一轮复习专题小练命题及其关系充要条件Word文件下载.docx

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2．命题“若α＝

，则tanα＝1”的逆否命题是________．

答案　若tanα≠1，则α≠

3．设集合A＝{x∈R|x－2>

0}，B＝{x∈R|x<

0}，C＝{x∈R|x（x－2）>

0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的________条件．

答案　充要

解析　因为A＝{x|x－2>

0}＝{x|x>

2}＝（2，＋∞），

B＝{x|x<

0}＝（－∞，0），

所以A∪B＝（－∞，0）∪（2，＋∞），

C＝{x|x（x－2）>

0}＝{x|x<

0或x>

2}

＝（－∞，0）∪（2，＋∞）．

即A∪B＝C.故“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件.

4．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的________条件．

答案　充分而不必要

解析　a＝3时A＝{1,3}，显然A⊆B.

但A⊆B时，a＝2或3.所以a＝3是A⊆B的充分而不必要条件．

5．设φ∈R，则“φ＝0”是“f（x）＝cos（x＋φ）（x∈R）为偶函数”的________条件．

解析　由条件推结论和结论推条件后再判断．

若φ＝0，则f（x）＝cosx是偶函数，

但是若f（x）＝cos（x＋φ）（x∈R）是偶函数，

则φ＝π也成立．故“φ＝0”是“f（x）＝cos（x＋φ）（x∈R）为偶函数”的充分而不必要条件.

题型一　四种命题及真假判断

例1

　写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假．

（1）已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d；

（2）已知a，b，c∈R，若ac<

0，则ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．

思维启迪　认清命题的条件p和结论q，然后按定义写出逆命题、否命题和逆否命题，最后判断真假．

解　

（1）逆命题：

已知a，b，c，d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d，是假命题．

否命题：

已知a，b，c，d是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d，是假命题．

逆否命题：

已知a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a≠b或c≠d，是真命题．

（2）逆命题：

已知a，b，c∈R，若ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则ac<

0，是假命题，例如当a＝1，b＝－3，c＝2时，方程x2－3x＋2＝0有两个不等实根x1＝1，x2＝2，但ac＝2>

0.

已知a，b，c∈R，若ac≥0，则ax2＋bx＋c＝0没有两个不相等的实数根，是假命题．

a，b，c∈R，若ax2＋bx＋c＝0没有两个不相等的实数根，则ac≥0，是真命题．

思维升华　

（1）熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；

（2）根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；

（3）判断一个命题为假命题可举反例．

　有下列四个命题：

①若“xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；

②“面积相等的三角形全等”的否命题；

③若“m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；

④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题为________．（填序号）

答案　①②③

解析　①的逆命题：

“若x，y互为倒数，则xy＝1”是真命题；

②的否命题：

“面积不相等的三角形不是全等三角形”是真命题；

③的逆否命题：

“若x2－2x＋m＝0没有实数解，则m>

1”是真命题；

命题④是假命题，所以它的逆否命题也是假命题．

题型二　充要条件的判定

例2

　已知下列各组命题，其中p是q的充分必要条件的是________．（填序号）

①p：

m≤－2或m≥6；

q：

y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点；

②p：

＝1；

y＝f（x）是偶函数；

③p：

cosα＝cosβ；

tanα＝tanβ；

④p：

A∩B＝A；

A⊆U，B⊆U，∁UB⊆∁UA.

思维启迪　首先要分清条件和结论，然后可以从逻辑推理、等价命题或集合的角度思考问题，做出判断．

答案　④

解析　对于①，由y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点，可得Δ＝m2－4（m＋3）>

0，从而可得m<

－2或m>

6.所以p是q的必要不充分条件；

对于②，由

＝1⇒f（－x）＝f（x）⇒y＝f（x）是偶函数，但由y＝f（x）是偶函数不能推出

＝1，例如函数f（x）＝0，所以p是q的充分不必要条件；

对于③，当cosα＝cosβ＝0时，不存在tanα＝tanβ，反之也不成立，所以p是q的既不充分也不必要条件；

对于④，由A∩B＝A，知A⊆B，所以∁UB⊆∁UA；

反之，由∁UB⊆∁UA，知A⊆B，即A∩B＝A.

所以p⇔q.

综上所述，p是q的充分必要条件的只有④.

思维升华　充要条件的三种判断方法

（1）定义法：

根据p⇒q，q⇒p进行判断；

（2）集合法：

根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；

（3）等价转化法：

根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件．

　用“充分不必要”“必要不充分”“充要”和“既不充分也不必要”填空．

（1）已知m，n∈R，则“m>

0”是“mn>

0”的________条件；

（2）“α＝β”是“tanα＝tanβ”的________条件；

（3）“a<

0”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”的________条件；

（4）“a＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的________条件；

（5）已知a，b，c是非零实数，则“a，b，c成等比数列”是“b＝

”的________条件．

答案　

（1）既不充分也不必要　

（2）既不充分也不必要

（3）充分不必要　（4）充要　（5）必要不充分

解析　

（1）当n<

0，m>

0⇒mn<

0，反之，n<

0，mn>

0⇒m<

（2）当α＝β＝

时，tanα，tanβ均不存在，

则α＝β不是tanα＝tanβ的充分条件；

反过来，当tanα＝tanβ时，α＝kπ＋β（k∈Z），

所以α＝β也不是tanα＝tanβ的必要条件．

（3）当Δ＝22－4a>

0，得a<

1时方程有根．

a<

0时，x1x2＝

<

0，方程有负根．

又a＝1时，方程根为x＝－1，所以填充分不必要；

（4）若x＋y＝0与x－ay＝0互相垂直，则x－ay＝0的斜率必定为1，

即a＝1，反之显然．

（5）必要条件很容易验证，若a，b，c是非零实数，满足b＝

，则a，b，c成等比数列；

但由a，b，c成等比数列，得b＝±

.

题型三　充分、必要条件的应用

例3

　已知p：

，q：

{x|1－m≤x≤1＋m，m>

0}．

（1）若m＝1，则p是q的什么条件？

（2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

思维启迪　问题

（1）考查的仍是充要条件的判定，需要从“充分”和“必要”两个方面考察，并且用集合方法处理；

问题

（2）考查充要条件的应用，根据“若p是q的充分不必要条件”，得出所对应集合的关系，从而求出实数m的取值范围．

解　

（1）因为p：

＝{x|－2≤x≤10}，

0}＝{x|0≤x≤2}，

显然{x|0≤x≤2}{x|－2≤x≤10}，

所以p是q的必要不充分条件．

（2）由

（1），知p：

{x|－2≤x≤10}，因为p是q的充分不必要条件，

所以

解得m≥9，即m∈[9，＋∞）．

思维升华　充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：

（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解．

（2）要注意区间端点值的检验．

（1）若“x2>

1”是“x<

a”的必要不充分条件，则a的最大值为________．

（2）设p：

|4x－3|≤1，q：

x2－（2a＋1）x＋a（a＋1）≤0，若非p是非q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．

答案　

（1）－1　

（2）

解析　

（1）由x2>

1，得x<

－1，或x>

1.

又“x2>

a”的必要不充分条件，

知由“x<

a”可以推出“x2>

1”，反之不成立，

所以a≤－1，即a的最大值为－1.

（2）p：

|4x－3|≤1⇒－1≤4x－3≤1，

∴

≤x≤1；

x2－（2a＋1）x＋a（a＋1）≤0⇒（x－a）[x－（a＋1）]≤0，

∴a≤x≤a＋1.

由题意知p是q的充分不必要条件，故有

或

，则0≤a≤

等价转化思想在充要条件中的应用

典例：

（14分）已知集合A＝{y|y＝x2－

x＋1，x∈[

，2]}，B＝{x|x＋m2≥1}．p：

x∈A，q：

x∈B，并且p是q的充分条件，求实数m的取值范围．

思维启迪　

（1）先对集合进行化简；

（2）将条件间的关系转化为集合间的包含关系；

（3）利用集合间的关系列出关于m的不等式，求出实数m的范围．

规范解答

解　化简集合A，

由y＝x2－

x＋1.

配方，得y＝

2＋

∵x∈

，

∴ymin＝

，ymax＝2.

∴y∈

∴A＝

.[4分]

化简集合B，由x＋m2≥1，

得x≥1－m2，B＝{x|x≥1－m2}．[6分]

∵命题p是命题q的充分条件，

∴A⊆B.[8分]

∴1－m2≤

，解得m≥

，或m≤－

.[12分]

∴实数m的取值范围是

∪

.[14分]

温馨提醒　本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键.

方法与技巧

1．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；

在判断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．

2．充要关系的几种判断方法

直接判断若p则q、若q则p的真假．

（2）等价法：

即利用A⇒B与綈B⇒綈A；

B⇒A与綈A⇒綈B；

A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．

（3）利用集合间的包含关系判断：

设A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）}，若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；

若A＝B，则p是q的充要条件．

失误与防范

1．当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动．

2．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p则q”的形式．

3．判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.