新高三暑期作业高考复习方法策略17讲第9讲 平面向量运算是灵魂含答案解析Word格式文档下载.docx

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向量的线性运算是向量转化的工具，通过三角形法则、向量共线基本定理，将向量逐步转化为指定向量．

例2　已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°

，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为________．

1．最值问题是运动变化中的特定状态，基本的解决方法就是通过影响运动变化的量建立其目标函数，转化为函数最值问题．由于向量的坐标运算使向量实数化，向量问题就可以转化为代数问题．

2．平面向量中的最值问题的求解通常有两种思路，一是利用坐标运算，转化为函数问题．二是利用图形，从图象中发现影响最值的变化向量．在方法二中，将、这两个变化向量逐步转化为单一的变化向量，从而容易看出取得最值的状态．

例3　一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3（单位：

牛顿）的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°

角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为（　　）

A．6B．2

C．2D．2

向量的数量积运算使向量实数化，也有鲜明的几何背景，利用性质|a|＝，cosθ＝，|a·

b|≤|a||b|，可以求解线段的长度，角的大小等几何问题及某些不等式问题．

总结感悟

1．向量的线性运算是转化向量的工具，利用有向线段所处的三角形，所处的线段，通过三角形法则、向量共线基本定理，将向量逐步转化为指定向量．

2．数量积运算使向量实数化，可以求解向量的模、夹角、投影．因此，数量积也有鲜明的几何背景，通过数量积运算，可以求解线段的长度，角的大小等几何问题，以及某些不等式问题．

3．坐标法是重要的数学方法，合理建立平面直角坐标系，构造向量坐标，就可以利用向量的坐标运算解决问题．

A级

1．给出下列命题：

①零向量的长度为零，方向是任意的；

②若a，b都是单位向量，则a＝b；

③向量与相等．则所有正确命题的序号是（　　）

A．①B．③

C．①③D．①②

2．已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为a，b，c，则向量等于（　　）

A．a＋b＋cB．a－b＋c

C．a＋b－cD．a－b－c

3．已知向量a＝（1，m），b＝（m，2），若a∥b，则实数m等于（　　）

A．－B.

C．－或D．0

4．已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是（　　）

A．a∥bB．a⊥b

C．|a|＝|b|D．a＋b＝a－b

5．（2016·

全国Ⅱ）已知向量a＝（1，m），b＝（3，－2），且（a＋b）⊥b，则m＝（　　）

A．－8B．－6C．6D．8

6．（2016·

全国Ⅰ）设向量a＝（m，1），b＝（1，2），且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________．

B级

7．在四边形ABCD中，＝（1，2），＝（－4，2），则该四边形的面积为（　　）

A.B．2

C．5D．10

8．已知a、b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，则a与b的夹角为（　　）

A．30°

B．45°

C．60°

D．120°

9．在平面直角坐标系中，点O（0，0），P（6，8），将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量，则点Q的坐标是（　　）

A．（－7，－）B．（－7，）

C．（－4，－2）D．（－4，2）

10.如图，经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设＝m，＝n，m，n∈R，则＋的值为________．

11．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·

的值为________.·

的最大值为________．

12．在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，且c>

b>

a，若向量m＝（a－b，1）和n＝（b－c，1）平行，且sinB＝，当△ABC的面积为时，则b＝________．

13.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的上运动．若＝x＋y，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．

复习指导

【温故知新】　解　从向量的几何意义出发，向量a＋kb、a－kb是以a、kb为邻边的平行四边形的对角线，若向量a＋kb与a－kb互相垂直，则平行四边形为菱形，所以|a|＝|kb|，于是k＝±

.

题型分析

例1　解　如图，＝＋

＝＋＝＋（－）＝－＋，

则λ1＝－，λ2＝，λ1＋λ2＝.

例2　5

解析　方法一　以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝x.

∴D（0，0），A（2，0），C（0，a），B（1，a），P（0，x），

＝（2，－x），＝（1，a－x），

∴＋3＝（5，3a－4x），

|＋3|2＝25＋（3a－4x）2≥25，

∴|＋3|的最小值为5.

方法二　设＝x（0<

x<

1），

∴＝（1－x），

＝－＝－x，

＝＋＝（1－x）＋，

∴＋3＝＋（3－4x），

|＋3|2

＝2＋2×

×

（3－4x）·

＋（3－4x）2·

2

＝25＋（3－4x）22≥25，

例3　D　[由题意，得F1＋F2＋F3＝0，则F3＝－F1－F2，

所以（F3）2＝（－F1－F2）2＝（F1＋F2）2＝F＋2F1·

F2＋F＝|F1|2＋2|F1|·

|F2|·

cos＜F1，F2＞＋|F2|2

＝22＋2×

2×

4×

cos60°

＋42＝28，

故|F3|＝2.]

线下作业

1．A　[根据零向量的定义可知①正确；

根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；

向量与互为相反向量，故③错误．]

2．B　[＝＋＝c＋＝c＋－＝a－b＋c.]

3．C　[由a∥b，得1×

2－m2＝0，∴m2＝2，即m＝±

.]

4．B　[本小题主要考查向量的数量积以及性质．解题的突破口为对于模的理解，向量的模平方就等于向量的平方．

因为|a＋b|＝|a－b|⇔（a＋b）2＝（a－b）2⇔a·

b＝0，

所以a⊥b，答案选B.]

5．B　[由题知a＋b＝（4，m－2），因为（a＋b）⊥b，所以（a＋b）·

即4×

3＋（－2）×

（m－2）＝0，解之得m＝8，故选D.]

6．－2

解析　由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，得a⊥b，所以m×

1＋1×

2＝0，得m＝－2.

7．C　[因为·

＝0，∴AC⊥BD.

∴四边形ABCD的面积S＝||||＝×

2＝5.]

8．C　[由（a＋3b）·

（7a－5b）＝0⇒7a2＋16a·

b－15b2＝0，①

（a－4b）·

（7a－2b）＝0⇒7a2－30a·

b＋8b2＝0，②

两式相减：

2a·

b＝b2，代入①和②得：

a2＝b2.设a、b的夹角为θ，则cosθ＝＝，又因为0°

≤θ≤180°

，所以θ＝60°

9．A　[设∠POx＝α，因为P（6，8），所以＝（10cosα，10sinα）⇒cosα＝，sinα＝，则＝（10cos（α＋），10sin（α＋））＝（－7，－）．

故答案为A.]

10．3

解析　设＝a，＝b，由题意知＝×

（＋）＝（a＋b），＝－＝nb－ma，＝－＝a＋b，由P，G，Q三点共线得，存在实数λ，使得＝λ，即nb－ma＝λa＋λb，

从而消去λ得＋＝3.

11．1　1

解析　本题考查平面向量的数量积，平面向量的投影等基础知识．

方法一　投影法：

设向量，的夹角为θ，则·

＝·

＝||·

||cosθ，由图可知，||cosθ＝||，所以原式等于||2＝1，要使·

最大，只要使向量在向量上的投影达到最大即可，因为在向量上的投影达到最大为||＝1，所以（·

）max＝||2＝1；

方法二　因为＝＋且⊥，所以·

＝（＋）·

＝||2＝1，·

＝||||＝||，所以要使·

最大，只要||最大即可，明显随着E点在AB边上移动||max＝1，故（·

）max＝1.

方法三　以D为坐标原点，与所在直线分别为x，y轴

建立平面直角坐标系，

如图所示，可知E（x，1），0≤x≤1，

所以＝（x，1），＝（0，1），可得·

＝x×

0＋1×

1＝1.

因为＝（1，0），所以·

＝x，因为1≥x≥0，所以（·

12．2

解析　由向量m＝（a－b，1）和n＝（b－c，1）平行知a＋c＝2b，①

由acsinB＝⇒ac＝，②

由c>

a知B为锐角，则cosB＝，

即＝，③

联立①②③得b＝2.

13．解　以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，

则A（1，0），B（－，）．

设∠AOC＝α（α∈[0，]），则C（cosα，sinα），

由＝x＋y，得

所以x＝cosα＋sinα，y＝sinα，

所以x＋y＝cosα＋sinα＝2sin（α＋），

又α∈[0，]，

所以当α＝时，x＋y取得最大值2.