf2（·）]=aT[f1（·）]+bT[f2（·）]。
当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：
可分解性+零状态线性+零输入线性。
10、描述连续动态系统的数学模型是微分方程，描述离散动态系统的数学模型是差分方程。
解析描述-系统模拟框图描述。
11、系统分析研究的主要问题：
对给定的具体系统，求出它对给定激励的响应；也可以说，系统分析就是建立表征系统的数学方程并求出解答。
采用的数学工具：
卷积积分与卷积和，傅里叶变换，拉普拉斯变换，Z变换。
第二章连续系统的时域分析
微分方程的经典解法
0+和0-初始值
零输入响应与零状态响应
冲激响应和阶跃响应
卷积积分
1、微分方程的一般形式：
微分方程的经典解：
y（t）（完全解）=yh（t）（齐次解）+yp（t）（特解）
齐次解是齐次微分方程的解，yh（t）的函数形式由上述微分方程的特征根确定，而特解的函数形式与激励函数的形式有关。
齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励f（t）数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应；特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。
2、全响应＝齐次解（自由响应）＋特解（强迫响应）。
齐次解：
写出特征方程，求出特征根（自然频率或固有频率）；根据特征根的特点，齐次解有不同的形式；一般形式（无重根）：
特解：
根据输入信号的形式有对应特解的形式，用待定系数法确定；在输入信号为直流和正弦信号时，特解就是稳态解。
用初始值确定积分常数，一般情况下，n阶方程有n个常数，可用n个初始值确定。
3、0-状态称为零输入时的初始状态，即初始值是由系统的储能产生的；
0+状态称为加入输入后的初始状态，即初始值不仅有系统的储能，还受激励的影响。
从0-状态到0+状态的跃变：
当系统已经用微分方程表示时，系统的初始值从0-状态到0+状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含δ（t）及其各阶导数；如果包含有δ（t）及其各阶导数，说明相应的0-状态到0+状态发生了跳变。
0+状态的确定：
已知0-状态求0+状态的值，可用冲激函数匹配法；求0+状态的值还可以用拉普拉斯变换中的初值定理求出。
4、各种响应用初始值确定积分常数：
在经典法求全响应的积分常数时，用的是0+状态初始值；
在求系统零输入响应时，用的是0-状态初始值；
在求系统零状态响应时，用的是0+状态初始值，这时的零状态是指0-状态为零。
5、冲激函数匹配法：
目的：
用来求解初始值，求（0＋）和（0-）时刻值的关系；
应用条件：
如果微分方程右边包含δ（t）及其各阶导数，那么（0＋）时刻的值不一定等于（0-）时刻的值；
原理：
利用t＝0时刻方程两边的δ（t）及各阶导数应该平衡的原理来求解（0＋）。
6、零输入响应：
没有外加激励信号的作用，只有起始状态所产生的响应；
零状态响应：
不考虑起始时刻系统储能的作用，由系统外加激励信号所产生的响应；
LTI的全响应：
y（t）=yx（t）+yf（t）。
1）零输入响应，即求解对应齐次微分方程的解：
当特征方程的根（特征根）为n个单根（不论实根、虚根、复数根）λ1，λ2，…，λn时，则yx（t）的通解表达式为：
当特征方程的根（特征根）为n个重根（不论实根、虚根、复数根）λ1=λ2=…=λn时，yx（t）的通解表达式为:
步骤总结：
求系统的特征根，写出yx（t）的通解表达式；
由于激励为零，所以零输入的初始值：
，确定积分常数C1、C2、…、Cn；
将确定出的积分常数C1、C2、…、Cn代入通解表达式，即得yx（t）。
2）零状态响应，即求解对应非齐次微分方程的解：
基本步骤：
求系统的特征根，写出的通解表达式yfh（t）；
根据f（t）的形式，确定特解形式，代入方程解得特解yfp（t）；
求全解，若方程右边有冲激函数（及其各阶导数）时，根据冲激函数匹配法求得，确定积分常数C1、C2、…、Cn；
将确定出的积分常数C1、C2、…、Cn代入全解表达式，即得。
几种典型自由项函数相应的特解：
7、系统响应划分：
自由响应（Natural）＋强迫响应（forced）；
暂态响应（Transient）+稳态响应（Steady-state）；
零输入响应（Zero-input）＋零状态响应（Zero-state）。
零输入响应是自由响应的一部分，零状态响应有自由响应的一部分和强迫响应构成。
8、冲激响应：
系统在单位冲激信号δ（t）作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h（t）表示。
阶跃响应：
系统在单位阶跃信号u（t）作用下的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，一般用g（t）表示。
阶跃响应与冲激响应的关系：
线性时不变系统满足微、积分特性、。
阶跃响应是冲击响应的积分，注意积分限，对于因果系统为。
9、任意信号的分解：
任意信号作用下的零状态响应：
卷积定义：
已知定义在区间（–∞，∞）上的两个函数f1（t）和f2（t），则定义积分：
（）
于是，任意信号的零状态响应即为：
卷积的计算步骤可分解为四步：
1）换元：
t换为τ→得f1（τ）、f2（τ）；
2）反转平移：
由f2（τ）反转→f2（–τ）右移t→f2（t-τ）；
3）乘积：
f1（τ）*f2（t-τ）；
4）积分：
τ从–∞到∞对乘积项积分。
10、卷积的性质
交换律：
ƒ1（t）*ƒ2（t）=ƒ2（t）*ƒ1（t）；
分配律：
ƒ1（t）*[ƒ2（t）+ƒ3（t）]=ƒ1（t）*ƒ2（t）+ƒ1（t）*ƒ3（t）；
结合律：
[ƒ1（t）*ƒ2（t）]*ƒ3（t）=ƒ1（t）*[ƒ2（t）*ƒ3
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