九年义务教育湘教版九年级数学上册教案.docx

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九年义务教育湘教版九年级数学上册教案

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九年义务教育湘教版九年级数学上册教案

第1章一元二次方程

20年月日第1周星期总第1课时

课题

第1课时一元二次方程

教学目标

1、整式方程和一元二次方程的定义；能识别一元二次方程；

2、知道一元二次方程的一般形式aX2+bX+c=0（a≠0），能熟练的把一元二次方程整理成一般形式；

3、在分析、揭示实际问题中的数量关系并把实际问题转化为数学模型。

教学重点

一元二次方程的意义及一般形式。

教学难点

正确识别一般式中的“项”及“系数”

教学用具

执教者

教学内容

共案

个案

一、新课引入：

提出下面问题，由学生设未知数，并列出方程：

（1）一个正方形的面积的2倍等于31，求这个正方形的边长。

（2）一个数比另一个数小，且两数之积为0，求这个数。

（3）一个数的平方的－倍与－2的和等于2，求这个数。

（4）一个矩形的长比宽多5cm，面积为150cm2，求这个矩形的宽。

设所求的量或数为x，可得如下方程：

（1）2x2=31

（2）x（x+） = 0

（3）－x2－2=2（4）x（x+5）=150

然后将上述方程改写成：

（1）2x2－31=0

（2）x2+x = 0

（3）－ x2－4=0（4）x2+5x－150=0

什么叫整式方程？

怎样的方程叫一元一次方程？

试举例说明。

（方程两边都是未知数的整式，叫整式方程；在整式方程中，只含一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的方程叫作一元一次方程）

二、新课讲解：

问题1、引导性材料1中，所得出的四个方程有哪些共同点？

（学生分组讨论，然后各组交流）

（1）都是整式方程

（2）只含有一个未知数（3）未知数的最高次数是2

从而教师导出一元二次方程的定义，得出一元二次方程的一般形式：

 aX2+bX+c=0（a≠0）

问题2下列方程都是整式方程吗？

其中哪些是一元一次方程？

哪些是一元二次方程？

（1）3x+2=5x－3

（2）x2=4

（3）（x－1）（x－2）=x2+8（4）（x+3）（3x－4）=（x+2）2

（上列方程都是整式方程。

其

（1）、（3）是一元一次方程，

（2）、（4）是一元二次方程）

说明：

通过一元二次方程与一元一次方程的比较，既加深学生对整式方程的认识，又可使学生深刻理解一元二次方程的意义。

问题3为什么在一元二次方程的一般形式aX2+bX+c=0中，二次项系数不为0呢？

说明：

方程aX2+bX+c=0是一元二次方程，必须具备a≠0的条件。

如果所研究的问题中，明确指出方程aX2+bX+c=0是一元二次方程，则它隐含了条件a≠0。

若没有特别说明，方程aX2+bX+c=0既可能是一元二次方程（当a≠0时），也有可能是一元一次方程（当a=0且b≠0时）。

例题解析：

例1把方程（x+3）（3x－4）=（x+2）2化成一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数及常数项。

解：

2x2+x－16=0

二次项系数是2，一次项系数是1，常数项是－16。

一元二次方程的一般形式aX2+bX+c=0（a≠0）具有两个特征：

一是方程的右边为0；二是左边的二次项系数不能为0。

此外要使学生意识到：

二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的，不同的一元二次方程的差异实质上是系数的差异，从而能正确的找出一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项。

例2当a、b、c满足什么条件时，方程（a－1）x2+bx+c=0是一元二次方程？

这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么？

当a、b、c满足什么条件时，方程（a－1）x2+bx+c=0是一元一次方程？

本题供学有余力的同学讨论。

当a=1时是一元二次方程；当a=1，b≠0时是一元一次方程；

三、课堂练习：

教科书第5页练习第1题，第2题

四、课堂小结：

1、一元二次方程属于“整式方程”，其次它“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2”，

2、一元二次方程的一般形式aX2+bX+c=0（a≠0），一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。

3、在实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性。

五、作业：

课本第5页练习第3题

补充题：

一、选择题（40分）

将下题中唯一正确答案的序号填在题后的括号内。

下列方程是一元二次方程的是（）

A、 B、（x+2）（x-3）x=3x2+

C、（x+1）（x2-x+1）=x3-x2D、（2x2-1）2-1=0

二、解答题（每题30分，共60分）

1、把下列各题化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项、一次项及常数项；

（1）（）（）=（y-2）2；

（2）（x+a）2+2（x+a）（2x+c）=b2

2、对于方程x2-mx（2x-m-1）=0，当m为何值时，是一元二次方程？

板书设计

教学反思

一元二次方程

一、新课引入

二、新课讲解

三、课堂练习

四、课堂小结

五、作业

第1章一元二次方程

20年月日第周星期总第课时

课题

第2课时直接开平方法

教学目标

1、知道直接开平方法适用于解形如（x+h）2=m的方程，它的依据是数的开方；

2、会用直接开平方法解形如（x－a）2=b（b≥0）的方程；

3、在把（x－a）2=b（b≥0）看成x2=b（b≥0）的过程中，引导学生体会“换元”的数学方法。

教学重点

用直接开平方法解一元二次方程

教学难点

怎样的一元二次方程适用于直接开平方法

教学用具

执教者

教学内容

共案

个案

一、新课引入：

要求学生复述平方根的意义。

（1）文字语言表示：

如果一个数的平方的等于a，这个数叫a的平方根。

（2）用式子表示：

若x2=a，则x叫做a的平方根。

一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；

零的平方根是零；

负数没有平方根。

求适合等于x2=4的x的值。

说明：

学生不难看出本题的解（x=2或x=－2），教学中要注意引导学生观察这个方程的特点，探索解这个方程与已学知识（数的开方）的联系。

在求出方程x2－4=0的解以后，引导学生总结：

解这样的方程，就是要“求一个数，使它的平方是4”，即求4的平方根，可用开平方的方法。

这个过程体现了数学常用的一种重要的数学思想方法——化归。

事实上，解决数学问题的过程，就是一系列的转化过程，把未知的转化为已知的，最终使问题解决。

二、新课讲解：

问题1如果一元二次方程：

aX2+bX+c=0（a≠0）的一次项系数b、常数项c中至少有一个为0，那么就能得到那些特殊的一元二次方程？

（1）ax2=0

（2）ax2+c=0（3）ax2+bx=0

问题2怎样解方程ax2=0？

（可以3x2=0为具体例子，学生根据平方根的定义，得到x=0。

应指出3x2=0有两个相等的实数根，即x=0，x=0 ；这与一元一次方程3x=0有一个根x=0是有区别的，进而指出：

方程ax2=0有两个相等的实数根x=x=0）

问题3怎样解方程ax2+c=0（a≠0）？

可以

（1）x2－4=0，

（2）2x2－50=0，（3）2x2+50=0等方程为例，由学生把它们变形为x2=－的形式，用平方根的定义来求解。

接着指出：

这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法，其中适合方程（3）的实数x不存在，所以原方程无实数解。

进而引导学生归纳方程ax2+c=0的解的情况：

当a、c异号时，方程ax2+c=0有两个不相等的实数根；当a、c同号时，方程ax2+c=0没有实数根。

说明：

以上教学设计让学生经历由简单到复杂的研究过程，对于一元二次方程的解有全面了解；通过对方程ax2+c=0（a≠0）解的情况的讨论，体会分类的思想；最后设计的几个过程，让学生判断、求解，体现了“换元”的思想方法。

例题解析：

例1课本例2

在讲解例1时注意：

1、对于形如“（x－a）2=b（b≥0）”型的方程，教科书给出的例子是解方程（x+3）2=2。

这时，只要把x+3看作一个整体，就可以转化为x2=b（b≥0）型的方法去解决，这里渗透了“换元”的方法。

2、在对方程（x+3）2=2两边同时开平方后，原方程就转化为两个一次方程。

要向学生指出，这种变形实质上是将原方程“降次”。

“降次”也是一种数学方法

例2不解方程，说出下列方程根的情况：

（1）1－3x2=2x2；

（2）－4x2+1=0；（3）－0.5x2－2=0.

（通过训练，使学生明确一元二次方程的解有三种情况）

例2解下列方程：

（1）（1－x）2=1；

（2）（1+x）2－2=0；（3）（2x+1）2+3=0；（4）x2－2x+1=4.

（渗透换元思想训练）

三、课堂练习：

教科书第8页练习

四、课堂小结：

1、直接开平方法可解下列类型的一元二次方程：

x2=b（b≥0）；（x－a）2=b（b≥0）。

解法的根据是平方根的定义。

要特别注意，由于负数没有平方根，所以上述两式中规定了b≥0。

当b﹤0时，方程无解。

2、求解形如x2=b（b≥0）的方程，实质上是“求一个数x，使它的平方是b”，所以用“直接开平方法”；对于形如（x－a）2=b（b≥0）的方程，只要把x+a看作一个整体X，就可转化为x2=b（b≥0）的形式，这就是“换元”的方法

五、作业：

习题1A组第1题

补充题：

一、选择题（每题9分，共18分）

将下列各题中唯一正确答案的序号填在题后的括号内。

1、解是x=的方程是（）

A、x2+2=0B、x2-2=0C、x-2=0D、（4x）2=2

2、若方程（x-4）2=m-6可用直接开平方法解，则m的取值范围是（）

A、m>6B、m≥0C、m≥6D、m=6

二、填空题（每题9分，共18分）

1、若x=2是方程a2x2-x+1=0的一个解，则a的值是_________.

2、方程（x+2）2=8的根是______________.

三、用直接开平方法解下列方程（每题8分，共64分）

1、3x2-27=02、x2-3、（2x+5）（2x-5）=144

4、2（x-2）2=505、（3x-1）2=6、

7、3（8、（a-x）2=a2+1

板书设计

教学反思

第2课时直接开平方法

一、新课引入

二、新课讲解

三、课堂练习

四、课堂小结

五、作业

第1章一元二次方程

20年月日第周星期总第课时

课题

第3课时因式分解法

教学目标

1、进一步体会因式分解法适用于解一边为0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。

2、会用因式分解法解某些一元二次方程。

3、进一步让学生体会“降次”化归的思想。

教学重点

掌握用因式分解法解某些一元二次方程。

教学难点

用因式分解法将一元二次方程转化为一元一次方程。

教学用具

执教者

教学内容

共案

个案