胡元明开放式基金投资最优决策文档格式.docx
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请帮该公司解决以下问题：
（1）就表1提供的数据，应该投资哪些项目，使得第一年所得利润最高？
（2）在具体投资这些项目时，实际还会出现项目之间互相影响的情况。
公司咨询有关专家后，得到以下可靠信息：
同时投资项目A1，A3，它们的年利润分别是1005万元，1018.5万元；
同时投资项目A4，A5，它们的年利润分别是1045万元，1276万元；
同时投资项目A2，A6，A7，A8，它们的年利润分别是1353万元，840万元，1610万元，1350万元，该基金应如何投资？
（3）如果考虑投资风险，则应如何投资，使收益尽可能大，而风险尽可能小。
投资项目总体风险可用投资项目中最大的一个风险来衡量。
专家预测出各项目的风险率，如表2所示。
表2
风险率（%）
32
15.5
23
31
35
6.5
42
（4）开放式基金一般要保留适当的现金，降低客户无法兑现的风险。
在这种情况下，将专家的信息都考虑进来，基金该如何决策，使得尽可能降低风险，而一年后所得利润尽可能多？
（5）这个项目投资，是必须资金全部到位才有利润，还是只要第一期资金到位启动后就可以随便投资，然后利润率按第一期利润和投资之比来计算？
二、模型的建立及求解
1．模型1（线性整数规划）
（1）假设
1）不考虑其他因素，单纯追求利润最大；
2）预计利润能正确反映各项投资的利润；
3）若对某项目投资，则该项目的总投资额必须是该项目投资额的整数倍；
4）投资过程中交易费为0；
5）该基金中无“庄家”或“金融大鳄”之类恶意操纵。
（2）建模
设xi为对项目Ai的投资股数，H表示基金总额，mi表示项目Ai的投资上限，bi表示项目Ai每股的预计年利润，ci表示项目Ai每股的投资额，则一年后总投资利润
，基金总额约束：
，各项目投资额上限约束：
（i=1，2，…，8），从而建立如下模型。
s.t.
（3）求解
应用Lindo软件包，以题中所给数据为例，编程求得结果，如表3所示。
表3
投资股数（股）
5
1
4
2
33500
29000
8400
22500
总投资
149850
5695
5060
1428
9200
7875
利润率（%）
17
16
15
20
40
总利润
36841.5
从表3可以看出，基本上利润率较高的投资项目对应较强的投资势头，但有的投资项目虽然利润率较高，却未得到相应的投资势头，这说明利润率并不是影响投资的唯一因素，还有另外的因素尚未考虑到，需要继续深入讨论。
2．模型2（非线性整数规划）
考虑到专家的信息，投资项目之间相互影响，修正模型1。
1）专家的信息有较高的可信度，单纯追求利润最大。
2）满足模型1的假设2）～5）。
由于不知道是否各相互影响的项目同时投资时，利润较大，引入0－1变量
，
。
设
表示受同时投资影响时项目Ai每股的预计年利润，可建立如下模型。
其中
中的30表示A1，A3各最多投资5股，6股；
中的20表示A4，A5各最多投资4股，5股；
中的500表示A2，A6，A7，A8各最多投资4股，5股，5股，5股。
当A1，A3同时投资时，x1x3>
0，y=1；
当A1，A3不同时投资时，x1x3=0，y=0，故得A1，A3是否相互影响的约束可表示为：
同理可得其他两个是否相互影响的约束。
应用Lingo软件包，以题中所给数据为例，编程求得结果，如表4所示。
表4
投资股数
6
29100
16800
总投资额
149100
1005
6111
4180
6380
2856
21
19
22
37607
从表4可以看出，随着利润率的提高，投资势头也相应增强，利润率下降，投资势头也相应减弱，这又一次反映了利润率对投资势头的强大影响。
3．模型3（多目标规划&
非线性整数规划）
考虑到专家提供的风险损失率方面的约束，进一步修正模型2。
1）考虑专家预测出的各项目风险率，总体风险用投资项目中最大的一个风险来度量，追求利润尽可能大、风险尽可能小；
2）满足模型2的假设2）。
设qi表示项目Ai的风险率，则总体风险
，投资总利润R同模型2，从而可建立如下模型。
maxR
minQ
s.t.同模型2
利用
—法构造评价函数
，其中权系数
，R*，Q*分别为R，Q的最优值，R（0），Q（0）分别为Q，R取最优值时R，Q的取值，可以把上述双目标规划化为如下单目标规划。
不过确定权系数的常用方法是根据专家意见和经验给出。
引入变量s=Q，目标函数化为
，在满足上述约束条件的基础上，还要对s加以约束：
，i=1，2，…，8。
应用Lingo软件包，以题中所给的数据为例，编程求得结果，如表5所示，即在考虑利润和风险的基础上，均衡两者的权，得出的最佳折中方案。
表5
26400
127400
5965
4224
32054
总体风险
10720（A1的风险）
从表5可以看出，利润率和风险率对投资的影响都很大，对利润率和风险率都大的项目应谨慎投资，对风险大，利润过小的项目应少投资，甚至不投资。
但对风险较大而利润较小的项目A1投资最多，说明权系数的选择不适当。
4．模型4（多目标规划&
模型3中未考虑保留适当的现金，从开放式基金具有由投资者随时赎回的特性来理解，相比交易所挂牌上市的证券，开放式基金以其单位基金净值作为赎回标准，可以在有效规避二级市场的股价波动风险的同时保证其流动性。
对于突发性的赎回请示，基金管理人往往会通过保留一定的资金来应付。
基于此，我们在模型3的基础上追加考虑保留适当的现金，用以降低客户无法兑付的风险，进一步修正模型3。
1）考虑保留部分资金，追求利润最大、风险最小；
2）不考虑原始投资人1%的认购费率、0.5%的赎回费率；
3）考虑保留资金的存储利润；
4）满足模型3中的假设。
模型3中未考虑投资者的风险偏好，而这个因素直接涉及投资方向和势头，对模型结果的影响很大。
在实际中，对于不同风险偏好的投资者，其最佳投资方案有所不同。
为了反映实际情况，我们把投资者偏好合并分类，各自对应的权值为：
高度冒险：
WR=0.8，WQ=0.2；
比较冒险：
WR=0.6，WQ=0.4；
中性冒险：
WR=0.5，WQ=0.5；
比较保守：
WR=0.4，WQ=0.6；
高度保守：
WR=0.2，WQ=0.8。
WR，WQ在满足WR+WQ=1的条件下，具体取值可适当调整，这并不影响算法的实现。
1）风险偏好与效用函数。
投资的目的是为了将来更大的消费，即财富的增加。
不同的财富水平投资者获得的效用是不同的，同样的财富增加量对不同的投资者，其带来的效用增加也有所不同。
财富x与效用U之间的数量关系通常称为财富的效用函数，记为U（x）。
U（x）一般是增函数，即
，但对于不同的投资者其增长的形态不同。
以下是三种典型效用函数形态。
风险回避型这种人对财富的增加不很敏感，或财富增加的边际效用是递减的，通常不愿意为增加财富而冒大风险，如图1所示。
风险中性型这种人对财富增加的态度始终是相同的，边际效用是一常数，如图2所示。
风险偏爱型这种人对财富具有强烈的渴望，越富越想富，财富增加的边际效用是递增的，因而愿意为增加财富而承担较大的风险，如图3所示。
图1图2图3
以上三种基本形态均可用下列二次效用函数表示：
虽然实际的效用函数有可能不是二次的，但二次效用函数具有更好的概率特性。
2）投资心理曲线。
一般来说，人们的心理变化是一个模糊的概念，在此，对一个投资方案的看法（即对投资者的吸引力）的变化就是一个典型的模糊概念。
通过查找心理学的相关资料，我们定义投资者的心理曲线为
，其中
表示投资者平均收入的相关因子，称为实力因子，一般为常数。
实力因子是反映不同投资者的平均收入和消费水平的标准。
确定一个投资方案应该尽力考虑所有不同投资者的实力因子，而在我国不同地区的收入和消费水平是不同的，因此不同地区的实力因子也不尽相同，要统一来评估这些方案的合理性，就应该对同一实力因子进行研究。
为此我们以中等地区的收入水平为例，根据相关网站的统计数据，不妨取人均年收入为1.5万元，按我国的现行制度，平均工作年限为35年，则人均收入为52.5万元。
取
=0.5（即吸引力的中位数），则
≈6.30589。
3）保留现金比例。
设保留现金比例为g，不同投资者所占人群比例为
，又得知他们的风险偏好不同，主观风险权系数为WQi，i=1，2，3，4，5，则
根据投资心理曲线，参照风险偏好和效用函数，并根据网上调查，得知投资者基本上划分为5种类型，通过代入模型计算，得到相关信息如表6所示。
表6
风险偏好
高度冒险
比较冒险
中度冒险
比较保守
高度保守
所占人群比例（%）
8.5
24.5
33
26.5
7.5
风险权系数归一化
0.08
0.16
0.20
0.24
0.32
保留现金比例（%）
19.96
保留的资金存入银行比闲置更有利，这笔资金是用来应对突发性的赎回请求的，随时都可能用到它，因此采用活期存款的方式，存款年利润按0.72%计。
将此代入模型3，并把基金总额约束修正为：
，得模型4。
应用Lingo软件包，以题中所给数据为例，编程求得结果，如表7所示。
表7
117800
保留资金
29940
存款利润
215.568
30901.568
10720
以上是在假设这一年中未发生突发性的赎回请求，保留资金未被动用的情况下的总利润。
考虑到最不好的情况，即保留资金还未存入银行就被动用，无存款利润可言。
综上所述，我们认为用于保留的资金为29940万元比较合适，总利润应该在（30686，30901.568）范围内。
5．模型5（非线性整数规划）
1）不考虑风险因素，单纯追求利润最大；
2）投资额是连续的；
3）第一期资金到位启动后就可以随便投资，然后利润率按第一期利润和投资之比来计算。
设xi为对项目Ai的投资金额，i=1，2，…，8。
考虑到假设2）、3），项目之间有无影响时的利润率分别为
引入0－1变量
，i=1，2，…，8，则Ai的投资金额的上下限约束为：
，可建立如下模型。
中的102×
107表示A1，A3各最多投资34000万元，30000万元。
当A1，A3同时投资时，
；
当A1，A3不同时投资时，
应用Lingo软件包，以题中所给数据为例，编程求得结果，如表8所示。
表8
投资金额
150000
4050
6300
3910
10000
8050
37370
从表8可以看出，这种投资方案将资金全部抛出，未留“适当”现金，不符合开放式基金的特点，欠妥。
比较模型5和模型2的结果，可知模型5的方案中总投资额、总利润与利润率分别为150000万元、37370万元、24.9%，而模型2的方案中总投资额、总利润与利润率分别为149100万元、37607万元、25.2%，显然模型2的投资方案比模型5的更好。
这说明在投资时，只有投资以单位投资额的整数倍投入，利润才会以相应倍数增大。
如果投资不是以单位投资额的整数倍投入，利润的增长则明显滞后，利润率明显偏低，是不合算的方案。
同时模型2的方案中留下了一部分资金备用，符合开放式基金客户投资、撤资自由的特点，而模型5的方案中未留下任何备用资金，一旦客户要求撤资，开放式基金就有失信的风险，不利于其长久发展。
三、灵敏度分析
决策变量xi相应的影子价格称为缩减成本RCi，i=1，2，…，8，RCi的值表示当xi增加一个单位（其他变量保持不变）时，目标函数增加的量，如表9所示。
表9
股份
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
模型1
RCi
模型2
1018.5
1276
模型3
1930
224.44
246.54
391.1
334.7
模型4
151.7
从表9可以发现，x1的变化对各目标函数最优值的影响最大，x7次之。
四、模型的进一步分析
实际上，投资的收益和风险都是随机的，考虑如下问题。
某投资公司经理欲将50万元基金用于股票投资，股票的收益是随机的。
经过慎重考虑，他从所有上市交易的股票中选择了3种股票作为候选的投资对象，从统计数据的分析得到：
股票A每股的年期望收益为5元，标准差（均方差）为2元；
股票B每股的年期望收益为8元，标准差为6元；
股票C每股的年期望收益为10元，标准差也为10元；
股票A，B收益的相关系数为5/24，股票A，C收益的相关系数为-0.5，股票B，C收益的相关系数为-0.25。
目前股票A，B，C的市价分别为20元，25元，30元。
（1）如果该投资人期望今年得到至少20%的投资回报，应如何投资可使风险最小（这里用收益的方差或标准差衡量风险）？
（2）投资回报率与风险的关系如何？
1．建模
设x1，x2，x3分别表示投资股票A，B，C的数量。
国内股票通常以“一手”（100股）为最小单位出售，故此处设股票数量以100股为单位。
相应地，期望收益和标准差以百元为单位。
记股票A，B，C每手的收益分别为s1，s2，s3（百元），根据题意，si（i=1，2，3）是随机变量，投资的总收益
也是随机变量。
用E和D分别表示随机变量的数学期望和方差（标准差的平方），r和cov表示两个随机变量的相关系数和协方差，则
=5，
=8，
=10，
=4，
=36，
=100，
=5/24，
=-0.5，
=-0.25，
故投资的总期望收益为
，投资总收益的方差为
实际上投资者可能面临许多约束条件，如是否需要将资金全部用来购买股票，没有购买股票的资金是否可以存入银行或做其他投资。
此处假设不一定需要将资金全部用来购买股票，没有购买股票的资金也闲置不用，而只考虑可用于投资的资金总额的限制，即
问题
（1）的模型为二次规划：
minz2
s.t.
问题
（2）的模型为：
min
为风险偏好系数，
当
=0时，表明投资者是完全的冒险型，不考虑风险；
充分大时，表明投资者是保守型的，希望规避风险。
取不同的
求解，即可大致看出投资回报率与风险的关系。
2．求解
利用Lingo软件包，编程求得问题
（1）的结果：
股票A，B，C各购买132，15，22（手），投资额为3675（百元），总期望收益为1000（百元），风险（方差）为68116，标准差为261（百元）。
对问题
（2），通过试探发现
从0.0001～0.1以0.0001的步长变化可以得到很好的近似结果，图4给出了对应的总期望收益与风险（标准差）之间的关系。
图4（单位：
百元）
由于每1元投资于股票C的预期收益最大，因此50万元可能的最大预期收益为16.6667万元。
从图4可以看出，当预期收益在0～14万元左右增加时，风险基本上线性增加；
若预期收益超过14万元，则风险迅速增加。
因此可见，对于那些对收益和风险没有特殊偏好的投资者来说，转折点处的投资组合方案比较理想，经过对计算结果（数据输出）的检查可得，这个方案大致是股票A，B，C各购买153，35，35（手）。
五、模型的评价
1．模型的优点
（1）采用较为成熟的数学理论建立模型，可信度比较高。
（2）模型的计算采用专业数学软件，可信度较高，便于推广。
（3）模型经多次修正，综合考虑到了风险偏好等方面，给出的最优决策对于有关部门有较大的参考价值。
2．模型的缺点
（1）模型虽然综合考虑了很多因素，但为了建立模型，理想化了许多影响因素，具有一定的局限性，得到的最优方案可能与实际有一定的出入。
（2）模型5只考虑了利润最大，没有考虑风险最小，模型结果与实际有一定差距。
六、模型的推广
1．模型建立思想还可以进一步解决彩票投注、企业投资、车辆调度、运输费用等方面的规划问题。
2．问题（3）的模型还可以考虑用“理想点法”、“
法”、“极大极小法”等求解多目标规划问题，然后对各种方法得到的投资方案进行比较，优选出更合理的方案。
3．模型应该进一步考虑随便投资（利润按利润率求解）的问题，求解该情况下的最优解，以及考虑多阶段投资等问题。
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