北师大版八年级数学下册 双减分层作业设计案例 样例 第一章 三角形的证明 第二节 直角三角形Word下载.docx

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角，如图所示，这棵树在折断前的高度是（　　）

A．5m

B．10m

C．15m

D．20m

设计意图：

通过求实际问题线段长度，巩固30°

直角三角形三边关系．

题源：

新编

答案：

C

30°

直角三角形三边关系

逻辑推理能力B1

L1

U

容易

2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）

A．a＝3，b＝4，c＝5

B．a＝b，∠C＝45°

C．∠A：

∠B：

∠C＝1：

2：

3

D．a＝

，b＝

，c＝2

通过判断构成直角三角形，巩固直角三角形的判定定理．

直角三角形判定定理

直观想象能力、逻辑推理能力B1

3．下列语句：

①“等腰三角形两底角相等”的逆命题是真命题；

②有两条边相等的两个直角三角形全等是假命题；

③三角形的任一外角等于两个内角的和；

④等腰三角形的两腰上的中线相等是真命题．其中正确的个数为（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

通过命题判断，巩固真、假命题，逆命题概念

B

真、假命题概念、三角形性质

M

L2

中等

4．一块直角三角板放在两平行直线上，如图2，∠1+∠2＝　　度．

通过解决平行线与三角板构成的图形的角度关系问题，巩固直角三角形的锐角和90°

.

90°

直角三角形锐角和90°

、对顶角相等

5．如图3，已知钓鱼竿AC的长为10m，露在水面上的鱼线BC长为6m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'

的位置，此时露在水面上的鱼线B'

C'

为8m，则BB'

的长为_______m．

通过斜边不变条件下求实际问题中线段长度，巩固勾股定理的应用.

2

勾股定理

数学运算、逻辑推理能力B1

6．如图4，一块铁皮（图中阴影部分），测得AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°

．求阴影部分的面积．

通过求不规则的阴影部分图形面积，巩固勾股定理及其逆定理

详见参考答案

勾股定理、勾股逆定理、三角形面积公式

逻辑推理、数学运算能力B2

7．如图5，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的高BH，CM交于点P．

（1）求证：

PB＝PC．

（2）若PB＝5，PH＝3，求AB．

通过证明线段相等、求线段长度，巩固等腰三角形的判定定理、勾股定理

勾股定理、等腰三角形的判定定理

逻辑推理能力、数学运算能力B2

拓展性作业

（选做）

1．如图6，在Rt△ABC中，∠B＝90°

，分别以AB、AC为斜边向外作等腰直角三角形，它们的面积分别记作S1与S2，若S1＝16，S2＝25，则BC的长为______.

通过类似勾股树问题中求直角三角形的边长，巩固勾股定理、等腰直角三角形面积公式

选编

6

勾股定理、等腰直角三角形面积公式

数学直观能力、逻辑推理能力B2

2．将一副直角三角板按如图7所示的位置摆放，使点A、B、D在同一直线上，且EF∥AD，∠CAB＝∠EDF＝90°

，∠C＝45°

，∠E＝60°

，如果DE＝2

，则BD＝____．

通过求直角三角板组合形成的线段长度，巩固特殊直角三角形的性质、勾股定理的应用，培养复杂图形中的图形分析能力

特殊直角三角形三边关系、勾股定理

逻辑推理能力、数学运算能力B4

E

3．

（1）（操作发现）如图8-1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．请按要求画图：

将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°

，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′，则∠AB′B＝　　．

（2）（问题解决）如图8-2，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝

，PC＝1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长；

通过图形的旋转条件下求角度、线段长，巩固直角三角形、等边三角形性质，培养利用基本图形解决复杂图形问题的方法．

见参考答案

勾股定理、等边三角形的性质

逻辑推理能力、直观想象能力、数学建模能力B3

L3

较难

第2课时

1．如图1，已知∠C＝∠D＝90°

，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（　　）

A．∠ABC＝∠ABD

B．∠BAC＝∠BAD

C．AC＝AD

D．AC＝BC

通过在直角三角形寻找全等的条件，巩固直角三角形全等的判定定理

直角三角形全等的判定

2．如图2，用纸板挡住部分直角三角形后，也能画出与此直角三角形全等的三角形，其判断三角形全等的依据是（　　）

A．ASA

B．AAS

C．SAS

D．HL

通过发现直角三角形全等依据，巩固直角三角形的判定定理．

A

直角三角形的判定定理.

几何直观能力、逻辑推理能力B1

3．如图3，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），B（2，0），点C从点O出发，在第一象限沿射线y＝

x运动，当△ABC是直角三角形时，点C的坐标为　　．

通过在坐标平面内求直角三角形顶点的坐标，巩固直角三角形的判定.

或者

直角三角形的判定

数学运算能力、逻辑推理能力B2

4．如图4，折叠长方形纸片ABCD，使点D落在边BC上的点F处，折痕为AE．已知AB＝6cm，BC＝10cm．则EC的长

为　　cm．

通过求折叠问题中线段长度，巩固勾股定理

勾股定理、解方程

5．如图5，在△ABC中∠ACB＝45°

，AD⊥BC于点D，

（1）请用以D为圆心，BD长为半径画弧，交线段AD于点E，连接CE，并求证：

△ABD≌△CED；

（2）在

（1）条件下，若CE是∠ACD的角平分线，求∠BAC的度数

通过在基本作图中寻找已知条件，证明三角形全等、求角度数，巩固三角形全等判定定理、等腰直角三角形性质

基本作图、三角形全等判定定理、等腰直角三角形性质

数学实际操作能力、空间想象力、数学推理论证能力B2

6．如图6，∠A＝∠B＝90°

，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2．

△ADE≌△BEC；

（2）请写出线段CD与AD、BC之间的数量关系，并说明理由．

通过证明直角三角形全等、求线段数量关系，巩固直角三角形全等判定（HL）、等腰直角三角形性质

改编

直角三角形全等判定定理、等腰直角三角形性质

数学直观、数学推理论证能力B2

1．如图7，△ABC中，点D为BC的中点，AB＝13，AC＝5，AD＝6，则△ABC的面积是　　．

通过添加辅助线（倍长中线），求三角形面积，巩固勾股定理的逆定理、三角形全等的判定、三角形面积公式.

30

构造倍长中线辅助线、勾股定理的逆定理、三角形全等判定定理

逻辑推理能力B3

R

2．如图8，在△ABC中，∠C＝90°

，AC＝BC＝3，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持∠EDF＝90°

，连接DE、DF、EF．经探索发现，四边形CEDF面积在点E、F运动过程中保持不变，其值为_____．

通过在定角旋转中求动图形面积，巩固等腰直角三角形添加辅助线（底边中线）方法、三角形全等判定、割补法求不规则图形面积

等腰三角形的性质、三角形全等判定、割补法求不规则图形面积

空间想象能力、逻辑推理能力B4

3．

（1）如图8-1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°

，∠A＝60°

，CD平分∠ACB．

求证：

CA+AD＝BC．

小明为解决上面的问题作了如下思考：

作△ADC关于直线CD的对称图形△A′DC，

∵CD平分∠ACB，∴A′点落在CB上，且CA′＝CA，A′D＝AD．因此，要证的问题转化为只要证A′D＝A′B．请根据小明的思考写出该问题完整的证明过程．

（2）参照

（1）中小明的思考方法，解答下列问题：

如图8-2，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC＝CD＝10，AC＝17，AD＝9，求AB的长．

以阅读理解问题为背景，通过完善材料解答过程、迁移材料的方法解决新问题，巩固直角三角形的性质、角平分线的性质、等腰三角形三线合一的性质、勾股定理

培养学生类比的数学思想和建模的能力.

直角三角形性质、角平分线性质、等腰三角形三线合一性质、勾股定理

数学创新、逻辑推理能力、数学运算能力B4