高等数学配套教学课件3年专科第三版盛祥耀第二节函数的微分法.ppt

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第二节函数的微分法,一、导数的四则运算,二、复合函数的微分法,第二章导数与微分,定理1设函数u（x）、v（x）在x处可导，,在x处也可导，,（u（x）v（x）=u（x）v（x）;,（u（x）v（x）=u（x）v（x）+u（x）v（x）;,一、导数的四则运算,且,则它们的和、差、积与商,证上述三个公式的证明思路都类似，我们只证第二个,因为,u（x+x）-u（x）=u，,即,u（x+x）=u（x）+u，,同理有,v（x+x）=v（x）+v.,y=u（x）v（x），,令,则,y=u（x+x）v（x+x）-u（x）v（x）,=u（x）+uv（x）+v-u（x）v（x）,=u（x）v+v（x）u+uv.,所以,推论1（cu（x）=cu（x）（c为常数）.,推论2,推论3,解根据推论1可得（3x4）=3（x4），,（5cosx）=5（cosx），,（cosx）=-sinx，,（ex）=ex，,

（1）=0，,故,f（x）=（3x4-ex+5cosx-1）,=（3x4）-（ex）+（5cosx）-

（1）,=12x3-ex-5sinx.,f（0）=（12x3-ex-5sinx）|x=0=-1,又（x4）=4x3，,例1设f（x）=3x4ex+5cosx-1，求f（x）及f（0）.,例2设y=xlnx，,求y.,解根据乘法公式，有,y=（xlnx）,=x（lnx）+（x）lnx,解根据除法公式，有,例4设f（x）=tanx，,求f（x）.,即,同理可得,（tanx）=sec2x.,（cotx）=-csc2x.,解,例5设y=secx，,求y.,解根据推论2，有,即,同理可得,（secx）=secxtanx.,（cscx）=-cscxcotx.,另外可求得,（以后补证）,常用导数公式,二、复合函数的微分法,定理2设函数y=f（u），u=（x）均可导，,则复合函数y=f（x）也可导.,且,或,或,即,证设变量x有增量x，,由于u可导，,相应地变量u有增量u，,从而y有增量y.,推论设y=f（u），u=（v），v=（x）均可导，则复合函数y=f（x）也可导，,且,例6设y=（2x+1）5，求y.,解把2x+1看成中间变量u，,y=u5，u=2x+1,复合而成，,所以,将y=（2x+1）5看成是,由于,例7设y=sin2x，求y.,解这个函数可以看成是y=sinxsinx,可利用乘法的导数公式，,将y=sin2x看成是由y=u2，u=sinx复合而成.,而,所以,这里，,我们用复合函数求导法.,例8设y=lncosx，求y.,解y=lncosx可以看成是由y=lnu,u=cosx复合而成.,而,所以,解y=etanx可以看成是由y=eu，u=tanx复合而成，,所以,例9设y=etanx，求y.,复合函数求导数熟练后，中间变量可以不必写出.,求y.,解将中间变量u=1-x2记在脑子中.,这样可以直接写出下式,例10,例11,解,例12设f（x）=arcsin（x2），求f（x）.,解,例11,解,解这个复合函数有三个复合步骤,把这些中间变量都记在脑子中,例14,解,例15,求y.,解,解先用除法的导数公式，遇到复合时，再用复合函数求导法则.,例17设y=sin（xlnx），,求y.,解先用复合函数求导公式，再用乘法公式,y=cos（xlnx）（xlnx）,=cos（xlnx）（x（lnx）+xlnx）,=（1+lnx）cos（xlnx）.,例18求sin2xln（1-x）.,解先用乘法公式求导，遇到复合时再用复合函数求导.,例19,解先用复合函数求导公式，,再用加法求导公式，,然后又会遇到复合函数的求导.,例20设y=shx，,求y.,解,即,（shx）=chx.,同理可得,（chx）=shx.,补证一下（x）=x-1.,所以,（x）=（elnx）,=elnx（lnx）,