特殊四边形中常添加的辅助线.doc

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特殊四边形---作辅助线

添加辅助线解特殊四边形

特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线.下面介绍一些辅助线的添加方法.

知识点一：

平行四边形有关的辅助线作法

平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：

（1）连对角线或平移对角线：

（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形

（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线

（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。

（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.

第一类：

连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。

例1、如图1，在平行四边形中，点在对角线上，且,请你以为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）

⑴连结⑵

⑶证明：

连结,设交于点O

∵四边形为平行四边形∴

∵∴即

∴四边形为平行四边形∴

第二类：

平移对角线，把平行四边形转化为梯形。

例2、如图2，在平行四边形中，对角线和相交于点O，如果，，，那么的取值范围是（）

ABCD

解：

将线段沿方向平移，使得,,则有四边形为平行四边形,∵在中,,,

∴，即解得故选A

第三类：

过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。

例3、已知：

如图3，四边形为平行四边形

求证：

证明：

过分别作于点，的延长线于点F

∴

则

∵四边形为平行四边形∴∥且,

∴∵∴∴∴

第四类：

延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。

例4：

已知：

如图4，在正方形中，分别是、的中点，与交于点，求证：

证明：

延长交的延长线于点，∵四边形为正方形

∴∥且,,

∴又∵,∴≌

∴∵∴

∵∴≌∴∵

∴∴,则∴

第五类：

延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。

例5、如图5，在平行四边形中，点为边上任一点，请你在该图基础上，适当添加辅助线找出两对相似三角形。

解：

延长与的延长线相交于，则有∽,

∽,∽

第六类：

把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线

例6、已知：

如图6，在平行四边形中，,,

交于，求

解：

连结交于点,连结

∵四边形为平行四边形∴

∵∴∥且∴

∵∴∴

∴∴

综上所述，平行四边形中常添加辅助线是：

连对角线，平移对角线，延长一边中点与顶点连线等，这样可将平行四边形转化为三角形（或特殊三角形）、矩形（梯形）等图形，为证明解决问题创造条件。

知识点二：

和菱形有关的辅助线的作法

和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.

例7、如图7，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF//BC交AD于点F，求证：

四边形CDEF是菱形.

分析：

要证明四边形CDEF是菱形，根据已知条件，本题有两种判定方法，一是证明四边相等的四边形是菱形，二是证明对角线互相垂直平分的四边形是菱形.根据AD是∠BAC的平分线，AE=AC，可通过连接CE，构造等腰三角形，借助三线合一证明AD垂直CE.求AD平分CE.

证明：

连结CE交AD于点O，由AC=AE，得△ACE是等腰三角形，

因为AO平分∠CAE，所以AO⊥CE，且OC=OE，因为EF//CD，所以∠1=∠2，

又因为∠EOF=∠COD，所以△DOC可以看成由△FOE绕点O旋转而成，所以OF=OD，所以CE、DF互相垂直平分.所以四边形CDEF是菱形.

图7图8

例8、如图8，四边形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证EF+BF的最小值等于DE长.

分析：

要证明EF+BF的最小值是DE的长，可以通过连结菱形的对角线BD，借助菱形的对角线互相垂直平分得到DF=BF，然后结合三角形两边之和大于第三边解决问题.

证明：

连结BD、DF.因为AC、BD是菱形的对角线，所以AC垂直BD且平分BD，

所以BF=DF，所以EF+BF=EF+DF≥DE，

当且仅当F运动到DE与AC的交点G处时，上式等号成立，所以EF+BF的最小值恰好等于DE的长.

综上所述，菱形是一种特殊的平行四边形，和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多，常见的几种辅助线的方法有：

（1）作菱形的高；

（2）连结菱形的对角线.

知识点三：

与矩形有辅助线作法

和矩形有关的题型一般有两种：

（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；

（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.

例9、如图9，已知矩形ABCD内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求PD的长.

分析：

要利用已知条件，因为矩形ABCD，可过P分别作两组对边的平行线，构造直角三角形借助勾股定理解决问题.

解：

过点P分别作两组对边的平行线EF、GH交AB于E，交CD于F，交BC于点H，交AD于G.因为四边形ABCD是矩形，

所以PF2=CH2=PC2-PH2，DF2=AE2=AP2-EP2，PH2+PE2=BP2，

所以PD2=PC2-PH2+AP2-EP2=PC2+AP2-PB2=52+32-42=18，所以PD=3.

图9图10

说明：

本题主要是借助矩形的四个角都是直角，通过作平行线构造四个小矩形，然后根据对角线得到直角三角形，利用勾股定理找到PD与PA、PB、PC之间的关系，进而求到PD的长.

知识点四：

与正方形有关辅助线的作法

正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线.

例10、如图10，过正方形ABCD的顶点B作BE//AC，且AE=AC，又CF//AE.求证：

∠BCF=∠AEB.

分析：

由BE//AC，CF//AE，AE=AC，可知四边形AEFC是菱形，作AH⊥BE于H，根据正方形的性质可知四边形AHBO是正方形，从AH=OB=AC，可算出∠E=∠ACF=30°，∠BCF=15°.

证明：

连接BD交AC于O，作AH⊥BE交BE于H.

在正方形ABCD中，AC⊥BD，AO=BO，又BE//AC，AH⊥BE，所以BO⊥AC，

所以四边形AOBH为正方形，所以AH=AO=AC，因为AE=AC，所以∠AEH=30°，因为BE//AC，AE//CF，所以ACFE是菱形，所以∠AEF=∠ACF=30°，因为AC是正方形的对角线，所以∠ACB=45°，所以∠BCF=15°，所以∠BCF=∠AEB.

说明：

本题是一道综合题，既涉及正方形的性质，又涉及到菱形的性质.通过连接正方形的对角线构造正方形AHBO，进一步得到菱形，借助菱形的性质解决题.

知识点五：

与梯形有关的辅助线的作法

和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉及以下几种类型：

（1）作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形；

（2）作梯形的高，构造矩形和直角三角形；（3）作一对角线的平行线，构造直角三角形和平行四边形；（4）延长两腰构成三角形；（5）作两腰的平行线等.

例11、已知如图11，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=AC，∠BAC=90°，BD=BC，BD交AC于点0.求证：

CO=CD.

分析：

要证明CO=CD，可证明∠COD=∠CDO，由于已知∠BAC=90°，所以可通过作梯形高构造矩形，借助直角三角形的性质解决问题.

证明：

过点A、D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别是E、F，则四边形AEFD为矩形，因为AE=DF，AB=AC，AE⊥BC，∠BAC=90°，

所以AE=BE=CE=BC，∠ACB=45°，所以AE=DF=，

又DF⊥BC，所以在Rt△DFB中，∠DBC=30°，

又BD=BC，所以∠BDC=∠BCD=，

所以∠DOC=∠DBC+∠ACB=30°+45°=75°.所以∠BDC=∠DOC，所以C0=CD.

图11图12

说明：

在证明线段相等时，一般利用等角对等边来证明，本题作梯形的高将梯形转化为矩形和直角三角形，进而根据直角三角形知识解决.

例12、如图12，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥BD，AD+BC=10，DE⊥BC于E.求DE的长.

分析：

根据本题的已知条件，可通过平移一条对角线，把梯形转化为平行四边形和直角三角形，借助勾股定理解决.

解：

过点D作DF//AC，交BC的延长线于F，则四边形ACFD为平行四边形，所以AC=DF，AD=CF，因为四边形ABCD为等腰梯形，所以AC=DB，BD=FD，因为DE⊥BC，所以BE=EF=BF=（BC+CF）=（BC+AD）=×10=5.

因为AC//DF,BD⊥AC,所以BD⊥DF,

因为BE=FE,所以DE=BE=EF=5,即DE的长为5.

说明:

当有对角线或垂直成梯形时,常作梯形对角线的平行线,构造平行四边形,等腰三角形或直角三角形来解决.

知识点六：

和中位线有关辅助线的作法

例13、如图13，在四边形ABCD中，AC于BD交于点0，AC=BD，E、F分别是AB、CD中点，EF分别交AC、BD于点H、G.求证：

OG=OH.

分析：

欲证0G=OH，而OG、OH为同一个三角形的两边，又E、F分别是AB、CD中点，所以可试想作辅助线，构造三角形中位线解决问题.

证明：

取AD中点P，连结PE，PF.因为E是AB的中点，F是CD的中点，所以PE//BD，且PE=BD，PF//AC，且PF=AC，

所以∠PEF=∠PFE，又∠PEF=∠OGH，∠PFE=∠OHG，所以∠OGH=∠OHG，

所以OG=OH.

图13

说明：

遇中点，常作中位线，借助中位线的性质解题.

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