一阶微分方程.docx

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一阶微分方程

第八章常微分方程

§1一阶微分方程

【考试要求】

1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.

2.掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法.

3.会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程.

一、基本概念

1.微分方程：

含有自变量、未知函数以及未知函数的导数或微分的方程叫做微分方程.

2.微分方程的阶：

微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.

3.微分方程的解：

如果某函数代入微分方程，能使该方程成为恒等式，那么称这个函数为该微分方程的解.

4.微分方程的通解：

解中含有任意常数的个数（独立）与方程的阶数相等的解称为该微分方程的通解.

5.初始条件：

阶微分方程的初始条件为：

.

6.微分方程的特解：

满足某个初始条件的解（不含任意常数）.

二、一阶微分方程的分类及解法

1.可分离变量的微分方程

标准形式

.

解法

两边积分

得通解.

2.齐次方程

标准形式

解法作变量代换

，则

，

，

代入方程得

，

化为可分离变量的微分方程求解.

注可化为齐次型的方程

.

（1）当

时是齐次微分方程；

（2）当

时，令

可化为可分离变量的微分方程；

（3）当

且

与

不同时为零时，

解方程组

求其解为

，令

可化为齐次微分方程.

3.一阶线性微分方程

标准形式

.

（1）

当

时，

，

（2）

称

（2）为齐次的，

当

时，称

（1）为非齐次的.

解法1直接利用公式求通解

.

解法2常数变易法

先求

（1）对应的齐次方程

（2）的通解为

.（3）

再在（3）中令

代入

（1）得

（1）的通解为

.

注一阶线性微分方程解的结构：

一阶非齐次线性微分方程的通解等于其对应齐次方程的通解与它的一个特解的和.

4.伯努利方程（数二、三不要求）

标准形式

.

解法令

，则

，原方程化为