立体几何阶段检测四Word文档格式.docx
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8.如图为棱长是1的正方体的表面展开图,在原正方体中,给出下列三个命题:
①点M到AB的距离为;
②三棱锥C-DNE的体积是;
③AB与EF所成的角是.其中正确命题的个数是（ ）.
A.0B.1C.2D.3
9.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面均相切,已知这个球的体积是,那么这个三棱柱的体积是（ ）.
A.96B.16C.24D.48
10.在正四面体P-ABC中,点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,则下面四个结论不成立的是（ ）.
A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAE
C.平面PDF⊥平面ABCD.平面PDF⊥平面PAE
11.（2012北京模拟）如图,在四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A'
BCD,使平面A'
BD⊥平面BCD,则下列结论正确的是（ ）.
A.A'
C⊥BDB.∠BA'
C=90°
C.CA'
与平面A'
BD所成的角为30°
D.四面体A'
BCD的体积为
12.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N分别在线段AB1,BC1上,且AM=BN.以下结论:
①AA1⊥MN;
②A1C1∥MN;
③MN∥平面A1B1C1D1;
④MN与A1C1异面,其中有可能成立的个数为（ ）.
二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上）
13.已知圆锥的母线长为2,高为,则该圆锥的侧面积是 .
14.（2012辽宁高考）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 .
15.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱A1B1,A1D1的中点,则A1B与EF所成角的大小为 .
16.某几何体的三视图如图,则该几何体体积的最大值为 .
三、解答题（本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）如图,在四面体ABCD中,E,G分别为BC,AB的中点,F在CD上,H在AD上,且有DF∶FC=DH∶HA=2∶3.求证:
EF,GH,BD交于一点.
18.（12分）如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,D1D⊥平面ABCD,底面ABCD是平行四边形,AB=2AD,AD=A1B1,∠BAD=60°
.
（1）证明:
AA1⊥BD;
（2）证明:
CC1∥平面A1BD.
19.（12分）（2012上海高考改编）如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,D是PC的中点.已知∠BAC=,AB=2,AC=2,PA=2.求:
（1）三棱锥P-ABC的体积;
（2）异面直线BC与AD所成的角的余弦值.
20.（12分）如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,O是AC与BD的交点,SO⊥平面ABCD,E是侧棱SC的中点,直线SA和AO所成角的大小是45°
（1）求证:
直线SA∥平面BDE;
（2）求直线BD与平面SBC所成角的正弦值.
21.（12分）已知如图所示的▱ABCD中,BC=2,BD⊥CD,正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直,G,H分别是DF,BE的中点.
GH∥平面CDE;
（2）记CD=x,V（x）表示四棱锥F-ABCD的体积,求V（x）的表达式;
（3）当V（x）取最大值时,求平面ECF与平面ABCD所成二面角的平面角的正弦值.
22.（12分）如图是某直三棱柱被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图,在直观图中,M是BD的中点,侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示.
（1）求出该几何体的体积;
（2）若N是BC的中点,求证:
AN∥平面CME;
（3）求证:
平面BDE⊥平面BCD.
答案
1.B
2.C 解析:
①中l与m可能相交;
②对;
③中要求m与n为两相交直线时才成立;
④为面面垂直的性质定理,正确.
3.A 解析:
若两直线为异面直线,则两直线无公共点,反之不一定成立.
4.C 解析:
根据斜二测画法规则将直观图还原,可知选C.
5.D 解析:
设圆锥的底面半径为r,依题意可得扇形的弧长为πl,
从而圆锥的底面半径为r=πl÷
2π=l,
圆锥的高为l,
所以圆锥的侧面积S侧=π·
·
l=,圆锥的表面积S表=+ππl2.
所以,表面积与侧面积的比值为4∶3.
6.D 解析:
①中面MNP∥面AB,
∴AB∥面MNP;
③中MP∥AB,
∴AB∥面MNP.
7.C 解析:
当甲成立,即“相交直线l,m都在平面α内,并且都不在平面β内”时,若“l,m中至少有一条与平面β相交”,则“平面α与平面β相交”成立;
若“平面α与平面β相交”,则“l,m中至少有一条与平面β相交”也成立,故选C.
8.D 解析:
将展开图还原到正方体,如图所示.
则M到AB的距离为MC=,①正确;
VC-DNE=×
1=,②正确;
∵EF∥MC,MC⊥AB,∴AB与EF所成的角为,③正确.
9.D 解析:
由题意可知:
球的直径就是三棱柱的高,正三棱柱底面内切圆就是球的大圆.
又∵V球=πr3=,∴r=2,2r=4=h.
如图,OD=r=2,∴OB=4.
∴BE=6,BD=2,BC=4.
∴V三棱柱=Sh=×
4×
6×
4=48.
10.C 解析:
P点到平面ABC上的射影为△ABC的中心,它不在DF上,故平面PDF不垂直于平面ABC.
11.B 解析:
∵A'
B=A'
D=1,BD=,
∴BA'
⊥DA'
又∵面A'
BD⊥面BCD,且CD⊥BD,
∴CD⊥面A'
BD.
∴CD⊥A'
B,∴BA'
⊥面A'
CD.
⊥A'
C,即∠BA'
12.A 解析:
取特殊值,使M,N分别为线段AB1,BC1上的中点,取B1B的中点为E,连接NE,EM,
则NE∥B1C1,ME∥A1B1,又NE∩ME=E,B1C1∩A1B1=B1,故平面MNE∥平面A1B1C1D1,③对;
又A1A⊥平面A1B1C1D1,故A1A⊥平面MNE,①对;
连接A1B,∵M是A1B的中点,
∴M在A1B上,MN是△A1C1B的中位线,MN∥A1C1,②对;
当N与B重合,M与A重合,此时MN与A1C1异面,④对.
13.2π 解析:
圆锥底面半径为1,则圆锥侧面积S=πrl=2π.
14.12+π 解析:
如图所示,由已知得该几何体为一组合体,上面是底面圆半径为1,高为1的圆柱,下面是长为4,宽为3,高为1的长方体,如图所示.
故所求体积V=π×
12×
1+4×
3×
1=12+π.
15. 解析:
连接B1D1,D1C,B1C.
由题意EF是△A1B1D1的中位线,
所以EF∥B1D1.又A1B∥D1C,
所以A1B与EF所成的角等于B1D1与D1C所成的角.因为△D1B1C为等边三角形,
所以∠B1D1C=.
故A1B与EF所成角的大小为.
16. 解析:
由三视图知该几何体为三棱锥,记为S-ABC,其中SA⊥面ABC,底面ABC为直角三角形.
∠BAC=90°
设AB=1,SA=x,AC=y,
则x2+y2=6.
利用不等式得x2+y2=6≥2xy,∴xy≤3.
又体积V=×
AB×
AC×
SA
=xy≤·
3=.
17.证明:
连接GE,FH.
因为E,G分别为BC,AB的中点,
所以GE∥AC.
又因为DF∶FC=DH∶HA=2∶3,
所以FH∥AC.
所以FH∥GE,GH,EF不平行.
所以E,F,H,G四点共面.
所以四边形EFHG是一个梯形.
设GH和EF交于一点O.
因为O在平面ABD内,又在平面BCD内,
所以O在这两个平面的交线上.
因为这两个平面的交线是BD,且交线只有这一条,所以点O在直线BD上.
这就证明了GH和EF的交点也在BD上,
所以EF,GH,BD交于一点.
18.证明:
（1）因为AB=2AD,
所以设AD=a,则AB=2a.
又因为∠BAD=60°
所以在△ABD中,由余弦定理得:
BD2=（2a）2+a2-2a×
2a×
cos60°
=3a2,所以BD=a.
所以AD2+BD2=AB2,故BD⊥AD.
又因为D1D⊥平面ABCD,所以D1D⊥BD.又因为AD∩D1D=D,
所以BD⊥平面ADD1A1,故AA1⊥BD.
（2）连接AC,设AC∩BD=O,连接A1O,
由底面ABCD是平行四边形得:
O是AC的中点,由四棱台ABCD-A1B1C1D1知:
平面ABCD∥平面A1B1C1D1,
因为这两个平面同时都和平面ACC1A1相交,交线分别为AC、A1C1,故AC∥A1C1.
设AD=a,则AB=2a,BC=a,∠ABC=120°
所以可由余弦定理计算得AC=a.
又因为A1B1=a,B1C1=a,∠A1B1C1=120°
所以可由余弦定理计算得A1C1=a,
所以A1C1∥OC且A1C1=OC,
故四边形OCC1A1是平行四边形,
所以CC1∥A1O.
又CC1⊄平面A1BD,A1O⊂平面A1BD,
所以CC1∥平面A1BD.
19.解:
（1）S△ABC=×
2×
2=2,三棱锥P
ABC的体积为V=S△ABC×
PA=×
2=.
（2）取PB的中点E,连接DE,AE,
则ED∥BC,
所以∠ADE（或其补角）是异面直线BC与AD所成的角.
在△ADE中,DE=2,AE=,AD=2,
cos∠ADE=,
因此,异面直线BC与AD所成的角的余弦值是.
20.解:
（1）连接OE,
因为四边形ABCD是正方形,所以O是AC的中点.
又因为E是侧棱SC的中点,所以OE∥SA.
又OE⊂平面BDE,SA⊄平面BDE,
故直线SA∥平面BDE.
（2）建立如图所示的空间直角坐标系,
则D（0,-2,0）,
B（0,2,0）,S（0,0,2）,C（-2,0,0）.
∴=（0,-4,0）,=（-2,-2,0）,=（0,2,-2）.
设平面SBC的法向量为n=（x,y,1）,
则有
解得∴n=（-1,1,1）.
直线BD与平面SBC所成的角记为θ,
则sinθ=.
21.
（1）证法1:
∵EF∥AD,AD∥BC,
∴EF∥BC且EF=AD=BC.
∴四边形EFBC是平行四边形.
∴H为FC的中点.
又∵G是FD的中点,∴HG∥CD.
∵HG⊄平面CDE,CD⊂平面CDE,
∴GH∥平面CDE.
证法2:
连接EA,
∵ADEF是正方形,∴G是AE的中点.
∴在△EAB中,GH∥AB.
又∵AB∥CD,∴GH∥CD.
（2）解:
∵平面ADEF⊥平面ABCD,交线为AD,且FA⊥AD,∴FA⊥平面ABCD.
∵BD⊥CD,BC=2,CD=x,
∴FA=2,BD=（0<
x<
2）.
∴S▱ABCD=CD·
BD=x.
∴V（x）=S▱ABCD·
FA=（0<
（3）解:
要使V（x）取得最大值,即使x（0<
2）取得最大值,
∵x2（4-x2）≤=4,当且仅当x2=4-x2,即x=时V（x）取得最大值.
解法1:
在平面DBC内过点D作DM⊥BC于M,连接EM,
∵BC⊥ED,∴BC⊥平面EMD.
∴BC⊥EM.
∴∠EMD是平面ECF与平面ABCD所成二面角的平面角,
∵当V（x）取得最大值时,CD=,DB=,
∴DM=BC=1,EM=.∴sin∠EMD=.
即平面ECF与平面ABCD所成二面角的平面角的正弦值为.
解法2:
以点D为坐标原点,DC所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图所示,
则D（0,0,0）,C（,0,0）,B（0,,0）,E（0,0,2）,
∴=（0,0,2）,=（,0,-2）,
=（0,,-2）,
设平面ECF与平面ABCD所成的二面角为θ,平面ECF的法向量n=（a,b,c）,
由n⊥,n⊥,得
令c=1得n=（,1）.
又∵平面ABCD的法向量为,
∴cosθ=,
∴sinθ=.
即当V（x）取最大值时,平面ECF与平面ABCD所成二面角的平面角的正弦值为.
直观图
22.
（1）解:
在四棱锥B-ACDE中,
平面ABC⊥平面ACDE,AB⊥AC,
所以,AB⊥平面ACDE.
又AC=AB=AE=2,CD=4,
则四棱锥B-ACDE的体积:
V=SACDE·
AB=×
2=4.
连接MN,则MN∥CD,AE∥CD,又MN=AE=CD,
所以四边形ANME为平行四边形.
所以AN∥EM.
因为AN⊄平面CME,EM⊂平面CME,
所以AN∥平面CME.
（3）证明:
因为AC=AB,N为BC的中点,
所以AN⊥BC.
又平面ABC⊥平面BCD,所以AN⊥平面BCD.
由
（2）知:
AN∥EM,
所以EM⊥平面BCD.
又EM⊂平面BDE,
所以,平面BDE⊥平面BCD.
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