高考数学一轮平面的基本性质与空间两条直线的位置关系Word文档下载推荐.docx
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1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×
”）
（1）两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．（ ）
（2）两两相交的三条直线可以确定一个平面．（ ）
（3）如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．（ ）
（4）若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面．（ ）
[答案]
（1）×
（2）×
（3）×
（4）×
2．（教材改编）如图39 1所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为____________．
图39 1
60°
[连结B1D1，D1C（图略），则B1D1∥EF，
故∠D1B1C为所求的角，
又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°
.]
3．下列命题正确的有____________．（填序号）
①梯形可以确定一个平面；
②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
①③ [①③正确，②④错误．②中两直线的位置关系可能平行、相交或异面；
④中若三个点不共线，则两平面重合．]
4．（2016·
山东高考改编）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的____________条件．
充分不必要条件 [由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；
反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．]
5．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是________．
[答案]b与α相交或b⊂α或b∥α
平面的基本性质
如图39 2，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：
（1）E，C，D1，F四点共面；
（2）CE，D1F，DA三线共点．
图39 2
[证明]
（1）如图，连结EF，CD1，A1B.
∵E，F分别是AB，AA1的中点，
∴EF∥BA1.
又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，
∴E，C，D1，F四点共面．
（2）∵EF∥CD1，EF<
CD1，
∴CE与D1F必相交，设交点为P，
则由P∈直线CE，CE⊂平面ABCD，
得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，
∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．
[规律方法] 1.证明线共面或点共面的常用方法：
（1）直接法：
证明直线平行或相交，从而证明线共面．
（2）纳入平面法：
先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．
（3）辅助平面法：
先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．
2．证明点共线问题的常用方法：
（1）基本性质法：
一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质3证明这些点都在这两个平面的交线上．
（2）纳入直线法：
选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．
[变式训练1] 如图39 3所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC綊AD，BE綊FA，G，H分别为FA，FD的中点．
图39 3
（1）证明：
四边形BCHG是平行四边形；
（2）C，D，F，E四点是否共面？
为什么？
【导学号：
62172214】
[解]
（1）证明：
由已知FG＝GA，FH＝HD，得GH綊AD.
又BC綊AD，
∴GH綊BC，∴四边形BCHG是平行四边形．
（2）C，D，F，E四点共面，理由如下：
由BE綊AF，G为FA的中点知BE綊GF，
∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.
由
（1）知BG∥CH，∴EF∥CH，
∴EF与CH共面．
又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面.
空间直线的位置关系
（1）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是____________．（填序号）
①l与l1，l2都不相交；
②l与l1，l2都相交；
③l至多与l1，l2中的一条相交；
④l至少与l1，l2中的一条相交．
（2）（2017·
郑州模拟）在图39 4中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________（填上所有正确答案的序号）．
① ② ③ ④
图39 4
（1）④
（2）②④ [
（1）由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．
（2）图①中，直线GH∥MN；
图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；
图③中，连结MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；
图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面，所以在图②④中，GH与MN异面．]
[规律方法] 1.异面直线的判定方法：
（1）反证法：
先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．
（2）定理：
平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．
2．点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系．
[变式训练2] a，b，c表示不同的直线，M表示平面，给出四个命题：
①若a∥M，b∥M，则a∥b或a，b相交或a，b异面；
②若b⊂M，a∥b，则a∥M；
③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；
④若a⊥M，b⊥M，则a∥b.其中正确的为____________．（填序号）
①④ [对于①，当a∥M，b∥M时，则a与b平行、相交或异面，①为真命题．②中，b⊂M，a∥b，则a∥M或a⊂M，②为假命题．命题③中，a与b相交、平行或异面，③为假命题．由线面垂直的性质，命题④为真命题，所以①④为真命题．]
异面直线所成的角
（1）如图39 5，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为____________．
图39 5
（2）（2016·
全国卷Ⅰ改编）平面α过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为____________．
（1）
（2） [
（1）连结BC1，易证BC1∥AD1，
则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．
连结A1C1，由AB＝1，AA1＝2，
则A1C1＝，A1B＝BC1＝，
在△A1BC1中，由余弦定理得
cos∠A1BC1＝＝.
（2）设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1.
∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m.
又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，
∴B1D1∥m1，∴B1D1∥m.
∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1，
且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1，
同理可证CD1∥n.
因此直线m与n所成的角与直线B1D1与CD1所成的角相等，即∠CD1B1为m，n所成的角．
在正方体ABCDA1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形，
故直线B1D1与CD1所成角为60°
，其正弦值为.]
[规律方法] 1.求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：
利用图中已有的平行线平移；
利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移；
补形平移．
2．求异面直线所成角的三个步骤：
（1）作：
通过作平行线，得到相交直线的夹角．
（2）证：
证明相交直线夹角为异面直线所成的角．
（3）求：
解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．
[变式训练3] 如图39 6，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________.【导学号：
62172215】
图39 6
[取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连结C1D，AD，
则因为C是圆柱下底面弧AB的中点，
所以AD∥BC，
所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，
所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD.
因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，
所以C1D＝AD，
所以直线AC1与AD所成角的正切值为，
所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为.]
[思想与方法]
1．主要题型的解题方法
（1）要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内（即“纳入法”）．
（2）要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上．
2．判定空间两条直线是异面直线的方法
（1）判定定理：
（2）反证法：
证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．
3．求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为相交直线的夹角，体现了转化与化归思想．
[易错与防范]
1．异面直线不同在任何一个平面内，不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线．
2．直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”．
3．两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．
课时分层训练（三十九）
A组 基础达标
（建议用时：
30分钟）
一、填空题
1．在下列命题中，不是公理的是（ ）
①平行于同一个平面的两个平面相互平行；
②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；
③如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内；
④如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
① [①不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；
②③④是平面的基本性质公理．]
2．已知a，b，c为三条不重合的直线，已知下列结论：
①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；
②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；
③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.其中正确的个数为____________．
1 [法一：
在空间中，若a⊥b，a⊥c，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以①②错，③显然成立．
法二：
构造长方体或正方体模型可快速判断，①②错，③正确．]
3．（2016·
南京模拟）下列命题中正确的是____________．（填序号）
①空间四点中有三点共线，则此四点必共面；
②三个平面两两相交的三条交线必共点；
③空间两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
④平面α和平面β可能只有一个交点．
① [由公理3的推论1可知①正确；
其余均错误．]
4．已知α，β为两个不重合的平面，A，B，M，N为相异四点，a为直线，则下列推理错误的是____________．（填序号）
①A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β；
②M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN；
③A∈α，A∈β⇒α∩β＝A.
③ [由公理1及公理2可知①②正确，③错误．]
5．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，E，F分别是棱A1A，C1C的中点．若∠BFC＝60°
，则∠ED1D＝____________.
【导学号：
62172216】
[∵BF∥D1E，DD1∥CF，
∴由等角定理可知∠BFC＝∠ED1D＝60°
6．已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为____________．
[连结DF，
则AE∥DF，
∴∠D1FD即为异面直线AE与D1F所成的角．
设正方体棱长为a，则D1D＝a，DF＝a，D1F＝a，
∴cos∠D1FD＝＝.]
7.如图39 7所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：
图39 7
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线MN与AC所成的角为60°
.
其中正确的结论为________．（注：
把你认为正确的结论序号都填上）
③④ [由题图可知AM与CC1是异面直线，AM与BN是异面直线，BN与MB1为异面直线．
因为D1C∥MN，所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角，且角为60°
8.如图39 8所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________．
图39 8
[取A1C1的中点E，连结B1E，ED，AE，
在Rt△AB1E中，∠AB1E即为所求，
设AB＝1，则A1A＝，AB1＝，B1E＝，AE＝，故∠AB1E＝60°
9．如图39 9，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.
62172217】
图39 9
4 [取CD的中点为G（图略），由题意知平面EFG与正方体的左、右侧面所在平面重合或平行，从而EF与正方体的左、右侧面所在的平面平行或EF在平面内，所以直线EF与正方体的前、后侧面及上、下底面所在平面相交．故直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.]
10.如图39 10是正四面体（各面均为正三角形）的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，
图39 10
①GH与EF平行；
②BD与MN为异面直线；
③GH与MN成60°
角；
④DE与MN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是____________．
②③④ [把正四面体的平面展开还原，如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°
角，DE⊥MN.]
二、解答题
11.如图39 11，空间四边形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，且满足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，过E、F、G的平面交AD于点H.
图39 11
（1）求AH∶HD；
（2）求证：
EH，FG，BD三线共点．
[解]
（1）∵＝＝2，∴EF∥AC，
∴EF∥平面ACD，而EF⊂平面EFGH，
平面EFGH∩平面ACD＝GH，
∴EF∥GH，∴AC∥GH.
∴＝＝3.∴AH∶HD＝3∶1.
（2）证明：
∵EF∥GH，且＝，＝，
∴EF≠GH，∴四边形EFGH为梯形．
令EH∩FG＝P，则P∈EH，而EH⊂平面ABD，
又P∈FG，FG⊂平面BCD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，
∴P∈BD.∴EH，FG，BD三线共点．
12.如图39 12，E，F分别是长方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点，求证：
四边形B1EDF是平行四边形.【导学号：
62172218】
图39 12
证明：
设Q是DD1的中点，连结EQ，QC1，如图．因为E是AA1的中点，Q是DD1的中点，所以EQ綊A1D1.
又A1D1綊B1C1，所以EQ綊B1C1，
所以四边形EQC1B1为平行四边形，所以B1E綊C1Q.
又Q，F分别是D1D，C1C的中点，
所以QD綊C1F，
所以四边形DQC1F为平行四边形，
所以C1Q綊DF.
故B1E綊DF，所以四边形B1EDF是平行四边形．
B组 能力提升
15分钟）
1．设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是____________．
①若AC与BD共面，则AD与BC共面；
②若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线；
③若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC；
④若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC.
③ [①中，若AC与BD共面，则A，B，C，D四点共面，则AD与BC共面；
②中，若AC与BD是异面直线，则A，B，C，D四点不共面，则AD与BC是异面直线；
③中，若AB＝AC，DB＝DC，AD不一定等于BC；
④中，若AB＝AC，DB＝DC，可以证明AD⊥BC.]
2.如图39 13，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°
，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为________．
图39 13
[取DE的中点H，连结HF，GH.
由题设，HF綊AD，
∴∠GFH为异面直线AD与GF所成的角（或其补角）．
在△GHF中，可求HF＝，
GF＝GH＝，
∴cos∠GFH＝＝.]
3．空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°
，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小．
图39 14
[解] 如图，取AC的中点G，连结EG，FG，则EG綊AB，FG綊CD，
由AB＝CD知EG＝FG，
∴∠GEF（或它的补角）为EF与AB所成的角，∠EGF（或它的补角）为AB与CD所成的角．
∵AB与CD所成的角为30°
，
∴∠EGF＝30°
或150°
由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，
当∠EGF＝30°
时，∠GEF＝75°
；
当∠EGF＝150°
时，∠GEF＝15°
故EF与AB所成的角为15°
或75°
4．已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.
求证：
（1）D，B，F，E四点共面．
（2）若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线．
[证明]
（1）∵E，F分别为D1C1，C1B1的中点，
∴连结D1B1（图略），易知EF∥D1B1.
在正方体ABCDA1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD.
所以EF，BD确定一个平面．
即D，B，F，E四点共面．
（2）在正方体ABCDA1B1C1D1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，
又设平面BDEF为β，
因为Q∈A1C1，所以Q∈α.
又因为Q∈EF，所以Q∈β，则Q是α与β的公共点，
同理，P点也是α与β的公共点，
所以α∩β＝PQ.
又因为A1C∩β＝R，所以R∈A1C，
则R∈α且R∈β，
则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．
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