提公因式法分解因式典型例题.docx
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因式分解
(1)
一知识点讲解
知识点一:
因式分解概念:
把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做因式分解,也叫做把这个多项式分解因式。
1.因式分解特征:
因式分解的结果是几个整式的乘积。
2.因式分解与整式乘法关系:
因式分解与整式的乘法是相反方向的变形
整式乘法
因式分解
知识点二:
寻找公因式
1、小学阶段我们学过求一组数字的最大公因(约)数方法:
(短除法)
例如:
求20,36,80的最大公(约)数?
最大公倍数?
2、寻找公因式的方法:
,,
,
1.确定公因式的系数
当多项式中各项系数是整数时,公因式的系数是多项式中各项系数的最大公因数;
当多项式中各项系数是分数时,则公因式的系数为分数,而且分母取各项系数中分母的最小公倍数,分子取各项系数中分子的最大公因数。
2.确定相同字母
公因式的字母是各项都含有的字母
3.看次数
相同字母的指数取最低次数
4.看整体
如果多项式中含有相同的多项式,应将其看成整体不要拆开。
5.看符号
若多项式的首项是,则公因式的符号一般为负。
知识点三:
因式分解的方法(重点)
(一)因式分解的第一种方法(提公因式法)(重点):
1.提取公因式法:
如果多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提到括号外面,把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形,这种因式分解的方法叫做提公因式法。
2.符号语言:
3.提公因式的步骤:
(1)确定公因式
(2)提出公因式并确定另一个因式(依据多项式除以单项式)
4.注意事项:
因式分解一定要彻底
二、例题讲解
模块1:
考察因式分解的概念
1.(2017春峄城区期末)下列各式从左到右的变形,是因式分解的是()
A、B、
C、D、
2.(2017秋抚宁县期末)下列各式从左到右的变形,是因式分解的是()
A、B、
C、D、
3.(2017秋姑苏区期末)下列从左到右的运算是因式分解的是()
A、B、
C、D、
4.(2017秋华德县校级期末)下列各式从左到右的变形,是因式分解的是()
A、B、
C、D、
5.(2017春新城区校级期中)下列各式从左到右的变形是因式分解的是()
A、B、
C、D、
6.(2016秋濮阳期末)下列式子中,从左到右的变形是因式分解的是()
A、B、
C、D、
模块2:
考察公因式
1.(2017春抚宁县期末)多项式的公因式是()
A、B、C、D、
2.(2017春东平县期中)把多项式分解因式,应提的公因式是()
A、B、C、D、
3.(2017秋凉州区末)多项式与的公因式是()
A、C、B、D、
4.(2017春邵阳县期中)多项式的公因式是()
A、B、C、D、
5.(2016春深圳校级期中)多项式各项的公因式是()
A、B、C、D、
6.下列各组代数式中没有公因式的是()
A、与B、与
C、与D、与
7.观察下列各组式子:
①和;②和;③和;④和。
其中有公因式的是()
A、①②B、②③C、③④D、①④
模块3:
利用提公因式法分解因式
①因式分解的第一种类型:
直接提取公因式
1、分解因式:
(1)
(2)(3)
(4)(5)(6)
②因式分解的第二种类型:
变形后提取公因式
2.分解因式:
(1)
(2)
③因式分解的第三种类型:
分组后提取公因式
3.分解因式:
(1)
(2)
模块4:
提公因式法的综合应用
类型1:
利用提公因式法进行简便计算
1.利用简便方法计算:
(1)
(2)
类型2:
利用提公因式法进行化简求值
2.先分解因式,在计算求值:
其中x=1.5
3.(2016秋唐河县期末)已知:
,,求的值。
4.已知,,求多项式的值。
5.若,用因式分解法求的值.
6.若,则=。
7.不解方程组,求的值。
类型3:
拔高培优题型
8.(2015杭州模拟)已知可因式分解成,其中、、均为整数,求的值。
9.已知多项式有一个因式为,另一个因式为,求的值。
10.求证:
能被整除。
11.已知满足,求的值。
(都是正整数)
12.(学霸题中题★★★)若是的一个因式,则的值为()
A、B、C、D、
13.(2017合肥月考★★★)要使多项式能分解为两个整系数一次多项式之积,则不大于100的自然数的个数为()
A、8B、9C、10D、11
14.(2016秋靖远县期末)阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题:
(1)上述分解因式的方法是,共应用了次。
(2)若分解,则需应用上述方法次,结果是。
(3)分解因式:
(为正整数)。
一、选择题
1.(2017开县一模)当互为相反数时,代数式的值为()
A、B、C、D、
2.(2016秋乳山期末)边长为的长方形周长为12,面积为10,则的值为()
A、B、C、D、
3.(2017春蚌埠期末★)计算:
所得的结果是()
A、B、C、D、
4.(2017春乐亭县期末)能被下列数整除的是()
A、B、C、D、
5.(2017春源城区校级月考)把多项式分解因式的结果是()
A、B、C、D、
6.(2017春阳谷县期末)把分解因式得()
A、B、C、D、
7.(2017春北湖区校级期中)整式的值()
A、不是负数B、恒为正数C、恒为负数D、结果的符号不确定
8.(2016赵县模拟)若,,则的值是()
A、B、C、D、
9.(2016春高密市期末)将因式分解,应提的公因式是()
A、B、C、D、
10.(2016春临清市期末)计算,得()
A、B、C、D、
11.(2016春深圳期末)若,,则代数式的值为()
A、B、C、D、
12.(2016秋美兰区校级期中)若,,则等于()
A、B、C、D、
13.(2016秋简阳市期中)如果多项式可分解为,则为()
A、B、C、D、
14.(2016春深圳期中)若,,则的值为()
A、B、C、D、
15.(2016春港南区期中)设,,则与的关系是()
A、B、C、D、互为相反数
16.(2016春锡山区校级月考)计算:
的结果是()
A、B、C、D、
17.(2016春宿州校级月考)下列运算中,因式分解正确的是()
A、B、
C、D、
18.(2015春杭州期末)多项式可以因式分解成,则的值是()
A、B、C、D、
19.(2015春莲湖区校级月考)把多项式分解因式的结果是()
A、B、
C、D、
二、填空题
1.(2016潍坊模拟)分解因式:
=。
2.(2017潍坊)因式分解:
=。
3.(2017崇安区一模)分解因式的结果是。
4.(2016秋内江期末)因式分解:
=。
5.(2016滨海县二模)分解因式:
=。
6.(2017春醴陵市期末)因式分解:
=。
7.(2017春碑林区校级期中)分解因式=。
8.(2016陕西校级三模)分解因式:
=。
9.(2017沂源县一模)因式分解的结果为。
10.(2016春寿光市期末)计算:
=。
11.(2015秋孟津县期末)简便计算:
=。
12.(2017春宜兴市期中)把多项式提出一个公因式后,另一个因式是。
13.(2016安徽模拟)已知长和宽分别为的长方形,其面积等于15,周长等于16,则=。
14.(2016北京)如图中的四边形均为矩形,根据图形,写出一个正确的等式。
16.(2015秋黄山期末)若,,则的值为。
17.(2016秋望谟县期末)已知,,则的值为。
18.(2017春临泽县校级期中)若,,则的值为。
19.(2017秋越秀区期末)化简:
=。
三、解答题。
1.(2015春乐平市期末)若,。
求的值。
2.用提公因式法将下列各式分解因式:
(1)
(2)
10