离散型随机变量的均值与方差Word文档下载推荐.docx
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9
0.5
0.1
b
?
'
已知随机变量E的分布列为
3
1
2
x
y
⑥'
某运动员投篮命中率为0.6,他重复投篮5次,若他命中一次得10分,没命中不得分;
命中次数为X,得分
为Y,则E(X),D(Y)分别为()
A.0.6,60B.3,12
C.3,120D.3,1.2
解:
X〜B(5,0.6),Y=10X,所以E(X)=5x0.6=3,D(X)=5X0.6x0.4=1.2,D(Y)=100D(X)=120.故选C.
◎(2017全国卷n)—批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表
示抽到的二等品件数,贝UDX=.
有放回的抽取,是一个二项分布模型,其中p=0.02,n=100,贝UDX=np(1—p)=100x0.02x0.98=1.96.
故填1.96.
題:
随机变量3的取值为0,1,2,若P(3=0)=£
E(3=1,则D(3=
设P(3=1)=p,则3的分布列如下:
5—p
由E(3=1,得P+24
、321232122
P=1,可得P=5,所以D(3=(0—1)2x5+(1—1)2x-+(2—1)2x£
=5.故填;
.
类型一摸球模型、抽签模型
GE1一口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球,每次从袋中任意摸出一个球.
(1)采取有放回抽样方式,从中摸出两个球,求两球恰好颜色不同的概率;
(2)采取不放回抽样方式,从中摸出两个球,求摸得白球的个数的均值和方差.
(1)“有放回摸取”可看作独立重复试验,每次摸出一球是白球的概率为P=2=1
63
记"
有放回摸两次,颜色不同”为事件A,其概率为P(A)=即⑵设摸得白球的个数为X,则X的取值为0,1,2,
4、/32八4\/2[2、/48
P(X=0)=X—=—,P(X=1)=X—|—X=—,P(X0655656515
11
P(X=2)=6X5=厉
所以X的分布列为
8
15
2812
E(x)=0X2+1X185+2X15=2
222
D(X)=0-2X2+1-3x茅2-2XA
16
45.
【点拨】求离散型随机变量的分布列的关键在于确定随机变量及其概率.就本题而言,弄清“放回”与“不放
回”在概率计算上的区别是正确解题的关键•均值与方差直接套用公式计算即可.
Q3ZD—厂家向用户提供的一箱产品共10件,其中有2件次品,用户先对产品进行抽检以决定是否接收.抽
检规则如下:
一次取一件产品检查(取出的产品不放回箱子),共抽查三次,若三次都没有抽查到次品,则用户
接收这箱产品,若抽查到次品就立即停止抽检,并且用户拒绝接收这箱产品.
(1)求这箱产品被用户接收的概率;
⑵记抽检的产品件数为X,求X的分布列和均值.解:
(1)设“这箱产品被用户接收”为事件A,
_8X7X6=7
P(A)=10X9X8=15.
⑵X的可能取值为1,2,3.
21
P(X=1)=亦=5,
109
45.
所以X的概率分布列为
_8
28
45
所以E(X)=zX1+8X2+28X3=
54545
类型二停止型问题
CE'
(2016兰州模拟)为迎接在兰州举行的“中国兰州国际马拉松赛”,某单位在推介晚会中进行嘉宾现场抽奖活动.抽奖盒中装有大小相同的6个小球,分别印有“兰州马拉松”和“绿色金城行”两种标志,摇匀后,
规定参加者每次从盒中同时抽取两个小球(登记后放回并摇匀),若抽到的两个小球都印有“兰州马拉松”即可
中奖,并停止抽奖,否则继续,但每位嘉宾最多抽取3次.已知从盒中同时抽取两个小球不都是“绿色金城行”标志的概率为
⑴求盒中印有“兰州马拉松”标志的小球个数;
(2)用n表示某位嘉宾抽奖的次数,求n的分布列和数学期望.
(1)设印有“绿色金城行”的小球有n个,记“同时抽取两个小球不都是’绿色金城行’标志”为事件A,
-c2
则同时抽取两个小球都是“绿色金城行”标志的概率是P(A)=豈,
—4—C21
由对立事件的概率可知P(A)=1—P(A)=4,即P(A)==5解得n=3•所以盒中印有“兰州马拉松”标志的小球个数为3.
(2)由
(1)知,两种球各三个,n的可能取值为1,2,3.C2_1
P(n=1)=C6=5,
P(n=3)=1—P(n=1)—P(n=2)=曇.
则n的分布列为
25
所以E(n=1xJ+2X25+3X£
=黑
【点拨】解决这类终止型问题,一定要弄清楚终止的条件,根据终止条件确定各种可能结果,再计算相应概率.
到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;
否则继续尝试,直至该银行卡被锁疋.
(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;
(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X,求X的分布列和数学期望.
(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”为事件A,则P(A)={xTX3=~.
6542
(2)依题意得,X所有可能的取值是1,2,3.
又P(X=1)=1,
6
542
P(X=3)=6X5X1=3
1125
所以E(x)=1X6+2x6+3X3=2.
类型三二项分布的均值与方差
CE)一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.
—
50100150200250日销窖最件
将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.
(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;
⑵用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列、数学期望E(X)及方差D(X).
(1)设A1表示事件"
日销售量不低于100个”,A2表示事件"
日销售量低于50个”,B表示事件"
在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”,因此
P(A1)=(0.006+0.004+0.002)X50=0.6,
P(A2)=0.003X50=0.15,
P(B)=0.6X0.6X0.15X2=0.108.
⑵X的可能取值为0,1,2,3.
P(X=0)=c3X(1-0.6)3=0.064,
P(X=1)=c3X0.6X(1-0.6)2=0.288,
P(X=2)=C3X0.62X(1-0.6)=0.432,
P(X=3)=CX0.63=0.216.
X的分布列为
0.064
0.288
0.432
0.216
因为X〜B(3,0.6),所以数学期望E(X)=3X0.6=1.8,
方差D(X)=3X0.6X(1-0.6)=0.72.
【点拨】n次独立重复试验是重要的模型,要牢记公式:
当X〜B(n,p)时,E(X)=np,D(X)=npq,其中q=1
-p.同时要掌握期望与方差的重要性质:
E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X).
(2015湖北模拟)PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,对人体
我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值,即PM2.5日均值在35微克
35微克/立方米〜75微克/立方米之间空气质量为二级;
在75微克/立方米以
360天的市区PM2.5监测数据中,随机抽取15天的数据作为样本,监测值
如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶).
PM2.5
日均值(微克/立方米)
7
(1)从这15天的数据中任取3天的数据,记X表示空气质量达到一级的天数,求X的分布列;
⑵以这15天的PM2.5日均值来估计这360天的空气质量情况,则其中大约有多少天的空气质量达到一级.
Ck•c3「k解:
⑴由题意知N=15,M=6,n=3,X的可能取值为0,1,2,3,其分布列为P(X=k)=63(k=0,1,
C15
所以X的分布列是:
12
216
27
_4
65
455
91
Y,贝U丫〜
(2)依题意知,一年中每天空气质量达到一级的概率为15=£
一年中空气质量达到一级的天数为
B360,|,所以E(Y)=360X|=144,所以这360天的空气质量达到一级的天数大约有144无
类型四综合运用
CE据iec(国际电工委员会)调查显示,小型风力发电项目投资较少,且开发前景广阔,但受风力自然资源影响,项目投资存在一定风险•根据测算,风能风区分类标准如下:
风能分类
一类风区
二类风区
平均风速m/s
不低于10
[8.5,10)
假设投资A项目的资金为x(x>
0)万元,投资B项目的资金为y(y>
0)万元,调研结果是:
未来一年内,位于一类风区的A项目获利30%的可能性为0.6,亏损20%的可能性为0.4;
位于二类风区的B项目获利35%的可能性为0.6,亏损10%的可能性是0.1,不赔不赚的可能性是03
(1)记投资A,B项目的利润分别为E和n试写出随机变量E与n的分布列和数学期望E(3,E(n;
(2)某公司计划用不超过100万元的资金投资A,B项目,且公司要求对A项目的投资不得低于B项目,根据
(1)
的条件和市场调研,试估计一年后两个项目的平均利润之和z=e(3+e(n的最大值.
(1)投资A项目的利润3的分布列为
0.3x
—0.2x
0.6
0.4
贝yE(3=0.18X—0.08x=0.1x.
投资B项目的利润n的分布列为
0.35y
—0.1y
0.3
则E(n=0.21y—0.01y=0.2y.
(2)由题意可知x,y满足的约束条件为
x+yw100,
gy,其表示的可行域如图中阴影部分所示.
心0,y>
0,
由⑴可知,z=E(3+E(n=0.1x+0.2y,可化为y=—0.5x+5z.
当直线y=—0.5x+5z过点(50,50)时,z取得最大值,即当x=50,y=50时,z取得最大值15.故对A,B项目各投资50万元,可使两个项目的平均利润之和最大,最大值是15万元.
【点拨】随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量稳定于均值的程度,它们从整
体和全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值,若均值相同,再
4若初检不合格,则需要进行调
用方差来决定.
红西〕(2017河北唐山二模)某仪器经过检验合格才能出厂,初检合格率为
试,经调试后再次对其进行检验;
若仍不合格,作为废品处理,再检合格率为評台仪器各项费用如表:
项目
生产成本
检验费/次
调试费
出厂价
金额(元)
1000
100
200
3000
(1)求每台仪器能出厂的概率;
⑵求生产一台仪器所获得的利润为1600元的概率(注:
禾悯=出厂价—生产成本—检验费—调试费);
⑶假设每台仪器是否合格相互独立,记X为生产两台仪器所获得的利润,求X的分布列和数学期望.
(1)记每台仪器不能出厂为事件A,则P(A)=1—子1—£
=盘,所以每台仪器能出厂的概率P(A)=1—20
19
20.
⑵生产一台仪器利润为1600元,即初检不合格,调试后再检合格,故所求为⑶X可取3800,3500,3200,500,200,—2800.
339
P(X=3800)=4X4=16
1133
P(X=3500)=C2X了4=石,
1冃1
p(x=3200)=5=25
P(X=500)=c;
x3X4X5=40,
P(X=200)=c2x5X1X5=5O,
p(x=-2800)=4X5=400,
X的分布列为:
3800
3500
3200
500
—2800
10
40
50
400
1计算均值与方差的基本方法
(1)已知随机变量的概率分布求它的均值、方差和标准差,可直接用定义或公式求;
⑵已知随机变量X的均值、方差,求X的线性函数Y=aX+b的均值、方差和标准差,可直接用均值及方差的性质求;
⑶如能分析所给随机变量服从常用的分布(如两点分布、二项分布等),则可直接利用它们的均值、方差公式来
求.
2.求均值与方差常用的结论
掌握下述有关结论,会给解题带来方便:
(1)E(aX+b)=aE(X)+b;
E(X+Y)=E(X)+E(Y);
D(aX+b)=aD(X).
⑵若X〜B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1—p).
3.
(1)在实际中经常用均值来比较平均水平,当平均水平相近时,再用方差比较稳定程度;
⑵注意离散型随机变量的均值、方差与样本数据的平均数、方差的区别与联系.
卜〉查漏补缺
1.某射手射击所得环数E的分布列如下:
E
)
D.0.9
已知E的均值E(3=8.9,则y的值为(
A.0.4B.0.6C.0.7
x+0.1+0.3+y=1,解:
由可得y=04故选A.
l7x+8X0.1+9X0.3+10y=8.9
2.设样本数据X1,X2,,,X10的均值和方差分别为1和4,若y1=Xi+a(a为非零常数,i=1,2,,,10),
则y2,,,y10的均值和方差分别为()
A.1+a,4B.1+a,4+a
C.1,4D.1,4+a
由条件,E(y)=E(x)+a=1+a,D(y)=D(x)=4.故选A.
3.已知随机变量X服从二项分布,且E(X)=2.4,D(X)=1.44,则二项分布的参数n,p的值为()
A.n=4,p=0.6B.n=6,p=0.4
C.n=8,p=0.3D.n=24,p=0.1
由二项分布X〜B(n,p)及E(X)=np,D(X)=np(1—p)得2.4=np,且1.44=np(1—p),解得n=6,p=0.4.
故选B.
4.同时抛掷5枚均匀的硬币80次,设5枚硬币正好出现2枚正面向上,3枚反面向上的次数为X,则X的均值是()
A.20B.25C.30D.40
解:
抛掷一次,正好出现2枚正面向上,3枚反面向上的概率为C5=^,X〜B80,£
则E(X)=80X§
=25.
216I'
16丿16
则X的方差D(X)的值为()
6.口袋中有5只球,编号分别为1,2,3,4,5,从中任取3只球,用X表示取出的球的最大号码,则
数学期望E(X)的值是()
A.4B.4.5C.4.75D.5
由题意知,X可以取3,4,5,P(X=3)=2=1,P(X=4)=C3=g,
C510C510
C463
P(X=5)=C!
=矿5,
所以E(X)=3X110+4X13+5x5=4.5.故选B.
7.(2015广东)已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,则p=
r
np=30,11
由于X〜B(n,p),且E(X)=30,D(X)=20,所以’解得p=;
.故填1.
a1为首项,公比为2的等
np(1—p)=20.33
8.(2016青岛调研)某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖,且相应获奖概率是以
比数列,相应奖金是以700元为首项,公差为-140元的等差数列,则参与该游戏获得奖金的数学期望为
元.
124
由概率分布性质a1+2a1+4a1=1,所以a1=7,从而2a1=7,4a1=7.
因此获得奖金E的分布列为
700
560
420
124
所以EE=700X7+560X7+420X7=500(元).故填500.
9.
某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛,每场均决出胜负•设这支篮球队与其他篮球队比赛,获得
(1)求这支篮球队首次获得胜场前已经负了两场的概率;
(2)求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率;
(3)求这支篮球队在6场比赛中获胜场数的期望和方差.
(1)因为这支篮球队第一、二场负,第三场胜,三个事件互相独立.所以所求概率Pi=1-1X1-1X3=27.
33
⑵所求概率P2=XX
(3)E服从二项分布B6,3.
10.(2016郑州质量预测)某商场每天(开始营业时)以每件150元的价格购入A商品若干件(A商品在商场的保鲜时间为10小时,该商场的营业时间也恰好为10小时),并开始以每件300元的价格出售,若前6小时内所购进的商品没有售完,则商场对没卖出的A商品将以每件100元的价格低价处理完毕(根据经验,4小时内完全
能够把A商品低价处理完毕,且处理完毕后,当天不再购进A商品).该商场统计了100天A商品在每天的前
6小时内的销售量,制成如下表格(注:
视频率为概率).(其中x+y=70)
前6小时内的销售量t(单位:
件)
频数
30
(1)若某天该商场共购入6件该商品,在前6个小时内售出4件.若这些商品被6名不同的顾客购买,现从这6名顾客中随机选2人进行服务回访,则恰好一个是以300元价格购买的顾客,另一个是以100元价格购买的顾客的概率是多少?
⑵若商场每天在购进5件A商品时所获得的平均利润最大,求x的取值范围.
(1)设“恰好一个是以300元价格购买的顾客,另一个是以100元价格购买的顾客”为事件A,则P(A)=呼
=15.
⑵设销售A商品获得的利润为3单位:
元),依题意,将频率视为概率,为追求更多的利润,则商场每天购进
的A商品的件数取值可能为4,5,6.
当购进A商品4件时,E(3=150X4=600,
当购进A商品5件时,E(3=(150X4-50)X0.3+150X5X0.7=690,
x70一x
当购进A商品6件时,E(3=(150X4-2X50)X0.3+(150X5-50)X而+150X6X「0孑=780-2x,由题意780—2x<
690,解得x>
45,又知x<
100-30=70,所以x的取值范围为[45,70],x€N*.
11.为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励,规定:
每位顾客从一个装有4个标
有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.
(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元,求:
(I)顾客所获的奖励额为60元的概率;
(n)顾客所获的奖励额的分布