等腰三角形名师点拨Word文档下载推荐.docx

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①当x=1cm时，10-2x=8（cm）；

②当x=2cm时，10-2x=6（cm）；

③当x=3cm时，10-2x=4（cm）；

④当x=4cm时，10-2x=2（cm）.

又由三角形三边关系可知，①②不满足三角形三边关系.

∴这个三角形的三边有两种；

3cm，3cm，4cm或4cm，4cm，2cm.

答案：

3cm，3cm，4cm或4cm，4cm，2cm

综合应用题

例6如图14－65所示，在△ABC中，AB=AC=CD，AD=DB，求∠BAC的度数.

（分

学生做一做

（1）如图14－66所示，已知AB=AC，BC=CD=AD，求∠B的度数；

（1）如图14－67所示，已知BD=CD=AC，∠B=18°

，求∠ACB的度数.

老师评一评

（1）

（2）题中都有几个等腰三角形，有许多相等的角，可设其中某一个角，再把其余的角表示出来.

（1）∵AB=AC，BC=CD=AD，

∴∠B=∠ACB，∠2=∠B，∠1=∠A.

设∠1=∠A=α，则∠2=∠B=2a，∠3=∠B-∠1=a.

在△BCD中，∠B+∠2+∠3=180°

，

∴2α+2α+α=180°

∴5α=180°

，∴α=36°

∴∠B=2α=2×

36°

=72°

（2）∵BD=CD=AC，

∴∠1=∠B，∠2=∠A.

又∵∠2=∠1+∠B=2∠B，∠B=18°

∴∠2=2×

18°

=36°

.∴∠A=36°

∴∠ACB=180°

-∠A-∠B=180°

-36°

-18°

=126°

例8如图14－69所示，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC外角∠DAC的平分线.试判断AF与BC的位置关系.

（分析）主要考查等腰三角形性质的应用.

解：

AE与BC的位置关系是AE∥BC.理由如下：

∵AB=AC，∴∠B=∠C.

又∵∠DAC=∠B+∠C=2∠C，AE是∠DAC的平分线；

∴2∠EAC=∠DAC，

∴∠C=∠EAC，

∴AE∥BC（内错角相等，两直线平行）.

学生做一做

（1）如图14－69所示，在△ABC中，AB=AC，AE∥BC.求证AE是△BAC的外角∠DAC的平分线；

（2）如图14－69所示，在△ABC中，AE是∠BAC的外角∠DAC的平分线，且AE∥BC.试判断△ABC的形状.

老师评一评本题意在考查如果把已知问题中的条件与结论互换，看得到的新命题是否成立，有利于培养学生灵活分析问题和解决问题的能力.

（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C.

又∵AE∥BC，∴∠EAC=∠C（两直线平行，内错角相等），

∠DAE=∠B（两直线平行，同位角相等）.

∴∠EAC=∠DAE.

∴AE是∠DAC的平分线.

（2）△ABC是等腰三角形.理由如下：

∵AE是∠DAC的平分线，

∴∠DAE=∠EAC.

又∵AE∥BC，

∴∠DAE=∠B，∠EAC=∠C，

∴∠B=∠C，

∴AB=AC（等角对等边）.

∴△ABC是等腰三角形

）.

学生做一做

（1）在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，垂足为D，若∠DBC=25°

，则∠A=；

（2）在△ABC中，AB=AC，若∠B=70°

，BD⊥AC，垂足为D，则∠DBC=.

老师评一评由例11的结论得出；

（1）题中，∠DBC=25°

=

∠A，∴∠A=50°

.

（2）题中，∵AB=AC，∴∠B=∠C=70°

.∴∠A=40°

.∴∠DBC=20°

例12如图14－73所示，在△ABC中，∠C=90°

，∠BAC=60°

，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，若CE=3cm，求BE的长.

（分析）主要应用线段垂直平分线的性质和30°

角的直角三角形的性质.

连接AE，

∵∠C=90°

∴∠B=30°

又∵DE是AB的垂直平分线，

∴EA=EB.∴∠EAB=∠B=30°

∴∠CAE=30°

∴AE是∠CAB的平分线.

又∵∠C=90°

，ED⊥AB，

∴DE=EC=3cm.

在Rt△DBE中，∠B=30°

，∠EDB=90°

∴DE=

BE，∴BE=2×

3=6（cm）.

学生做一做如图14－74所示，在Rt△ABC中，∠C=90°

，∠B=15°

，AB的垂直平分线分别与BC，AB交于M，N.求证MB=2AC.

老师评一评连接MA，

∴∠C=90°

∴∠CAB=75°

又∵MN是AB的垂直平分线，

∴MA=MB.

∴∠MAB=∠B=15°

∴∠CAM=∠CAB-∠MAB=75°

-15°

=60°

∴∠CMA=30°

在Rt△CMA中，∠C=90°

，∠CMA=30°

∴CA=

MA.∴CA=

MB.

即MB=2AC.

小结在直角三角形中证明线段的一半或2倍关系时，经常考虑30°

角所对的直角边.

探索与创新题

主要考查：

（1）利用等腰三角形知识探索和创新的能力；

（2）图形分割；

（3）辅助线的灵活应用；

（4）探讨结论性问题等。

例13如图14-75所示，已知点O是∠ABC，∠ACB的平分线的交点，且OD∥AB，OE∥AC.

（1）图形中共有哪几个等腰三角形？

选一者证明之；

（2）试说明△ODE的周长与BC的关系；

（3）若BC=12cm，则△ODE的周长.

（分析）本题

（1）问主要是等腰三角形的判定；

（2）问是探讨两者间的数量关系，由

（1）可得；

（3）问由

（2）问的结果得出.

（1）图形中共有两个等腰三角形，它们分别是△OBD和△OCE.

以△OBD为例.

∵BO平分∠ABC，∴∠1=∠2.

又∵OD∥AB，∴∠1=∠3.

∴∠2=∠3.∴DB=OD.

∴△OBD是等腰三角形.

（2）由

（1）可知，DB=DO.同理EO=EC.

∴△ODE的周长=OD+DE+EO=DB+DE+EC=BC.

∴△ODE的周长与BC的关系是：

△ODE的周长=BC.

（3）由

（2）可知，△ODE的周长=BC.

又∵BC=12cm，

∴△ODE的周长=12cm.

学生做一做如图14－76所示，在△ABC中，BO，CO分别为∠ABC，∠ACB的平分线，经过点O的直线DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E.

（1）图中等腰三角形分别是；

（2）DE与BD+EC的关系是：

BD=.

老师评一评欲证等腰三角形，需证角相等.

（1）∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC.

又∵BO平分∠ABC，∴∠ABO=∠OBC.

∴∠DOB=∠ABO.∴DB=DO.

∴△DBO是等腰三角形.

同理EO=EC.

∴△EOC是等腰三角形.

（2）DE=DO+OE=BD+EC，

∴DE=BD+EC.

例14如图14－77所示，在△ABC中，∠ACB=90°

，BD=BC，AE=AC.试问：

∠DCE是否与∠A有关？

如果无关，求∠DCE的大小.

∠DCE与∠A无关，∠DCE=45°

.理由如下：

∵BD=BC，∴∠BDC=∠BCD.

∴∠BDC=

（180°

-∠B）=90°

-

∠B.

又∵AE=AC，∴∠AEC=∠ACE.

∴∠AEC=

-∠A）=90°

∠A.

∴∠AEC+∠BDC=（90°

∠A）+（90°

∠B）

=180°

（∠A+∠B）.

又∵∠ACB=90°

∴∠BDC+∠AEC=180°

×

90°

=135°

∴∠BDC+∠AEC=135°

∴∠DCE=45°

例15如图14－78所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C.求证AB+BD=CD.

（分析）如何利用条件∠B=2∠C，又如何得到AB+BD，不同的思考方向，会找到不同的解题方法.

证明：

在CD上截取DE=DB，连接AE，

∵AD⊥BC，∴AE=AB.

∴∠B=∠AEB.

又∵∠AEB=∠C+∠CAE=2∠C，

∴∠CAE=∠C.∴AE=EC.

∴AB+BD=AE+BD=EC+ED=CD.

∴AB+BD=CD.

例16（2003·

杭州）如图14－79所示，∠AOP=∠BOP=15°

，PC∥OA，PD⊥OA，若OC=4，则PD等于（）

A.4B.3C.2D.1

（分析）本题中有角平分线、平行线，这是等腰三角形的重要形成条件，另外，PD⊥OA于D，显然需要作另外一个垂直，这是角平分线性质的一个重要应用.

如图14－80所示，

过点P作PE⊥OB于E.

又∵OP平分∠BOA，PD⊥OA于D.

∴PD=PE.

∵PC∥OA，∴∠2=∠3.

又∵∠1=∠2，∠1=15°

∴∠3=15°

，CO=CP.

∴∠4=∠1+∠3=2∠1=15°

2=30°

在Rt△CPE中，∠4=30°

，∠CEP=90°

∴PE=

PC=

OC=

4=2.

∴PD=2，故正确答案为C项.

学生做一做如图14－81所示，已知矩形ABCD，沿对角线AC把△DAC翻折，AD′与BC相交于点E.判断△AEC的形状.

老师评一评△AEC是等腰三角形，关键是证明∠EAC=∠ECA.

理由如下：

由题意可知，△ADC≌△AD′C，

∴∠DAC=∠D′AC.

又∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACE.

∴∠D′AC=∠ACE.∴EA=EC.

∴△EAC是等腰三角形.

小结

（1）证明线段相等是最基本的几何问题，目前常用证法有：

①若两条线段属于两个三角形，则考虑对应的三角形全等；

②若两条线段是同一个三角形两边，则考虑用等角对等边证明；

③寻找中间线段，通过等量代换来证明.

（2）类似地，我们可以对证明角相等，等边三角形的判定作归纳总结.

在证明等腰三角形时，常需应用作辅助线构造全等三角形，进而应用等腰三角形的性质为题目服务，常用的构造方法有：

①“角平分线+平行线”构造等腰三角形；

②“角平分线+垂线”构造等腰三角形；

③用“垂直平分线”构造等腰三角形；

④用“三角形中角的2倍关系”构造等腰三角形.

中考展望点击中考

中考命题总结与展望

这部分内容在中考中多以填空、选择的形式出现，在综合题中，等腰三角形的性质和判定的知识较为常见。

中考试题预测

例1（2004·

黄冈）如图14－82所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°

，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F.求证BF=2CF.

（分析）证线段2倍关系，通常考虑在直角三角形中是否有30°

角.

如图14－83所示，连接AF，

∵AB=AC，∠BAC=120°

∴∠B=∠C=

=30°

又∵EF是AC的垂直平分线，

∴FA=FC.∴∠C=∠FAC=30°

∴∠BAF=∠BAC-∠FAC=120°

-30°

=90°

在Rt△BAF中，∠BAF=90°

，∠B=30°

∴AF=

BF.∴CF=

BF.

∴BF=2CF.

例2（2004·

四川）如图14－84所示，D是△ABC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且BF=CE.求证：

（1）△ABC是等腰三角形；

（2）当∠A=90°

时，试判断四边形AFDE是什么形状的四边形.

（分析）

（1）只需证△BFD≌△CED，证∠B=∠C即可.

（2）只需证邻边相等，因为邻边相等的长方形是正方形.

（1）∵DF⊥AB，DE⊥AC，

∴∠BFD=∠CED=90°

又∵D是BC的中点，∴BD=CD.

在Rt△BFD和Rt△CED中，

∴Rt△BFD≌Rt△CED（HL）.

∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）.

∴△ABC是等腰三角形.

时，四边形AFDE是正方形.

∵∠AFD=∠AED=∠A=90°

∴四边形AFDE是长方形.

由

（1）知△BFD≌△CED，∴FD=ED.

∴四边形AFDE是正方形.

例3（2004·

陕西）如图14－85所示，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE交于一点P，若∠A=50°

，则∠BPC的度数是（）

A.150°

B.130°

C.120°

D.100°

（分析）本题主要考查：

（1）直角三角形两锐角互余；

（2）三角形内角和是180°

.具体过程如下：

∵BE⊥AC，CD⊥AB，

∴∠AEB=∠ADC=90°

又∵∠A=50°

∴∠ABE=∠ACD=90°

-50°

=40°

∴∠ABC+∠ACB=180°

-∠A=130°

∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）-（∠ABE+∠ACD）

=130°

-（40°

+40°

）=50°

∴∠BPC=180°

-（∠PBC+∠PCB）=180°

=130°

∴∠BPC=130°

.故正确答案为B项.

例4（中考预测题）如图14－86所示，在梯形ABCD中，AB=AD，AD∥BC，∠A=100°

，试求∠DBC的度数.

（分析）本题要求一个角的度数，已知条件中的AD∥BC恰与角有密切联系，所以应该充分利用.

由AD=AB知，∠ADB=∠ABD（等腰三角形的底角相等），由AD∥BC知，∠ADB=∠DBC（两直线平行，内错角相等）.

可见∠ABD=∠DBC.

而∠A+∠ABC=180°

（两直线平行，同旁内角互补），

∠A=100°

，所以100°

+2∠DBC=180°

可以得出∠DBC=40°

例5（2004·

青海）如图14－87所示，把一张平行四边形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，BE与AD相交于点O，若∠DBC=15°

，则∠BOD=.

（分析）由题意可知△BDC≌△BDE.

∴∠DBC=∠DBE.

又∵AD∥BC，∴∠ODB=∠DBC.

∴∠OBD=∠ODB.

又∵∠DBC=15°

∴∠OBD=∠ODB=15°

∴∠BOD=180°

2=150°

课堂小结本节归纳

本节主要学习了：

（1）等腰三角形的概念、性质和判定；

（2）等边三角形的概念、性质和判定；

（3）直角三角形（有一个角是30°

的直角三角形）的性质.

习题选解课本习题

课本第149～151页

习题14.3

1.

（1）35°

，35°

（2）80°

，20°

或50°

，50°

2.证明：

∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC.

又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC.

∴∠ADB=∠ABD，∴AB=AD（等角对等边）.

3.解：

∵五角星的五个角都是顶角为36°

的等腰三角形，

∴每个底角的度数是

）=72°

∴∠AMB=180°

-72°

=108°

4.解：

∵AB=AC，∠BAC=100°

-100°

）=40°

又∵AD⊥BC，∴AD是∠BAC的平分线，

∴∠BAD=∠CAD=

100°

=50°

5.解：

△ECB是等腰三角形.理由如下：

∵CE∥AD，∴∠A=∠CEB.

又∵∠A=∠B，∴∠CEB=∠B.∴CE=CB.

∴△CBE是等腰三角形.

6.证明：

又∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED.

∴∠ADB=∠AEC.

在△ABD和△ACE中，

∴△ABD≌△ACE（AAS）

∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）.

7.解：

∵AB=AC，∠A=40°

∴∠ABC=∠C=

-40°

）=70°

又∵MN是AB的垂直平分线，∴DA=DB.

∴∠A=∠DBA=40°

∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°

9.解：

∵∠PAB=∠PBA，∴PA=PB.这是利用了等腰三角形的判定

10.解：

∵∠NBC=84°

，∠NAC=42°

，∠NBC=∠NAC+∠C，

84°

=42°

+∠C，∴∠C=42°

.∴BC=BA.

又∵BA=15×

（10-8）=30（海里），

∴BC=30海里.

即从海岛B到灯塔C的距离是30海里.

11.证明：

∵△ABD，△AEC都是等边三角形，

∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°

∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，

即∠DAC=∠BAE.

在△ADC和△ABE中，

∴△ADC≌△ABE（SAS）.

∴DC=BE.

12.解：

等腰三角形两底角的平分线相等，等腰三角形两腰上的中线相等，等腰三角形两腰上的高相等.以等腰三角形两腰上的高相等为例证明.

已知：

如图14－88所示，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D，E.

求证：

BD=CE.

∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.

又∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BEC=∠CDB=90°

在Rt△BCE和Rt△CBD中，

∴Rt△BCE≌Rt△CBD（AAS）.

13.提示：

（1）∠ECD=∠EDC；

（2）OC=OD；

（3）OE是CD的垂直平分线.

∵OE平分∠AOB，ED⊥OB，EC⊥OA，垂足分别为D，C，

∴ED=EC.∴∠EDC=∠ECD.

在Rt△ODE和Rt△OCE中，

∴Rt△ODE≌Rt△OCE（HL）.

∴OD=OC.∴△ODC是等腰三角形.

又∵OE是∠DOC的平分线，

∴OE是底边CD上的高和中线.

即OE是线段DC的垂直平分线.

14.解：

如图14－89所示.

作法如下：

作∠CAB的平分线AD，交于BC于点D，再作DE上AB，垂足为E.

∴∠CAB=60°

.∴∠1=∠2=30°

又∵DE⊥AB，∠C=90°

，∴∠C=∠AED=90°

在Rt△ACD和Rt△AED中，

∴Rt△ACD≌Rt△AED（AAS）.

又∵∠2=∠B=30°

，∴DA=DB.

又∵DE⊥AB，∴∠AED=∠BED=90°

在Rt△ADE和Rt△BDE中，

∴Rt△ADE≌Rt△BDE（AAS）.

∴Rt△ADC≌Rt△ADE≌Rt△BDE.

自我评价知识巩固

1.等边三角形的两条中线所成的钝角的度数是（）

A.120°

C.150°

D.160°

2.设等腰三角形的顶角为∠A，则∠A的取值范围是（）

A.0°

≤∠A＜180°

B.0°

＜∠A＜180°

C.0°

D.0°

＜∠A＜90°

3.一个三角形的外角分别是135°

，90°

，135°

，则这个三角形是（）

A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

4.如果等腰三角形一底角为α，那么（）

A.α≤45°

B.0°

＜α＜90°

C.α≤90°

D.90°

＜α＜180°

5.等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（）

A.顶角B.顶角的一半C.顶角的2倍D.底角的一半

6.如图14－90所示，在△ABC中，AB=AC，BD，CE是角平分线，图中的等腰三角形共有（）

A.6个B.5个C.4个D.3个

7.如图14－91所示，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN∥BC，MN经过点O，若AB=12，AC=18，则△AMN的周长是（）

A.15B.18C.24D.30

8.如图14－92所示，O是∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD∥AB，交BC于D，OE∥AC交BC于E，若BC=10cm，则面DOE的周长为（）

A.8cmB.9cmC.10cmD.11cm

9.在△ABC中，若AB=AC，∠A=90°

，则∠B=，∠C=.

10.如果一个三角形的两个内角分别为70°

，40°

，那么这个三角形是.

11.在△ABC中，AB=AC，∠A=60°

，则∠B=，∠C=，△ABC是三角形.

12.已知等腰三角形的一个底角等于顶角的2倍，这个等腰三角形各角的度数分别是.

13.如图14-93所示，BD是△ABC的角平分线，∠A=36°

，∠C=72°

，则图中共有个等腰三角形，它们分别是.

14.

（1）如果等腰三角形的两边长分别是4cm，7cm，那么它的周长是；

（2）如果等腰三角形的两边长分别是5cm和10cm，则这个等腰三角形的周长是.

15.等腰三角形两腰上的高、中线，两底角平分线分别.

16.在等腰三角形中，如果顶角是一个底角的2倍，那么这个三角形是三角形.

17.若三角形是轴对称图形，且有一个角是60°

，则这个三角形是三角形.

18.一个等腰三角形的周长为18cm，一边长为4cm，求其他两边的长.

19.如图14－94所示，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，交AB于D，交AC于E，求证△ADE也是等腰三角形.

20.如图14－95所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，试证明BD是∠ABC的平分线.

21.如图14－96所示