特殊平行四边形专题训练.docx

特殊平行四边形专题训练.docx

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专训一：

矩形的性质与判定灵活运用

名师点金：

1.矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质，同时还具有一些独特的性质，可归结为三个方面：

（1）从边看：

矩形的对边平行且相等；

（2）从角看：

矩形的四个角都是直角；（3）从对角线看：

矩形的对角线互相平分且相等．

2．判定一个四边形是矩形可从两个角度进行：

一是判定它有三个角为直角；二是先判定它为平行四边形，再判定它有一个角为直角或两条对角线相等．

利用矩形的性质与判定求线段的长（转化思想）

1．如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，点A，点B落在点M处，点C，点D落在点N处，恰好拼成一个无缝隙不重叠的四边形EFGH，若EH＝3cm，EF＝4cm，求AD的长．

（第1题）

利用矩形的性质与判定证明线段相等

2．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连结OE.

求证：

OE＝BC.

（第2题）

利用矩形的性质与判定判断图形形状

3．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E，P分别在AD，BC上，且DE＝BP＝1，连结AP，EC，分别交BE，PD于H，F.

（1）判断△BEC的形状，并说明理由．

（2）判断四边形EFPH是什么特殊的四边形？

并证明你的判断．

（第3题）

利用矩形的性质与判定求面积

4．如图，已知E是▱ABCD中BC边上的中点，连结AE并延长AE交DC的延长线于点F.

（1）连结AC，BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：

四边形ABFC为矩形．

（2）在

（1）的条件下，若△AFD是等边三角形，且边长为4，求四边形ABFC的面积．

（第4题）

专训二：

菱形的性质与判定灵活运用

名师点金：

1.菱形具有一般平行四边形的所有性质，同时又具有一些特性，可以归纳为三个方面：

（1）从边看：

对边平行，四边相等；

（2）从角看：

对角相等，邻角互补；（3）从对角线看：

对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．

2．判定一个四边形是菱形，可先判定这个四边形是平行四边形，再判定一组邻边相等或对角线互相垂直，也可直接判定四边相等．

利用菱形的性质与判定证明角的关系

1．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连结DF.

（1）证明：

∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；

（2）若AB∥CD，试证明：

四边形ABCD是菱形；

（3）在

（2）的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由．

（第1题）

利用菱形的性质与判定证明线段的位置关系

2．（中考·兰州）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，BD＝AC.

（1）求证：

AD＝BC；

（2）若E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，求证：

线段EF与线段GH互相垂直平分．

（第2题）

利用菱形的性质与判定解决周长问题

3．（中考·贵阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，AC边上的中点，连结DE，将△ADE绕点E旋转180°，得到△CFE，连结AF.

（1）求证：

四边形ADCF是菱形；

（2）若BC＝8，AC＝6，求四边形ABCF的周长．

（第3题）

利用菱形的性质与判定解决面积问题

4．如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，交BC于点D，在线段AD上任取一点P（点A除外），过点P作EF∥AB，分别交AC，BC于点E，F，作PM∥AC，交AB于点M，连结ME.

（1）求证：

四边形AEPM为菱形．

（2）当点P在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？

请说明理由．

（第4题）

专训三：

正方形的性质与判定灵活运用

名师点金：

正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形、菱形的所有性质，判定一个四边形是正方形，只需保证它既是矩形又是菱形即可．

利用正方形的性质证明线段位置关系

1．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连结DF，AE，AE的延长线交DF于点M.

求证：

AM⊥DF.

（第1题）

利用正方形的性质解决线段和差倍分问题

2．已知：

在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N.

（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，易证：

BM＋DN＝MN.当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，如图②，请问图①中的结论是否还成立？

如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由．

（2）当∠MAN绕点A旋转到如图③的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量关系？

请写出你的猜想，并证明．

（第2题）

正方形性质与判定的综合运用

3．如图，P，Q，R，S四个小球分别从正方形的四个顶点A，B，C，D同时出发，以同样的速度分别沿AB，BC，CD，DA的方向滚动，其终点分别是B，C，D，A.

（1）不管滚动时间多长，求证：

连结四个小球所得的四边形PQRS总是正方形．

（2）四边形PQRS在什么时候面积最大？

（3）四边形PQRS在什么时候面积为原正方形面积的一半？

并说明理由．

（第3题）

正方形中的探究性问题

4．如图①，在正方形ABCD和正方形CGEF中，点B、C、G在同一条直线上，M是线段AE的中点，DM的延长线交EF于点N，连结FM，易证：

DM＝FM，DM⊥FM（无需写证明过程）；

（1）如图②，当点B、C、F在同一条直线上，DM的延长线交EG于点N，其余条件不变，试探究线段DM与FM有怎样的关系？

请写出猜想，并给予证明；

（2）如图③，当点E、B、C在同一条直线上，DM的延长线交CE的延长线于点N，其余条件不变，探究线段DM与FM有怎样的关系？

请直接写出猜想．

（第4题）

专训四：

利用矩形的性质巧解折叠问题

名师点金：

折叠问题往往通过图形间的折叠找出线段或角与原图形之间的联系，从而得到折叠部分与原图形或其他图形之间的关系，即折叠前后的图形全等，且关于折痕或所在直线成轴对称；在计算时，常常通过设未知数列方程求解．

利用矩形的性质巧求折叠中的角

1．当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？

动手操作有时可以解“燃眉之急”．如图，已知矩形纸片ABCD（矩形纸片要足够长），我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：

（1）以点A所在直线为折痕，折叠纸片，使点B落在边AD上，折痕与BC交于点E；

（2）将纸片平展后，再一次折叠纸片，以点E所在直线为折痕，使点A落在BC上，折痕EF交AD于F.求∠AFE的度数．

（第1题）

利用矩形的性质巧求折叠中的线段的长

2．如图，有矩形纸片ABCD，长AD为4cm，宽AB为3cm，把矩形折叠，使相对两顶点A，C重合，然后展开．求折痕EF的长．

（第2题）

利用矩形的性质巧证线段的位置关系

3．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于F，连结AE.

证明：

（1）BF＝DF；

（2）AE∥BD.

（第3题）

利用矩形的性质巧求线段的比（面积法）

4．如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N.

（1）求证：

CM＝CN；

（2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3∶1，求的值．

（第4题）

专训五：

用特殊四边形的性质巧解动点问题

名师点金：

利用特殊四边形的性质解动点问题，一般将动点看作特殊点解决问题，再运用从特殊到一般的思想，将特殊点转化为一般点（动点）为条件解答．

平行四边形中的动点问题

1．如图，在▱ABCD中，E，F两点在对角线BD上运动，且保持BE＝DF，连结AE，CF.请你猜想AE与CF有怎样的数量关系和位置关系，并对你的猜想加以证明．

（第1题）

矩形中的动点问题

2．在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O.

（1）如图①，连结AF、CE，求证：

四边形AFCE为菱形，并求AF的长；

（2）如图②，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．

（第2题）

菱形中的动点问题

3．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上．

（1）如图①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：

BE＝DF；

（2）如图②，若∠EAF＝60°，求证：

△AEF是等边三角形．

（第3题）

正方形中的动点问题

4．如图，正方形ABCD的边长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.

（1）求证：

四边形EFGH是正方形；

（2）判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由．

（第4题）

专训六：

特殊四边形中的最值问题

名师点金：

求特殊四边形中的最值问题，一般都要用它们的轴对称的性质把几条线段转移到一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题．

矩形中的最值问题

1．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，求点D到点O的最大距离．

（第1题）

菱形中的最值问题

2．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上任意一点，求PK＋QK的最小值．

（第2题）

正方形中的最值问题

（第3题）

3．（中考·宿迁）如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE＋PC的最小值是________．

4．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连结EN，AM，CM.

（1）求证：

△AMB≌△ENB.

（2）①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由．

（第4题）

专训七：

思想方法荟萃

名师点金：

本章中，由于涉及内容是各种特殊四边形，解决这类问题时，常将它们与三角形、直角坐标系、方程等知识结合在一起进行研究．而转化思想、分类讨论思想、方程思想、数形结合思想是解决四边形问题常要用到的思想方法．

数形结合思想

（第1题）

1．如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个矩形，则每块长方形地砖的面积为（　　）

A．200cm2B．300cm2

C．600cm2D．2400cm2

方程思想

2．已知平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F.

（1）若AE＝3cm，AF＝4cm，AD＝8cm，求CD的长；

（2）若平行四边形ABCD的周长为36cm，AE＝4cm，AF＝5cm，求平行四边形ABCD的面积．

转化思想

3．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，点P是线段AD上一动点（不与点D重合），PO的延长线交BC于Q点．连结BP，DQ.

（1）求证：

四边形PBQD为平行四边形．

（2）若AB＝3cm，AD＝4cm，P从点A出发，以1cm/s的速度向点D匀速运