特殊四边形中常添加的辅助线.doc

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特殊四边形中常添加的辅助线.doc

特殊四边形---作辅助线

添加辅助线解特殊四边形

特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线.下面介绍一些辅助线的添加方法.

知识点一:

平行四边形有关的辅助线作法

平行四边形(包括矩形、正方形、菱形)的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质,所以在添辅助线方法上也有共同之处,目的都是造就线段的平行、垂直,构成三角形的全等、相似,把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理,其常用方法有下列几种,举例简解如下:

(1)连对角线或平移对角线:

(2)过顶点作对边的垂线构造直角三角形

(3)连接对角线交点与一边中点,或过对角线交点作一边的平行线,构造线段平行或中位线

(4)连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段,构造三角形相似或等积三角形。

(5)过顶点作对角线的垂线,构成线段平行或三角形全等.

第一类:

连结对角线,把平行四边形转化成两个全等三角形。

例1、如图1,在平行四边形中,点在对角线上,且,请你以为一个端点,和图中已标明字母的某一点连成一条新线段,猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只需证明一条线段即可)

⑴连结⑵

⑶证明:

连结,设交于点O

∵四边形为平行四边形∴

∵∴即

∴四边形为平行四边形∴

第二类:

平移对角线,把平行四边形转化为梯形。

例2、如图2,在平行四边形中,对角线和相交于点O,如果,,,那么的取值范围是()

ABCD

解:

将线段沿方向平移,使得,,则有四边形为平行四边形,∵在中,,,

∴,即解得故选A

第三类:

过一边两端点作对边的垂线,把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。

例3、已知:

如图3,四边形为平行四边形

求证:

证明:

过分别作于点,的延长线于点F

∵四边形为平行四边形∴∥且,

∴∵∴∴∴

第四类:

延长一边中点与顶点连线,把平行四边形转化为三角形。

例4:

已知:

如图4,在正方形中,分别是、的中点,与交于点,求证:

证明:

延长交的延长线于点,∵四边形为正方形

∴∥且,,

∴又∵,∴≌

∴∵∴

∵∴≌∴∵

∴∴,则∴

第五类:

延长一边上一点与一顶点连线,把平行四边形转化为平行线型相似三角形。

例5、如图5,在平行四边形中,点为边上任一点,请你在该图基础上,适当添加辅助线找出两对相似三角形。

解:

延长与的延长线相交于,则有∽,

∽,∽

第六类:

把对角线交点与一边中点连结,构造三角形中位线

例6、已知:

如图6,在平行四边形中,,,

交于,求

解:

连结交于点,连结

∵四边形为平行四边形∴

∵∴∥且∴

∵∴∴

∴∴

综上所述,平行四边形中常添加辅助线是:

连对角线,平移对角线,延长一边中点与顶点连线等,这样可将平行四边形转化为三角形(或特殊三角形)、矩形(梯形)等图形,为证明解决问题创造条件。

知识点二:

和菱形有关的辅助线的作法

和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线,借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.

例7、如图7,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,E是AB上一点,且AE=AC,EF//BC交AD于点F,求证:

四边形CDEF是菱形.

分析:

要证明四边形CDEF是菱形,根据已知条件,本题有两种判定方法,一是证明四边相等的四边形是菱形,二是证明对角线互相垂直平分的四边形是菱形.根据AD是∠BAC的平分线,AE=AC,可通过连接CE,构造等腰三角形,借助三线合一证明AD垂直CE.求AD平分CE.

证明:

连结CE交AD于点O,由AC=AE,得△ACE是等腰三角形,

因为AO平分∠CAE,所以AO⊥CE,且OC=OE,因为EF//CD,所以∠1=∠2,

又因为∠EOF=∠COD,所以△DOC可以看成由△FOE绕点O旋转而成,所以OF=OD,所以CE、DF互相垂直平分.所以四边形CDEF是菱形.

图7图8

例8、如图8,四边形ABCD是菱形,E为边AB上一个定点,F是AC上一个动点,求证EF+BF的最小值等于DE长.

分析:

要证明EF+BF的最小值是DE的长,可以通过连结菱形的对角线BD,借助菱形的对角线互相垂直平分得到DF=BF,然后结合三角形两边之和大于第三边解决问题.

证明:

连结BD、DF.因为AC、BD是菱形的对角线,所以AC垂直BD且平分BD,

所以BF=DF,所以EF+BF=EF+DF≥DE,

当且仅当F运动到DE与AC的交点G处时,上式等号成立,所以EF+BF的最小值恰好等于DE的长.

综上所述,菱形是一种特殊的平行四边形,和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多,常见的几种辅助线的方法有:

(1)作菱形的高;

(2)连结菱形的对角线.

知识点三:

与矩形有辅助线作法

和矩形有关的题型一般有两种:

(1)计算型题,一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题;

(2)证明或探索题,一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.

例9、如图9,已知矩形ABCD内一点,PA=3,PB=4,PC=5.求PD的长.

分析:

要利用已知条件,因为矩形ABCD,可过P分别作两组对边的平行线,构造直角三角形借助勾股定理解决问题.

解:

过点P分别作两组对边的平行线EF、GH交AB于E,交CD于F,交BC于点H,交AD于G.因为四边形ABCD是矩形,

所以PF2=CH2=PC2-PH2,DF2=AE2=AP2-EP2,PH2+PE2=BP2,

所以PD2=PC2-PH2+AP2-EP2=PC2+AP2-PB2=52+32-42=18,所以PD=3.

图9图10

说明:

本题主要是借助矩形的四个角都是直角,通过作平行线构造四个小矩形,然后根据对角线得到直角三角形,利用勾股定理找到PD与PA、PB、PC之间的关系,进而求到PD的长.

知识点四:

与正方形有关辅助线的作法

正方形是一种完美的几何图形,它既是轴对称图形,又是中心对称图形,有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线,作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线.

例10、如图10,过正方形ABCD的顶点B作BE//AC,且AE=AC,又CF//AE.求证:

∠BCF=∠AEB.

分析:

由BE//AC,CF//AE,AE=AC,可知四边形AEFC是菱形,作AH⊥BE于H,根据正方形的性质可知四边形AHBO是正方形,从AH=OB=AC,可算出∠E=∠ACF=30°,∠BCF=15°.

证明:

连接BD交AC于O,作AH⊥BE交BE于H.

在正方形ABCD中,AC⊥BD,AO=BO,又BE//AC,AH⊥BE,所以BO⊥AC,

所以四边形AOBH为正方形,所以AH=AO=AC,因为AE=AC,所以∠AEH=30°,因为BE//AC,AE//CF,所以ACFE是菱形,所以∠AEF=∠ACF=30°,因为AC是正方形的对角线,所以∠ACB=45°,所以∠BCF=15°,所以∠BCF=∠AEB.

说明:

本题是一道综合题,既涉及正方形的性质,又涉及到菱形的性质.通过连接正方形的对角线构造正方形AHBO,进一步得到菱形,借助菱形的性质解决题.

知识点五:

与梯形有关的辅助线的作法

和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉及以下几种类型:

(1)作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形;

(2)作梯形的高,构造矩形和直角三角形;(3)作一对角线的平行线,构造直角三角形和平行四边形;(4)延长两腰构成三角形;(5)作两腰的平行线等.

例11、已知如图11,在梯形ABCD中,AD//BC,AB=AC,∠BAC=90°,BD=BC,BD交AC于点0.求证:

CO=CD.

分析:

要证明CO=CD,可证明∠COD=∠CDO,由于已知∠BAC=90°,所以可通过作梯形高构造矩形,借助直角三角形的性质解决问题.

证明:

过点A、D分别作AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别是E、F,则四边形AEFD为矩形,因为AE=DF,AB=AC,AE⊥BC,∠BAC=90°,

所以AE=BE=CE=BC,∠ACB=45°,所以AE=DF=,

又DF⊥BC,所以在Rt△DFB中,∠DBC=30°,

又BD=BC,所以∠BDC=∠BCD=,

所以∠DOC=∠DBC+∠ACB=30°+45°=75°.所以∠BDC=∠DOC,所以C0=CD.

图11图12

说明:

在证明线段相等时,一般利用等角对等边来证明,本题作梯形的高将梯形转化为矩形和直角三角形,进而根据直角三角形知识解决.

例12、如图12,在等腰梯形ABCD中,AD//BC,AC⊥BD,AD+BC=10,DE⊥BC于E.求DE的长.

分析:

根据本题的已知条件,可通过平移一条对角线,把梯形转化为平行四边形和直角三角形,借助勾股定理解决.

解:

过点D作DF//AC,交BC的延长线于F,则四边形ACFD为平行四边形,所以AC=DF,AD=CF,因为四边形ABCD为等腰梯形,所以AC=DB,BD=FD,因为DE⊥BC,所以BE=EF=BF=(BC+CF)=(BC+AD)=×10=5.

因为AC//DF,BD⊥AC,所以BD⊥DF,

因为BE=FE,所以DE=BE=EF=5,即DE的长为5.

说明:

当有对角线或垂直成梯形时,常作梯形对角线的平行线,构造平行四边形,等腰三角形或直角三角形来解决.

知识点六:

和中位线有关辅助线的作法

例13、如图13,在四边形ABCD中,AC于BD交于点0,AC=BD,E、F分别是AB、CD中点,EF分别交AC、BD于点H、G.求证:

OG=OH.

分析:

欲证0G=OH,而OG、OH为同一个三角形的两边,又E、F分别是AB、CD中点,所以可试想作辅助线,构造三角形中位线解决问题.

证明:

取AD中点P,连结PE,PF.因为E是AB的中点,F是CD的中点,所以PE//BD,且PE=BD,PF//AC,且PF=AC,

所以∠PEF=∠PFE,又∠PEF=∠OGH,∠PFE=∠OHG,所以∠OGH=∠OHG,

所以OG=OH.

图13

说明:

遇中点,常作中位线,借助中位线的性质解题.

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