全国数学建模二等奖C题Word格式.docx
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替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；
替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。
既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，是国家养老保险改革的重点。
1.1问题一重述与分析
重述：
在对未来中国经济发展和工资增长的形势做出简化、合理的假设前提下并参考附件1，预测从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。
分析：
解决本问题的关键在于如何拟合一条能代表未来山东省职工人均年平均工资的曲线，由于工资增长趋势应与经济发展趋势相一致（工资增长趋势与经济发展趋势的相关性分析见附件三），根据经济学专家论证以及全球经济发展的影响[1]，中国经济发展的走势应与Logistic曲线趋势相吻合，即初期增长较快，后期缓慢增长趋于稳定。
考虑我国经济发展的战略目标，结合发达国家经济发展规律，本文建立了工资增长的“拟Logistic模型”，并利用附件一中的数据加以验证，结果比较准确，进而根据模型预测出2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。
1.2问题二重述与分析
重述：
根据附件2计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。
如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），计算各种情况下的养老金替代率。
分析：
目的在于比较这些替代率是否达到了目标替代率，如果达到目标替代率，国家的养老基金缺口是多少。
解决本问题关键是计算出各年龄段企业职工平均缴费指数（用算数平均法），其解决步骤为：
首先应根据根据附件2计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比，其次利用求取算术平均值的方法计算出每个年龄段的企业职工的的平均缴费指数，最后根据附件3以及题目中所涉及的基础养老金额、个人账户养老金和替代率的算法计算出不同情况下的养老金替代率。
1.3问题三重述与分析
假设该企业某职工自2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。
计算养老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。
解决本问题的关键在于建立养老保险收支平衡模型。
其解决步骤：
首先通过发放养老金总额与缴费总额的差值得到资金缺口，然后建立养老保险收支平衡模型：
发放的养老金总额=缴费总额，从而计算出职工平衡年龄。
1.4问题四重述与分析
采取什么措施可以达到目标替代率，同时又能维持养老保险基金收支平衡。
根据问题3的求解，得到：
在现行政策下若要达到目标替代率，会提高人们的生活水平，但是国家可能存在较大的养老基金缺口，而且越早退休，资金缺口越大。
为找到有效措施，我们先对维持养老保险基金收支平衡的各种相关因素进行了解，包括延长职工退休年龄、增加缴费年、提高工资缴费比例、扩大社会保障覆盖面,增加筹资收入等等。
然后重点对延长职工退休年龄研究，期望得到可实施性强的一些措施。
二、模型的假设
1.假设退休后个人账户余额不计息；
2.假设一切个人账户储存款发生在年中，职工退休发生在年初；
3.假设该企业各年龄段职工工资与社会平均工资在未来年限内保持相同的变化率。
三、模型的建立与求解
3.1问题一的解题方案与模型
根据世界经济发展规律，我国经济发展趋势应与Logistic曲线趋势相吻合，即随着工资的增加，增长率逐渐减小，最终趋于稳定。
考虑到我国经济发展的战略目标，是要在21世纪中叶（2050年左右）使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平，而中等发达国家年平均工资约为4.5万美金[2]，合人民币287460元。
因此到2050年左右，我国人均年平均工资要接近287460元。
再考虑到在大部分发达国家，每年的工资增长率比较稳定且不超过1%[3]。
综合以上因素，从1978到2060年，我们建立工资增长的“拟Logistic模型”：
其中x代表工资，t表示年份，r0表示初始增长率，根据附件1，我们取r0=11.67%。
从模型可以看出，工资的增长率随着x增大而减小，且当x→287460元时，增长率趋向于1%，与我国经济发展战略目标相一致。
用Matlab软件求解模型（程序见附录），并用附件1中的数据加以验证，结果比较准确，见图1：
图1：
拟Logistic模型结果与所给数据拟合情况
根据模型进行预测，得到2011年至2035年的山东省职工的年平均工资如表1：
表1：
2011年至2035年的山东省职工的年平均工资
年份
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
职工平均工资
33063
36996
41328
46083
51280
56938
63073
2018
2019
2020
2021
2022
2023
2024
69689
76778
84336
92353
100800
109630
118800
2025
2026
2027
2028
2029
2030
2031
128250
137920
147730
157610
167470
177240
186850
2032
2033
2034
2035
196220
205290
214000
222320
从预测结果来看，山东省职工人均年平均工资从2010年的3.2074万增长到2035年达到22.232万，与中银国际控股有限公司首席经济学家曹远征“在未来每过十年，居民收入将翻番”的预测比较一致[4]。
此外，根据模型计算，2050年的平均工资为295220，与国家战略目标287460很接近，也表明我们的模型较为准确。
3.2问题二的解题方案与模型
（1）企业职工平均工资：
针对各年龄段工资情况，对所给的每个工资范围取中值作为一种工资水平，乘以对应职工人数，累计求和后除以企业所有职工人数，得到企业职工的平均工资。
代入表中数据算出该企业职工平均工资为2580.228元。
（2）2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比见下表：
表2：
2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比
年龄段
职工人数
总收入
平均收入（d）
企业职工平均收入（e）
比值（d/e）
（看作平均缴费指数）
20-24岁
282
487000
1726.95
2580.228
0.669301
25-29岁
263
546250
2076.996
0.804966
30-34岁
242
613500
2535.124
0.982519
35-39岁
226
622000
2752.212
1.066655
40-44岁
221
668750
3026.018
1.172771
45-49岁
194
634000
3268.041
1.266571
50-54岁
135
421000
3118.519
1.208621
55-59岁
101
301000
2980.198
1.155013
注：
各年龄段总收入=∑月平均收入×
此收入范围的人数，如20-24岁职工总收入=741250+1651750+225026+275016+32501=487000
（3）企业职工的的平均缴费指数：
依题意将该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比看作职工平均缴费指数的参考值，对应表2中的最后一列。
对于60-64岁之间的企业职工的平均缴费指数，利用已有数据变化趋势（如图2），推算结果为1.1024。
图2：
企业职工的平均缴费指数变化趋势
（4）历年个人账户储存额计算：
个人账户储存额=累计交款本息和=年初本息和累计+个人本年缴费额+本年计息额
其中：
个人本年缴费额=企业职工年平均工资各年龄段平均缴费指数8%
本年计息额=（年初交款本息和累计+个人本年缴费额/2）3%
下面针对每种情况，按照上述公式，逐年计算，得出个人账户累计储存额（具体过程见附件三）：
①该企业职工自2000年起30岁开始缴养老保险，分别缴费到55、60、65岁退休。
表3：
30岁开始缴费到55、60、65岁的个人账户储存额
退休年龄
年初缴款本息和累计
当年职工年平均工资
平均缴费指数
个人本年缴费额
本年计息
个人账户累计储存额
55
127544.7577
1.2086
11486.534
3998.641
143029.9329
60
216899.8014
1.155
15474.228
6739.107
239113.1368
65
340608.345
1.1014
18855.968
10501.09
369965.4028
②该企业职工自2000年起40岁开始缴养老保险，分别缴费到55、60、65岁退休。
表4：
40岁开始缴费到55、60、65岁的个人账户储存额
职工年平均工资
累计缴款本息和
36138.21861
4455.6731
1150.982
41744.87337
70533.39542
7094.2872
2222.416
79850.0988
125966.307
10467.706
3936.005
140370.0174
（5）六种情况下的养老金替代率计算
由公式：
养老金替代率=
其中：
退休前工资用当年社会平均工资近似替代；
养老金=基础养老金+个人账户养老金；
个人账户养老金=个人账户储存额（表3、表4）÷
计发月数（附件3）
基础养老金=（全省上年度在岗职工月平均工资+本人指数化月平均缴费工资）÷
2×
缴费年限×
1%；
本人指数化月平均缴费工资=全省上年度在岗职工月平均工资×
本人平均缴费指数（表2最后一列）。
具体计算如下：
①该企业职工自2000年起30岁开始缴养老保险，一直缴费到55岁退休；
基础养老金=（118800÷
12+118800×
1.2086÷
12）÷
25×
1%=2733
个人账户养老金=143029.9329÷
170=841.3525
养老金替代率=（2733+841.3525）/（118800÷
12）×
100%=36.11%
②该企业职工自2000年起30岁开始缴养老保险，一直缴费到60岁退休；
基础养老金=（167470÷
12+167470×
1.155÷
30×
1%=4511.3
个人账户养老金=239113.1368÷
139=1720.238
养老金替代率=（4511.3+1720.238）/（167470÷
100%=44.65%
③该企业职工自2000年起30岁开始缴养老保险，一直缴费到65岁退休；
基础养老金=（214000/12+214000/12×
1.1014）÷
35×
1%=6558.1
个人账户养老金=369965.4028÷
101=3663.024
养老金替代率=（6558.1+3663.024）/（214000÷
100%=57.31%
④该企业职工自2000年起40岁开始缴养老保险，一直缴费到55岁退休；
基础养老金=（46083÷
12+46083÷
12×
1.2086）÷
15×
1%=636
个人账户养老金=41744.87337÷
170=245.5581
养老金替代率=（636+245.5581）/（46083÷
100%=22.96%
⑤该企业职工自2000年起40岁开始缴养老保险，一直缴费到60岁退休；
基础养老金=（76778÷
12+76778÷
1.155）÷
20×
1%=1378.8
个人账户养老金=79850.0988/139=574.4611
养老金替代率=（1378.8+574.4611）/（76778÷
100%=30.53%
⑥该企业职工自2000年起40岁开始缴养老保险，一直缴费到65岁退休；
12+118800÷
1%=2600.5
个人账户养老金=140370.0174÷
101=1389.8
养老金替代率=（2600.5+1389.8）/（118800÷
100%=40.31%
表5：
各种情况对应的养老金替代率
类别
①30-55
②30-60
③30-65
④40-55
⑤40-60
⑥40-65
基础养老金（元）
2733
4511.3
6558.1
636
1378.8
2600.5
个人账户养老金（元）
841.3525
1720.238
3663.02
245.56
574.461
1389.8
养老金替代率
36.11%
44.65%
57.31%
22.96%
30.53%
40.31%
从计算结果来看，养老金替代率在22.96%到57.31%之间，均未达到国家目标替代率58.5%，且22.96%对应缴费年限为15年，57.31%对应缴费年限为35年，即缴费年限越短，替代率越低，与实际情况相符。
3.3问题三的解题方案与模型
（1）各退休年龄的资金缺口情况：
退休时基本养老收入缺口=发放的养老金总额-缴费总额
表6：
各退休年龄的资金缺口情况
社保月领养老金（元）
发放的养老金总额
缴费总额为
75岁死亡所造成的资金缺口（元）
3574.3525
857840
380040
477800
6231.538
1121700
623919.3
497760
10221.124
1226500
950691.6
275840
从计算结果可以看出，30岁开始缴纳保险金，退休年龄分别为55、60、65，且假设75岁死亡时，各种退休年龄下都存在资金缺口。
究其情况，估计是由于社会年平均工资增长较快，导致退休时领取的月养老金较高，而缴纳总额相对较低。
（2）如果不考虑隐性债务问题,养老保险收支平衡方法是以缴费期的收入满足若干年后退休养老金的支付。
①养老保险费收入=月平均工资总额×
缴费率
=企业缴纳的社会统筹基金（20%）+个人缴纳的个人账户基金（8%）
②基本养老金支付=基础养老金+个人账户养老金
基础养老金=（参保人员退休时当地上年度在岗职工月平均工资+本人指数
化月平均缴费工资）/2×
1%。
个人账户养老金=个人账户储存额÷
国家规定的计发月数
③设职工领取养老金到n岁时养老金收支平衡，即n岁时为各年养老金积累额=缴费年龄到退休时的缴费总额
缴费年龄到退休时的缴费总额=企业各年缴费总额+个人累计缴款本息和
情况一：
自2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到55岁退休，即退休后（n-55）年达到收支平衡，其缴费总额为：
237010.2+143029.9329=380040
其每年发放的养老金为：
3574.352512=42892.23
于是：
n-55=380040/42892.23=8.86
解得n=63.86≈64，则该职工领取养老金到64岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。
情况二：
自2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到60岁退休，即退休后（n-60）年达到收支平衡，其缴费总额为：
384806.2+239113.1368=623919.3
其每年发放的的养老金为：
6231.53812=74778.46
则：
n-60=623919.3/74778.46=8.34
解得，n=68.34≈68岁，则该职工领取养老金到68岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。
情况三：
自2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到65岁退休，即退休后（n-65）年达到收支平衡，其缴费总额为：
580726.2+369965.4028=950691.6
10221.12412=122653.5
n-65=950691.6/122653.5=7.75
解得，n=72.75≈73岁，则该职工领取养老金到73岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。
3.4问题四的解题方案与模型
通过对问题三的模型建立以及实际问题的分析，我们得出了如下结论：
可见，收支平衡与退休年龄密切相关，为此我们进行详细分析。
3.4.1退休变化对养老金支出的影响分析
就一个人劳动力供给时间的变化,分析退休时间的变化对养老金支出的影响情况[5][6][7]。
如下图：
图3：
退休变化对养老金支出的影响
假设:
每一标准时间单位中,养老保险水平为H。
在上图中我们可以看出,劳动供给曲线向左移动,即劳动供给曲线从L移动到L1,退休时间从A点前移到A1点。
在B1点开始享受社会保障资金。
此时,社会保障资金支付的时间提前,从而使社会保障资金多支付（B-B1）×
H。
情况二：
从图中我们还可以看出,退休年龄延长后,即劳动供给曲线从L移动到L2,退休时间从A点后移到A2点。
在B2点开始享受社会保障资金。
此时,社会保障资金支付的时间延后,从而使社会保障资金少支付（B2-B）×
由上述分析可知延长退休年龄会减少社会保障金的支付，从而更容易维持养老保险收支平衡。
3.4.2我国延长退休年龄的合理性分析
①人均受教育年限的增加带来的实际劳动起始年龄下限上移，同时，人均预期寿命的提高引发的退休生涯扩张，实际劳动起始年龄后移、退休生涯延长对工作年限存在挤压效应，这将给个人自我养老造成巨大压力。
②减缓养老基金缺口根据目前的人口状况，2020年将是人口老龄化的高峰期。
延迟退休对于社会保险基金有很大好处：
晚退5年，社保基金就可少支付5年的养老金，同时又多加收5年的养老保险，一来一去就有10年养老保险基金的差距。
3.4.3实现养老金收支平衡的具体措施
（1）阶段性提高退休年龄
从现在到2015年，逐步改革退休制度，将女性的退休年龄统一为55岁。
在此期间，原为女工人的可以在50—55岁之间根据各自的情况选择退休时间，但是在2015年之后必须在55岁退休。
而且，中国也可以利用这段时间将提前退休违规等现象进行整治。
穆怀中分析了如何提高退休年龄，他综合考虑人口、养老保险基金供求因素后，设计了四种提高退休年龄的方案，对比后的最佳方案是：
2016--2025年，将女职工的退休年龄每2年推迟1岁；
2026--2050年，将男、女职工的退休年龄同时每5年推迟l岁；
最后男、女职工的退休年龄都为65岁。
表7：
退休年龄调整方案（单位：
岁）
男
女
2016-2017
56
2026-2030
61
2018—2019
57
203l一2035
62
2020—202
58
2036—2040
63
2022—2023
59
2041—2045
64
2024—2025
2046—2050
小结：
“阶段性提高退休年龄”在实际生活中的可行性强。
（2）完善资本市场,实现基金保值增值
借鉴国外养老保险基金成功的投资经
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