平行四边形经典题型(培优提高).doc
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中心对称与平行四边形的判定
知识归纳
1.中心对称图形的定义:
把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原图形重合,那么就说这个图形是中心对称图形,这个点就是它的对称中心.
分析:
一个图形;围绕一点旋转1800;重合.
2.思考:
中心对称与中心对称图形有什么区别和联系?
1)区别:
中心对称是指两个全等图形之间的位置关系,成中心对称的两个图形中,其中一个图形上所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上,反之,另一个图形上所有点关于对称中心的对称点都在这;而中心对称图形是指一个图形本身成中心对称,中心对称图形上所有点关于对称中心的对称点都在这个图形本身上.
2)联系:
如果将中心对称的两个图形看成一个整体(一个图形),那么这个图形就是中心对称图形;一个中心对称图形也可以看成是关于中心对称的两个图形.
3.中心对称图性质
1)中心对称图形的对称点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心所平分.
2)中心对称图形的两个部分是全等的.
注:
常见的中心对称图形有:
矩形,菱形,正方形,平行四边形,圆,边数为偶数的正多边形,某些规则图形等.
正偶边形是中心对称图形
正奇边形不是中心对称图形如:
正三角形不是中心对称图形、等腰梯形不是中心对称图形
4.平行四边形的性质:
①平行四边形两组对边相等。
②平行四边形两组对角相等。
③平行四边形对角线互分平分。
5.平行四边形判定:
定理1、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
定理2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
定理3、对角线互相平分的四边形是平行四边形。
定理4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
6.三角形的中位线定理:
三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。
7.逆定理1:
在三角形内,与三角形的两边相交,平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
逆定理2:
在三角形内,经过三角形一边的中点,且与另一边平行的线段,是三角形的中位线。
第四节:
中心对称图形
课堂练习
1.下列图形中,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是()
A.正三角形B.平行四边形C.等腰直角三角形D.正六边形
2.下列图形中,不是中心对称图形的是()
3.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是().
4.下三图是由三个相同的小正方形拼成的图形,请你再添加一个同样大小的小正方形,使所得的新图形分别为下列A,B,C题要求的图形,请画出示意图.
(1)是中心对称图形,但不是轴对称图形;
(2)是轴对称图形,但不是中心对称图形;
(3)既是中心对称图形,又是轴对称图形.
第五节:
平行四边形的判定
例题讲解
例1:
判断下列说法的正误,如果错误请画出反例图
① 一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形。
()
② 一组对边相等,另一组对边平行的四边形是平行四边形. ()
③ 一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形. ()
④ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.()
⑤ 两组邻角互补的四边形是平行四边形。
()
⑥ 相邻两个角都互补的四边形是平行四边形。
()
⑦ 对角互补的四边形是平行四边形 ()
⑧ 一条对角线分四边形为两个全等三角形,这个四边形是平行四边形()
⑨ 两条对角线相等的四边形是平行四边形 ()
例2:
如图所示,平行四边形ABCD中,M、N分别为AD、BC的中点,连结AN、DN、BM、CM,且AN、BM交于点P,CM、DN交于点Q.四边形MGNP是平行四边形吗?
为什么?
变式1:
□ABCD中,E在AB上,F在CD上,且AE=CF,求证:
FM=NEME=NF
课堂练习:
1.点A,B,C,D在同一平面内,从四个条件中
(1)AB=CD,
(2)AB∥CD,(3)BC=AD,(4)BC∥AD中任选两个,使四边形ABCD是平行四边形,这样的选法有( )
A.3种 B.4种 C.5种 D.6种
2.如图所示,□ABCD的对角线AC、BD交于O,EF过点O交AD于E,交BC于F,G是OA的中点,H是OC的中点,四边形EGFH是平行四边形,说明理由.
3.如图:
在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD>BC,BC=6cm,AD=9cm,P、Q分别A、C同时出发,P以1cm/s的速度由A向D运动,Q以2cm/s的速度由C向B运动, __ 秒时直线QP将四边形截出一个平行四边形.
4.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,将△ABC沿直线BC向右平移2.5个单位得到△DEF,AC与DE相交于G点,连接AD,AE,则下列结论中成立的是 ____ .
①四边形ABED是平行四边形;②△AGD≌△CGE;
③△ADE为等腰三角形;④AC平分∠EAD.
5.在平面直角坐标系XOY中,有A(3,2),B(﹣1,﹣4),P是X轴上的一点,Q是Y轴上的一点,若以点A,B,P,Q四个点为顶点的四边形是平行四边形,则Q点的坐标是 _________ .
6.如图1,图2,△ABC是等边三角形,D、E分别是AB、BC边上的两个动点(与点A、B、C不重合),始终保持BD=CE.
(1)当点D、E运动到如图1所示的位置时,求证:
CD=AE.
(2)把图1中的△ACE绕着A点顺时针旋转60°到△ABF
的位置(如图2),分别连接DF、EF.
①找出图中所有的等边三角形(△ABC除外),并对其中一个给予证明;
②试判断四边形CDFE的形状,并说明理由.
7.如图,以△ABC的三条边为边向BC的同一侧作等边△ABP、等边△ACQ,等边△BCR,求证:
四边形PAQR为平行四边形。
8.等边三角形ABC的边长为a,P为△ABC内一点,且PD∥AB,PE∥BC,PF∥AC,那么,PD+PE+PF的值为一个定值.这个定值是多少?
请你说出这个定值的来历.
9.如图所示,M、N分别为平行四边形ABCD边BC、CD上的点,且MN∥BD,则AND的面积ABM的面积怎样?
请说明理由.
第9题
N
B
C
A
D
M
10.如图,某村有一口呈四边形的池塘,在它的四个角A、B、C、D处均种有一棵大核桃树,这村准备开挖池塘建养鱼池,想使池塘面积扩大一倍,又想保持核桃树不动,并要求扩建后的池塘成平行四边形形状,请问这村能否实现这一设想?
若能,请你设计并画出图形;若不能,请说明理由.
11.如图,四边形ABCD是一块某地示意图,EFG是流经这块菜地的水渠,水渠东边的地属张家承包,西边的地属李家承包,现村委会在田园规划中需将流经菜地的水渠取直,并要保持张、李两家的承包土地面积不变,请你设计一个挖渠的方案,就在给出的图形上画出设计示意图,并说明理由.
第六节:
三角形的中位线
1.如图,△ABC中,AB=AC=6,BC=8,AE平分∠BAC交BC于点E,点D为AB的中点,连接DE,则△BDE的周长是( )
A.7+ B.10 C.4+2 D.12
2.如图,已知四边形ABCD中,R,P分别是BC,CD上的点,E,F分别是AP,RP的中点,当点P在CD上从C向D移动而点R不动时,那么下列结论成立的是( )
A.线段EF的长逐渐增大 B.线段EF的长逐渐减少
C.线段EF的长不变 D.线段EF的长与点P的位置有关
3.如图DE是△ABC的中位线,F是DE的中点,CF的延长线交AB于点G,则AG:
GD等于( )
A.2:
1 B.3:
1 C.3:
2 D.4:
3
4.如图,在四边形ABCD中,AD=BC,E,F,G分别是AB,CD,AC的中点,若∠DAC=20°,∠ACB=66°,则∠FEG等于( )
A.47° B.46° C.11.5° D.23°
5.如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,且BN⊥AN,垂足为N,且AB=6,BC=10,MN=1.5,则△ABC的周长是( )
A.28 B.32 C.18 D.25
6.如图,在△ABC中,D、E、F分别为BC、AC、AB的中点,AH⊥BC于点H,FD=8cm,则HE的值为( )
A.20cm B.16cm C.12cm D.8cm
7.已知:
如图所示,在△ABC中,点D,E,F分别为BC,AD,CE的中点,且S△ABC=4cm2,则阴影部分的面积为 _________ cm2.
8.如下图,已知BE、CD分别是△ABC的角平分线,并且AE⊥BE于E点,AD⊥DC于D点.求证:
(1)DE∥BC;
(2).
9.如图,已知四边形中,对角线和相交于点,,、分别是、的中点,、分别交、于、。
求证:
是等腰三角形。
A
D
C
B
M
N
O
F
E
10.已知:
如图,在四边形ABCD中,AD=BC,M、N分别是AB、CD的中点,AD、BC的延长线交MN于E、F.
求证:
∠DEN=∠F.
课下练习
1.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A.平行四边形 B.正八边形 C.等腰梯形 D.等边三角形
2.下面的说法中,正确的是( )
A.对角分别相等的四边形是平行四边形 B.两边分别相等的四边形是平行四边形 C.一组对边平行的四边形是平行四边形 D.一组对边相等的四边形是平行四边形
3.根据下列条件,能作出平行四边形的是( )
A.两组对边的长分别是3和5
B.相邻两边的长分别是3和5,且一条对角线长为9
C.一边的长为7,两条对角线的长分别为6和8
D.一边的长为7,两条对角线的长分别为6和5
4.如图,DE是△ABC的中位线,M是DE的中点,CM的延长线交AB于点N,则S△DMN:
S四边形ANME等于( )
A.1:
5 B.1:
4 C.2:
5 D.2:
7
5.如图,已知矩形ABCD中,R、P分别是DC、BC上的点,E、F分别是AP、RP的中点,当P在BC上从B向C移动而R不动时,那么下列结论成立的是( )
A.线段EF的长逐渐增大 B.线段EF的长逐渐减小
C.线段EF的长不改变 D.线段EF的长不能确定
6.如图:
A1,B1,C1分别是BC,AC,AB的中点,A2,B2,C2分别是B1C1,A1C1,A1B1的中点…这样延续下去.已知△ABC的周长是1,△A1B1C1的周长是L1,△ABC的周长是L2…AnBnCn的周长是Ln,则Ln= _________ .
7.