《图形的放大与缩小教案》Word下载.docx

《图形的放大与缩小教案》Word下载.docx

《《图形的放大与缩小教案》Word下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《图形的放大与缩小教案》Word下载.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

如图，

（1）任取一个点O.

（2）以点O为端点作射线OA，OB，OC，…．

（3）分别在射线OA，OB，OC，…上取点A′，B′，C′，…，使OA′∶OA=OB′∶OB=OC′∶OC=…=2.

（4）连A′B′，B′C′，…，得多边形A′B′C′D′E′.

利用相似三角形的知识，可以证明这两个多边形相似，并且新图形与原图形的相似比为2.

在图4-9-3

（2）中，任取一个点O，不作射线OA，OB，OC，…，而作直线OA，OB，OC，…，在点O的另一侧取点A′，B′，C′，…，使OA′∶OA=OB′∶OB=OC′∶OC=…=2，也可以得到放大2倍的多边形.

试一试，用这里介绍的位似变换方法把一个图形缩为原图形的一半（即新图形与原图形的相似比为1：

2）.

［技巧·

解悟］

考查位似图形的性质

［例1］如图4-9-4，已知多边形ABCDE，作一个新图形A′B′C′D′，使新图形A′B′C′D′E′与原图形ABCDE的对应线段的比均为l∶2.

解析因为新图形与原图形的相似比为1∶2，所以应把原图形缩小一半，其关键在于选定位似中心的位置，除在图形外以外，位似中心可在图形ABCDE内，也可在AB边上，也可在顶点处，然后根据射线测量原理画出多边形A′B′C′D′E′

答案图4-9-4

（1）的画法如下：

（1）在多边形ABCDE内任取一点O；

（2）连OA、OB、OC、OD，OE；

（3）在射线OA、OB、OC、OD、OE上取点A′、B′、C′、D′、E′，使OA′=

（4）连A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′A′，则所得多边形即为所求图形.

经分析知图

（2）的位似中心（）在AB上，图（3）的位似中心就是顶点A法与图

（1）相同.

［拓展·

探究］

综合题

［例2］已知直角坐标系中，四边形ABCD的各顶点分别是A（1，2），B（2，4），C（4，5），D（3，1）.作出四边形ABCD的位似图形，使得新图形与原图形对应边长的比为2：

l，位似中心是坐标原点.

解析要使新图形与原图形的对应边长的比为2：

1，只要把A、B、C、D的纵横坐标都扩大2倍，然后在直角坐标系中找到A、B、C、D的对应点A′、B′、C′、D′的位置即可.

答案因为放大后的四边形A′B′C′D′与四边形ABCD的位似比为2：

1，则其对应点的坐标分别为A′（2，4）、B′（4，8）、C′（8，10）、D′（6，2）.依次连A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，则四边形A′B′C′D′即为所求图形，且O为位似中心，如图4-9-5所示.

拓展延伸：

如图4—9—6所示，将△AOB缩小后得到△COD.

（1）你能求出它们的相似比吗?

（2）三角形的顶点坐标发生了什么变化?

（1）因为A（2，4），C（1，2），

所以

所以△OAB与△OCD的相似比为

（2）三角形AOB顶点坐标的横、纵坐标都缩小为原来的一半.

应用题

［例3］某校学生到野外活动，为测量一池塘两端A、B的距离，设计了如下方案：

方案一如图4-9-7

（1）所示，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，再连接AC、BC，并分别延长AC至D，BC至E，最后测出DE的距离，则3DE即为AB的长.

方案二如图4-9-7

（2）所示，先过B点作AB的垂线BF，再BF上取C、D两点，使BC=3CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，最后测出了DE的长，则3DE即为AB的长.

（1）方案一是否可行?

，理由是

（2）方案二是否可行?

（3）方案二中作BE⊥AB，ED⊥BF的目的是；

若仅满足∠ABD＝∠BDE≠90°

，方案

（2）是否仍可行?

解析方案一实际上把△ABC的边长缩小为原来的号；

方案二的做法在于保证△ABC∽△EDC.

答案

（1）可行

（2）可行由条件易知△ABC∽EDC，得

（3）保证△ABC∽△EDC可行

经验技巧：

解答测量问题时，应看条件是否满足三角形相似.

创新题

［例4］如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个三角形也是位似三角形，它们的相似比是位似比，这个点是位似中心．利用三角形的位似可以将一个三角形缩小或放大.

（1）如图4—9—8

（1），点O是等边三角形PQR的中心，P′、Q′、R′分别是OP、OQ、OR的中点，则△P′Q′R′与△PQR是位似三角形，此时△P′Q′R′与△PQR的位似比、位似中心分别为（）.

A.2点PB.C.2、点OD.5、点O

（2）如图4-9-8

（2），用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形，阅读后证明相应问题.

画法：

①在△AOB内画等边三角形CDE，使点C在OA上，点D在OB上；

②连OE并延长，交AB于点E′，过点E′作E′C′∥EC，交OA于点C′，作E′D′∥ED，交OB于点D′；

③连C′D′，则△C′D′E′是△AOB的内接三角形.

试说明△C′D′E′是等边三角形.

解析依据位似三角形的定义及三角形的中位线等知识可使问题得以解决.

答案

（1）D

（2）因为ED∥E′D′.所以，∠CEO=∠C′E′O.

因为ED∥E′D′.

因为△CDE是等边三角形，

所以CE=ED，∠CED=60°

.

所以C′E′=E′D′，∠C′E′D′=60°

所以C′E′D′是等边三角形.

方法规律：

对于位似图形的有关问题，常用相似多边形的性质及判定加以解决.

［习题·

解疑］

随堂练习（课本第139页）

1.

（1）略.

（2）△DEF的三边是△ABC相应三边的2倍.

习题4.12（课本第140页）

1.平行.

理由：

因为△COD∽△OAB，所以∠OCD＝∠OAB，所以AB∥CD.

2.本题仅仅要求学生“尝试”说明理由.说明理由时要抓住两点：

（1）放大前后的两个图形是位似图形（本节课已指出，尽管目前无法证明）；

（2）所系橡皮筋的个数决定了放大比例（运用本节课中的有关结论说明）.

习题4.13（课本第143页）

1.如图所示.

2.都能得到与原多边形位似的多边形，而且这两个新多边形是全等图形.

［自主·

评价］

基础题

1.如图所示，如果△ABC与△DEF是位似图形，O是位似中心，且OE=BE，那么△DEF与△ABC的位似比为（）.

A.1∶1B.1∶2

C.2∶1D.1∶4

2.如图所示，已知△ADE与△ABC是位似图形，且位似比为1∶2，若△ABC的面积为12cm2，则△ADE的面积为（）.

A.2cm2B.3cm2C.4cm2D.6cm2

3.如图所示，已知△OAB与△ODC是位似图形，则下列比例式中，正确的是（）.

A.

=

B.

=

C.

=

D.

4.如果将多边形的每边都缩小为原来的，那么它的面积缩小为原来的.

5.如图是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影的示意图.已知桌面的直径为1.2m，桌面距离地面1m，灯泡距离地面3m，则地面上阴影部分的面积为.

6.在直角坐标系中，作出以A（1，2），B（3，1），C（4，4）为顶点的△ABC的位似图形△A′B′C′，使得△ABC与△A′B′C′对应边的比为1∶2，位似中心是坐标原点.

［资料·

听课思路把握法

思路就是思考问题的线索，上课时一定要理清思路，教材本身有一条思路，老师讲课有一条思路，这两条思路都反映了某种思维形式、思维规律和思维方法.理清楚这两条思路，并把自己的学习思路融入这两条思路，有助于从根本上掌握学习内容，并培养自己良好的思维品质.经常使用的思维方法有分析综合法、归纳法和演绎法，还有比较法、分类法等.经常使用的思维规律有同一律、矛盾律、排中律、对立统一、量定到质定、否定之否定等.掌握了科学的思维方法和思维规律，也就掌握了最根本的学习方法.

归纳整合

构架］

［专题·

解读］

专题一比例线段

比例线段及其性质一直是近年来中考的必考内容．对比例的性质要在牢固掌握的基础上加以灵活应用，要分清各性质的不同点及其用途.

［例1］已知三个数1、2、，请你再添上一个（只填一个）数，使它们能构成一个比例式，则这个数是.

解析这是一道开放性的试题，旨在考查发散思维能力．由于题中没有明确告知构成比例的各数的顺序，因此所添的数的位置有很大的灵活性，可能是前三个数的第四比例项，也可能不是前三个数的第四比例项，因此本题便有多种确定方法，从而产生多种不同的答案答案设所添的数为x，则

由1：

2=

：

x，求出x=

；

2=x:

，求出x=

x=

2，求出x=

故这个数为2

，

点拨：

本题只要求填一个数，因此我们在做题中不要被这种灵活性所困扰，而应避繁就简.

［例2］已知

的值.

解析本题主要考查比例的基本性质的应用.

答案解法一：

由等比性质，得

所以，

则，x=2k,y=3k,z=4k,

解法一是利用比例的有关性质求解；

解法二是利用方程的观点求解；

解法三是用“k值法”求解，这种方法对于解有关连比的问题十分方便有效，要掌握好这个内容.

专题二相似三角形的性质及判定

这部分内容是中考常考的内容．在探索图形相似的基本性质、判定条件的过程中，体验图形相似与现实世界的密切联系，体会相似与全等之间的内在联系，进一步培养从图形相似的角度分析现实问题、提出有关的数学问题并加以适当解决的意识和能力.

［例3］如图4-l所示，已知△ABC中，∠BAC＝90°

，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB延长线于F.试证明：

AB：

AC＝DF∶AF.

解析要证明AB：

AC＝DF；

AF，需证明△ABC∽△FDA，而从图形上结合条件判定是不可能的，因此要转移比例线段．由条件知AB：

AC＝BD：

AD，故转证BD∶AD＝DF∶AF，变为证明△FAD∽△FDB.这里要避免犯虚构条件，强行说明△ABC∽△FDA的错误，要学会转移比例线段.

答案因为∠BAC＝90°

，AD⊥BC，

所以∠C＝∠1，故Rt△ADB∽Rt△CAB.

所以AB∶AC=BD∶AD.

又因为E是AC中点，

所以AE＝DE＝EC，所以∠1＝∠3.

因为∠F＝∠F，所以△FDB∽△FAD.

所以BD：

AD＝FD：

FA，所以AB：

AC＝FD：

FA.

用三点定形法确定的三角形不相似时，应考虑用中间比过渡，也就是转证其他三角形相似，得到比例线段，最后通向结论.

［例4］人民公园中有一荷花池.现要测量此荷花池两端A、B两棵树间的距离（我们不能直接量得）.请你根据所学知识，以卷尺和测角仪为测量工具设计一种测量方案.

要求：

（1）画出你设计的测量平面图；

（2）简述测量方法，并写出测量的数据（长度用a,b,c,…,表示，角度用α，β，γ，…表示）；

（3）根据你测量的数据，计算A、N两棵树间的距离.

解析这是一道全开放性题目，着重考查如何借助相似角形等知识解决一类测量问题，测量设计方案并不唯一.

答案方案一：

（1）测量平面图如图4—2所示.

（2）先测量出AC＝bm，BC＝cm，再找出AC的中点D，BC的中点E，最后再测量出DE=am.

（3）根据相似三角形的判定方法：

两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似知

，所以AB=2DE=2am.

方案二：

（1）测量平面图如图4—3所示.

（2）在陆地上找到可以直接到达点A、B的一点O，在AO的延长线上取一点C，并测得OC＝OA，在BO的延长线上取一点D，并测得OD=OB，这时测出CD的长为am，则AB的长就是am.

（3）因为由测法可得OC＝OA，OD＝OB.又∠COD＝∠AOB，

所以△COD△AOB，所以CD=AB=am.

专题三感触中考

新课程标准强调数学与实际生活的联系，突出分析问题和解决问题的能力，加强了试题与社会实际和学生生活实际的联系．在中考中设置了解决实际问题的开放性和探究性问题，引导学生对创新意识和实践能力的培养．

相似形是数学中的主要内容之一，它是全等形的延拓，是研究相似比由k＝1变为k≠1的一般情形．

［例5］（2005年·

绍兴市）E、F为平行四边形ABCD的对角线DB上的三等分点，连AE并延长交DC于P，连PF并延长交AB于Q，如图4—4

（1）．

（1）在图

（2）中，画出满足上述条件的图形，试用刻度尺在图

（1）、

（2）中量得AQ、BQ的长

度，估计AQ、BQ间的关系，并填入下表.

AQ长度

BQ长度

AQ、BQ间的关系

图

（1）中

图

（2）中

由上表可猜测AQ、BQ间的关系是．

（2）上述

（1）中猜想AQ、BQ间的关系成立吗?

为什么?

（3）若将平行四边形ABCD改为梯形（AB∥CD）其他条件不变，此时

（1）中猜测AQ、BQ间的关系是否成立?

（不必说明理由）

解析先由测量数量猜测AQ与QB的关系，再利用平行四边形的性质及相似三角形的性质加以说明．

答案

（1）可根据图形实际测量．猜测：

AQ＝3QB．

（2）成立．

因为四边形ABCD为平行四边形，

所以DC∥AB.从而可得△PDF∽△QBF，所以

因为E、F为BD的三等分点，所以

同理

.所以

即AQ=3BQ.

（3）成立.

解题］

复习题（课本第144页）

A组

1．所求比值分别为1∶３、1∶３.

2．由a,b,c,d成比例，得

，即

所以a=1（cm）.

3．由矩形ABCD与矩形EADF相似得

又因为AB=2AE，故AD2=2AE2，即AD∶AE=

:

1.

所以矩形ABCD的长与宽之比为

1．

4．△ABC∽△ADE，△ABC∽△AFG，△ADE∽△AFG.

都是根据两个角对应相等的两三角形相似判断的．

5．

（1）因为△ADE∽△ABC，所以∠ADE=∠B.

又∠B＝50°

，所以∠ADE＝50°

．

（2）因为∠A＝70°

，∠ADE＝50°

，所以∠AED=180°

-70°

-50°

=60°

（3）由△ADE∽△ABC，得

所以DE=6.6（cm）.

6．

（1）△ABC∽△ADE.

因为∠A＝∠A，∠ACE=∠E=90°

，所以△ABC∽△ADE.

（2）由△ABC∽△ADE，得

即

所以DE=16（m）.

答：

古塔的高度为16m..

7．两个相似多边形对应边的比为2∶3.因为相似三角形的面积比等于相似比的平方.

8．因为DE∥BC，所以∠ADE=∠B，∠AED=∠C，

所以△ABC∽△ADE，所以

又AD=3BD,即

所以

而S△AAB＝48，所以S△ADE＝27.

9．OA·

OD=OC·

OB.

因为AC∥BD，

所以∠B=∠A，∠D=∠C.

所以△AOC∽△BOD.

所以OA·

OC=OB·

OC.

10．

（1）如图所示.

（2）相似，仍可以得到相应的结论.

B组

1．设留下的矩形的宽为xcm.

因为留下的矩形与原矩形相似，所以

，则x=

所以留下的矩形的面积为

=27（cm2）.

2．C

由AC2=AD·

AB，得

，因此只要保证夹角相等即可.

又∠A是公共角，所以△ACD∽△ABC.

所以满足AC2=AD·

AB时，△ACD∽△ABC.

3．

（1）由相似得

解得x=3.故两路灯间距为2x+12=2×

3+12=18（cm）.

（2）设此时的影长为ym.由相似得

解得y=3.6.故他在路灯A下的影长为3.6m.

4．结论正确，若改变点C的位置，仍可以得到相应的结论.

C组

1．解法一：

作EG∥AB，交DF于点G，沿EG将△DEG截去即可.

解法二：

在EF上任取一点P，过点P作PQ∥AB，交DF于点Q，沿PQ将图示截开，△PQF与△ABC相似.

2．设树高为xm.

根据题意得

.解得x=4.2.故树高为4.2m.