学年最新高中数学人教B版必修一33《幂函数》同步检测.docx

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学年最新高中数学人教B版必修一33《幂函数》同步检测

第三章　3.3幂函数　　

一、选择题

1．下列命题中正确的是（　　）

A．幂函数的图象不经过点（－1,1）

B．幂函数的图象都经过点（0,0）和点（1,1）

C．若幂函数f（x）＝xa是奇函数，则f（x）是定义域上的增函数

D．幂函数的图象不可能出现在第四象限

[答案]　D

[解析]幂函数y＝x2经过点（－1,1），排除A；幂函数y＝x－1不经过点（0,0），排除B；幂函数y＝x－1是奇函数，但它在定义域上不具有单调性，排除C，故选D．

2．函数y＝（k2－k－5）x2是幂函数，则实数k的值是（　　）

A．k＝3　　　　　　　B．k＝－2

C．k＝3或k＝－2D．k≠3且k≠－2

[答案]　C

[解析]　由幂函数的定义知k2－k－5＝1，即k2－k－6＝0，解得k＝3或k＝－2.

3．（2014～2015学年度江西鹰潭一中高一上学期月考）已知幂函数f（x）＝kxα的图象过点，则k－α＝（　　）

A．　　　B．1　　　

C．　　　D．2

[答案]　C

[解析]　由题意得k＝1，∴f（x）＝xα，∴＝α，

∴2＝2－α，∴α＝－，∴k－α＝.

4．（2014～2015学年度安徽宿州市十三校高一上学期期中测试）已知幂函数y＝（m2－5m－5）x2m＋1在（0，＋∞）上单调递减，则实数m＝（　　）

A．1B．－1

C．6D．－1或6

[答案]　B

[解析]　由题意得，解得m＝－1.

5．函数y＝|x|的图象大致为（　　）

[答案]　C

[解析]　y＝|x|＝＝，

函数y＝|x|为偶函数，其图象关于y轴对称，排除A、B，又函数y＝|x|的图象向上凸，排除D，故选C．

6．如图曲线是幂函数y＝xn在第一象限内的图象，已知n取±2，±四个值，相应于曲线C1、C2、C3、C4的n依次为（　　）

A．－2，－，，2B．2，，－，－2

C．－，－2,2，D．2，，－2，－

[答案]　B

[解析]　根据幂函数性质，C1、C2在第一象限内为增函数，C3、C4在第一象限内为减函数，因此排除A、C．又C1曲线下凸，所以C1、C2中n分别为2、，然后取特殊值，令x＝2,2－>2－2，∴C3、C4中n分别取－、－2，故选B．

二、填空题

7．（2014～2015学年度浙江舟山中学高一上学期期中测试）已知幂函数y＝f（x）的图象过点（2,8），则f（x）＝______________.

[答案]　x3

[解析]　设f（x）＝xα，∴8＝2α，∴α＝3.∴f（x）＝x3.

8．若函数f（x）＝（2m＋3）xm2－3是幂函数，则m的值为________．

[答案]　－1

[解析]　由幂函数的定义可得，2m＋3＝1，

即m＝－1.

三、解答题

9．已知函数f（x）＝（m2＋2m）·xm2＋m－1，m为何值时，f（x）是

（1）正比例函数；

（2）反比例函数；

（3）二次函数；

（4）幂函数．

[解析]　

（1）若f（x）为正比例函数，则

，解得m＝1.

（2）若f（x）为反比例函数，则，

解得m＝－1.

（3）若f（x）为二次函数，则，

解得m＝.

（4）若f（x）为幂函数，则m2＋2m＝1，

解得m＝－1±.

10．已知函数f（x）＝，g（x）＝.

（1）证明f（x）是奇函数，并求函数f（x）的单调区间；

（2）分别计算f（4）－5f

（2）g

（2）和f（9）－5f（3）g（3）的值，由此概括出f（x）和g（x）对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明．

[解析]　

（1）∵函数f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞），

∴定义域关于原点对称．

又∵f（－x）＝

＝－＝－f（x），

∴函数f（x）为奇函数．

在（0，＋∞）上任取x1，x2，且x1

则x1

∴在（0，＋∞）上是增函数．

又∵f（x）是奇函数，

∴函数f（x）在（－∞，0）上也是增函数．

故函数f（x）的单调递增区间为（－∞，0），（0，＋∞）．

（2）f（4）－5f

（2）g

（2）＝－5××＝0；

f（9）－5f（3）g（3）＝－5××＝0.

由此可推测出一个等式f（x2）－5f（x）g（x）＝0（x≠0）．

证明如下：

f（x2）－5f（x）g（x）＝－5××

＝－＝0，

故f（x2）－5f（x）g（x）＝0成立.

一、选择题

1．下列关系中正确的是（　　）

A．（）<（）<（）B．（）<（）<（）

C．（）<（）<（）D．（）<（）<（）

[答案]　D

[解析]　∵y＝x在（0，＋∞）上是增函数，

且＜＜，∴（）＜（）＜（），

即（）＜（）＜（）.

2．如图所示为幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则（　　）

A．－1＜n＜0＜m＜1B．n＜0＜m＜1

C．－1＜n＜0，m＜1D．n＜－1，m＞1

[答案]　B

[解析]　由幂函数图象的性质知n＜0,0＜m＜1.

3．函数y＝x3与函数y＝x的图象（　　）

A．关于原点对称B．关于x轴对称

C．关于y轴对称D．关于直线y＝x对称

[答案]　D

[解析]　y＝x3与y＝x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称，故选D．

4．设函数y＝ax－2－（a>0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在幂函数y＝xα的图象上，则该幂函数的单调递减区间是（　　）

A．（－∞，0）B．（0，＋∞）

C．（－∞，0），（0，＋∞）D．（－∞，＋∞）

[答案]　C

[解析]　函数y＝ax－2－（a>0，且a≠1）的图象恒过定点A（2，），又点A（2，）在幂函数y＝xα的图象上，∴＝2α，∴α＝－1.∴幂函数y＝x－1，

其单调递减区间为（－∞，0），（0，＋∞）．

二、填空题

5．若幂函数y＝（m2－3m＋3）xm2－m－2的图象不过原点，则m是__________．

[答案]　1或2

[解析]　由题意得，

解得m＝1或m＝2.

6．如果幂函数y＝xa的图象，当0

[答案]　a<1

[解析]　分a>1，a＝1,0

三、解答题

7．已知幂函数y＝xm2－2m－3（m∈Z）的图象与x、y轴都无公共点，且关于y轴对称，求出m的值，并画出它的图象．

[解析]　由已知，得m2－2m－3≤0，∴－1≤m≤3.

又∵m∈Z，∴m＝－1,0,1,2,3.

当m＝0或m＝2时，y＝x－3为奇函数，其图象不关于y轴对称，不合题意；

当m＝－1，或m＝3时，有y＝x0，适合题意；

当m＝1时，y＝x－4，适合题意．

∴所求m的值为－1,3或1.

画出函数y＝x0及y＝x－4的图象，

函数y＝x0的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，其图象是除点（0,1）外的一条直线，故取点A（－1,1），B（1,1），过A，B作直线（除去（0,1）点）即为所求．如图①所示．

函数y＝x－4的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，列出x，y的对应值表：

x

…

－2

－1

－

－

1

2

…

y

…

1

16

81

81

16

1

…

描出各点，连线，可得此函数的图象如图②所示．

8．定义函数f（x）＝max{x2，x－2}，x∈（－∞，0）∪（0，＋∞），求f（x）的最小值．

[解析]　∵f（x）＝max{x2，x－2}，

x∈（－∞，0）∪（0，＋∞），

∴f（x）总是取x2和x－2中最大的一个值．

令x2>x－2，得x2>1，∴x>1或x<－1.

令x2≤x－2，得－1≤x≤1且x≠0，

∴f（x）＝

函数f（x）的图象如图所示：

由图可知，f（x）在x＝－1与x＝1时取最小值1.

∴函数f（x）的最小值为1.