福建省漳州市届高三调研测试数学理试题Word下载.docx
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13.已知
展开式中常数项为1120，则正数a＝________.
14.已知实数x，y满足
若z＝x＋y的最大值为4，则z的最小值为________.
15.设F为双曲线C：
＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，过F且斜率为
的直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，且
，则双曲线C的离心率为________.
16.数列{an}为单调递增数列，且
，则t的取值范围是________.
三、解答题：
共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：
共60分.
17.（12分）
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（b－c）2＝a2－bc.
（Ⅰ）求sinA；
（Ⅱ）若a＝2，且sinB，sinA，sinC成等差数列，求△ABC的面积.
18.（12分）
随着科学技术的飞速发展，手机的功能逐渐强大，很大程度上代替了电脑、电视.为了了解某高校学生平均每天使用手机的时间是否与性别有关，某调查小组随机抽取了30名男生、20名女生进行为期一周的跟踪调查，调查结果如下表所示：
平均每天使用手机超过3小时
平均每天使用手机不超过3小时
合计
男生
25
5
30
女生
9
11
20
34
16
50
（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学生使用手机的时间长短与性别有关？
（Ⅱ）在这20名女生中，调查小组发现共有15人使用国产手机，在这15人中，平均每天使用手机不超过3小时的共有9人.从平均每天使用手机超过3小时的女生中任意选取3人，求这3人中使用非国产手机的人数X的分布列和数学期望.
参考公式：
P（K2≥k0）
0.500
0.400
0.250
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
k0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
19.（12分）
如图，在多面体ABCDNPM中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°
，PA⊥平面ABCD，AB＝AP＝2，PM∥AB，PN∥AD，PM＝PN＝1.
（Ⅰ）求证：
MN⊥PC；
（Ⅱ）求平面MNC与平面APMB所成锐二面角的余弦值.
20.（12分）
已知椭圆C：
的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且过点
.过点P（1，0）的直线l交椭圆C于M，N两点，A为椭圆的左顶点.
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）求△AMN面积的最大值，并求此时直线l的方程.
21.（12分）
已知函数f（x）＝2ex＋3x2－2x＋1＋b，x∈R的图象在x＝0处的切线方程为y＝ax＋2.
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间与极值；
（Ⅱ）若存在实数x，使得f（x）－2x2－3x－2－2k≤0成立，求整数k的最小值.
（二）选考题：
共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.[选修4—4：
坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是
（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
＝.
（Ⅰ）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知直线l与曲线C交于A，B两点，与x轴交于点P，求|PA|·
|PB|.
23.[选修4—5：
不等式选讲]（10分）
已知函数f（x）＝|2x－1|＋2|x＋2|.
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）解不等式f（x）<
8.
数学（理科） 答案详解
1
2
3
4
6
7
8
10
12
B
D
A
C
1.B 【解析】本题考查分式不等式及指数不等式的解法、集合的交集运算．A＝（－∞，－3]∪（4，＋∞），B＝（2，＋∞），所以A∩B＝（4，＋∞），故选B.
2.B 【解析】本题考查复数的除法运算及复数的模．因为z＝＝＝－1＋3i，所以|z|＝，故选B.
3.D 【解析】本题考查函数的图象和基本性质．由题易得函数f（x）是奇函数，所以其图象关于原点对称，排除B，C，当x∈（0，π]时，f（x）>
0，排除A，故选D.
4.D 【解析】本题考查向量的基本概念和运算．设a与b的夹角为θ，则a⊥（a－b）
a·
（a－b）＝0
a2－a·
b＝0
a2－|a|·
|b|cosθ＝0，所以cosθ＝，所以向量a在b方向上的投影为|a|cosθ＝，故选D.
5.D 【解析】本题考查等差数列和等比数列的通项公式．依题意，an＝1＋3（n－1）＝3n－2，bn＝3n－1，则b1＝1，b2＝3，b3＝9，所以ab1＋ab2＋ab3＝a1＋a3＋a9＝1＋7＋25＝33，故选D.
6.A 【解析】本题考查含有当型循环结构的程序框图．执行程序框图，依次可得n＝1，S＝0，S<
16，进入循环；
S＝0＋3＝3，n＝2，S＝3<
S＝3＋6＝9，n＝3，S＝9<
S＝9＋9＝18，n＝4，S＝18>
16，跳出循环，输出n＝4，S＝18，故选A.
7.B 【解析】本题考查空间几何体的三视图、空间几何体的体积．这个几何体是由一个棱长为2的正方体挖去一个三棱锥而成的，其直观图如图所示，则这个几何体的体积V＝23－×
×
2×
2＝，故选B.
8.C 【解析】本题考查三角函数的图象与性质．由题图可知，A＝2，T＝＝2×
＝π，所以ω＝2，
＝2，解得2×
＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z，因为|φ|<
，所以φ＝，所以
，故选C.
9.C 【解析】本题考查函数的基本性质．由题知
10.B 【解析】本题考查几何概型.满足条件的概率是以1为半径的球的体积的除以以1为棱长的正方体的体积，即π×
÷
1＝，故选B.
11.A 【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系与轨迹方程的求法．不妨将抛物线翻转为x2＝4y，设翻转后的直线l的方程为y＝kx＋1，翻转后的A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则联立得x2－4kx－4＝0 ①，易得抛物线C在点A处的切线方程为y－x21＝x1·
（x－x1），同理可得抛物线C在点B处的切线方程为y－x22＝x2（x－x2）．联立得y＝x1x2，再由①可得x1x2＝－4，所以y＝－1.故原抛物线C相应的点P的轨迹方程为x＝－1，故选A.
12.A 【解析】本题考查导数的应用.当a≥0时，1，2都是不等式（ax＋3）ex－x>
0的解，不符合题意；
当a<
0时，（ax＋3）ex－x>
0化为ax＋3>
，设f（x）＝，则f′（x）＝，所以函数f（x）在（－∞，1）上是增函数，在（1，＋∞）上是减函数，所以当x＝1时，函数f（x）取得最大值，因为不等式（ax＋3）ex－x>
0有且只有一个正整数解，则解得－3<
a≤－，故选A.
13.1 【解析】本题考查二项式定理的通项.展开式的通项为
Tk＋1＝Ck8（2x）8－k＝Ck828－k（－a）kx8－2k.令8－2k＝0，得k＝4.由
，得正数a＝1.
14.－2 【解析】本题考查含有参数的线性规划问题.作出可行域，如图所示，经计算，A（－2k，k），B（k，k）.由图可知，当直线y＝－x＋z过点B时，z取最大值，即k＋k＝4，解得k＝2，当直线y＝－x＋z过点A（－4，2）时，z取最小值，即zmin＝－4＋2＝－2.
15.2或 【解析】本题考查双曲线的几何性质．若＝－2，则由图1可知，渐近线OB的斜率为－，l⊥OB，在Rt△OBA中，由角平分线定理可得＝＝2，所以∠AOB＝60°
，∠xOA＝30°
，所以＝，e＝＝＝.若＝2，则由图2可知，渐近线OB为△AOF边AF的垂直平分线，故△AOF为等腰三角形，故∠AOB＝∠BOF＝60°
，＝，e＝＝2.
16. 【解析】本题考查数列与分段函数的性质．要使数列{an}为单调递增数列，则a1<
a2<
a3<
a4<
a5<
….当n<
4时，an＝（2t－3）n－8t＋14必须单调递增，∴2t－3>
0，即t>
①.当n≥4时，an＝logtn也必须单调递增，∴t>
1 ②.另外，由于这里类似于分段函数的增减性，因而a3<
a4，即3（2t－3）－8t＋14<
logt4，化简得logt4＋2t>
5 ③.方法一：
当<
t≤2时，logt4＋2t>
5；
当2<
t≤时，logt4＋2t>
当t>
时，logt4＋2t>
5，故③式对任意t>
恒成立，综上，解得t的取值范围是.方法二：
由①②得t>
，在此前提下，构造f（t）＝logt4＋2t－5，则f′（t）＝2－，令g（t）＝tln2t，则g′（t）＝ln2t＋2lnt＝lnt（lnt＋2）>
0，∴g（t）＝tln2t在上单调递增，且g（t）>
0，从而f′（t）是上的增函数，可验证f′＝2－＝2<
0即证ln>
ln2，即证ln4>
3ln×
ln，即证ln4>
ln×
ln，∵ln4>
ln，0<
ln<
1，∴ln4>
，f′
（2）＝2－＝2－>
0.∴f′（t）＝2－在上有唯一零点，设为m，m∈，易知m为f（t）的极小值点，也是最小值点．∴f（t）min＝f（m）＝logm4＋2m－5.当m∈时，logm4>
log24＝2，2m>
＝3.∴f（t）min＝f（m）>
log24＋3－5＝0，即当t∈时，f（t）>
0恒成立．综上，t的取值范围是.
17.【名师指导】本题考查正弦定理、余弦定理、等差数列以及三角形面积的计算．
解：
（Ⅰ）由（b－c）2＝a2－bc，得b2＋c2－a2＝bc，（2分）
即＝，由余弦定理得cosA＝，（4分）
因为0<
A<
π，所以sinA＝.（6分）
（Ⅱ）由sinB，sinA，sinC成等差数列，得sinB＋sinC＝2sinA，（7分）
由正弦定理得b＋c＝2a＝4，
所以16＝（b＋c）2，所以16＝b2＋c2＋2bc.（8分）
由（Ⅰ）得16＝a2＋bc，
所以16＝4＋bc，解得bc＝，（10分）
所以S△ABC＝bcsinA＝×
＝.（12分）
18.【名师指导】本题考查独立性检验．
（Ⅰ）K2＝≈8.104>
6.635.（2分）
所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学生使用手机的时间长短与性别有关．（4分）
（Ⅱ）X可取0，1，2，3.（5分）
P（X＝0）＝＝，（6分）
P（X＝1）＝＝，（7分）
P（X＝2）＝＝，（8分）
P（X＝3）＝＝，（9分）
所以X的分布列为
X
P
（10分）
E（X）＝0×
＋1×
＋2×
＋3×
＝1.（12分）
19.【名师指导】本题考查直线与平面垂直的判定和二面角的求法．
（Ⅰ）证明MN⊥平面PAC，从而证得MN⊥PC；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，分别求出平面MNC与平面APMB的法向量，利用空间向量夹角公式求解．
（Ⅰ）证明：
作ME∥PA交AB于E，NF∥PA交AD于F，连接EF，BD，AC.
由PM∥AB，PN∥AD，易得ME綊NF，
所以四边形MEFN是平行四边形，
所以MN∥EF，（2分）
因为底面ABCD是菱形，
所以AC⊥BD，又易得EF∥BD，所以AC⊥EF，所以AC⊥MN，（3分）
因为PA⊥平面ABCD，EF
平面ABCD，
所以PA⊥EF，所以PA⊥MN，因为AC∩PA＝A，（4分）
所以MN⊥平面PAC，故MN⊥PC.（5分）
（Ⅱ）建立空间直角坐标系如图所示，
则C（0，1，0），M，N，A（0，－1，0），P（0，－1，2），B（，0，0），
所以＝，＝，＝（0，0，2），＝（，1，0），
（7分）
设平面MNC的法向量为m＝（x，y，z），则
令z＝1，得x＝0，y＝，
所以m＝；
（9分）
设平面APMB的法向量为n＝（x1，y1，z1），则
令x1＝1，得y1＝－，z1＝0，
所以n＝（1，－，0），（10分）
设平面MNC与平面APMB所成锐二面角为α，
则cosα＝＝＝，（11分）
所以平面MNC与平面APMB所成锐二面角的余弦值为.（12分）
20.【名师指导】本题考查椭圆的方程、性质、直线与椭圆位置关系的综合问题．
（Ⅰ）因为抛物线y2＝4x的焦点为（，0），所以椭圆C的半焦距c＝，即a2－b2＝3. ①
把点Q代入＋＝1，得＋＝1. ②
由①②解得a2＝4，b2＝1.所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.（4分）
（Ⅱ）设直线l的方程为x＝ty＋1，代入＋y2＝1，
得（t2＋4）y2＋2ty－3＝0.（5分）
设M（x1，y1），N（x2，y2），则有y1＋y2＝－，y1y2＝－.（7分）
则|y1－y2|＝＝＝＝＝.（9分）
令＝m（m≥）．
易知函数y＝m＋在[，＋∞）上单调递增，
则＋≥＋＝，
当且仅当m＝，即t＝0时，取等号．（10分）
所以|y1－y2|≤.
所以△AMN的面积S＝|AP||y1－y2|≤×
3×
＝，（11分）
所以Smax＝，此时直线l的方程为x＝1.（12分）
21.【名师指导】本题考查导数的综合应用．
（Ⅰ）f′（x）＝2ex＋6x－2，
因为f′（0）＝a，所以a＝0，
易得切点（0，2），所以b＝－1.（1分）
易知函数f′（x）在R上单调递增，且f′（0）＝0.
则当x<
0时，f′（x）＜0；
当x＞0时，f′（x）＞0.
所以函数f（x）的单调递减区间为（－∞，0）；
单调递增区间为（0，＋∞）．（2分）
所以函数f（x）在x＝0处取得极小值f（0）＝2.（3分）
（Ⅱ）f（x）－2x2－3x－2－2k≤0
ex＋x2－x－1－k≤0
k≥ex＋x2－x－1， （*）（4分）
令h（x）＝ex＋x2－x－1，
若存在实数x，使得不等式（*）成立，则k≥h（x）min，
h′（x）＝ex＋x－，易知h′（x）在R上单调递增，（6分）
又h′（0）＝－<
0，h′
（1）＝e－>
0，h′＝e－2<
0，h′＝e－>
2.56－＝1.6－＝－>
2－＝>
0，
所以存在唯一的x0∈，使得h′（x0）＝0，（8分）
且当x∈（－∞，x0）时，h′（x）<
0；
当x∈（x0，＋∞）时，h′（x）>
0.
所以h（x）在（－∞，x0）上单调递减，在（x0，＋∞）上单调递增，（9分）
h（x）min＝h（x0）＝ex0＋x20－x0－1，
又h′（x0）＝0，即ex0＋x0－＝0，
所以ex0＝－x0.
因为x0∈，
所以h（x0）∈，
则k≥h（x0），又k∈Z.
所以k的最小值为0.（12分）
22.【名师指导】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化、直线与圆的位置关系．
（Ⅰ）运用同角三角函数的平方关系即可得到C的普通方程，运用x＝ρcosθ，y＝ρsinθ以及两角和的余弦公式，化简可得直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）写出直线l的参数方程，代入曲线C的普通方程，利用参数的几何意义即可得出|PA|·
|PB|的值．
（Ⅰ）由曲线C的参数方程（α为参数）
（α为参数），
两式平方相加，得曲线C的普通方程为（x－1）2＋y2＝4；
（3分）
由直线l的极坐标方程可得ρcosθcos－ρsinθsin＝
ρcosθ－ρsinθ＝2，（4分）
即直线l的直角坐标方程为x－y－2＝0.（5分）
（Ⅱ）由题意可得P（2，0），则直线l的参数方程为（t为参数）．（6分）
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则|PA|·
|PB|＝|t1|·
|t2|，
将（t为参数）代入（x－1）2＋y2＝4，
得t2＋t－3＝0，（8分）
则Δ>
0，由韦达定理可得t1·
t2＝－3，（9分）
所以|PA|·
|PB|＝|－3|＝3.（10分）
23.【名师指导】本题考查函数的最值与绝对值不等式的解法．
（Ⅰ）利用绝对值三角不等式即可求解；
（Ⅱ）分段解不等式或画出函数的图象，找出函数的图象与直线y＝8的交点的横坐标即可求解．
（Ⅰ）因为f（x）＝|2x－1|＋2|x＋2|≥|（2x－1）－2（x＋2）|＝5，（4分）
所以函数f（x）的最小值是5.（5分）
（Ⅱ）解法一：
f（x）＝（6分）
当x<
－2时，由－4x－3<
8，解得x>
－，即－<
x<
－2；
当－2≤x≤时，5<
8恒成立，即－2≤x≤；
当x>
时，由4x＋3<
8，解得x<
，即<
，（9分）
所以原不等式的解集为.（10分）
解法二（图象法）：
函数f（x）的图象如图所示，
（8分）
令f（x）＝8，解得x＝－或x＝，（9分）
所以不等式f（x）<
8的解集为.（10分）
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