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第一节首先简要回顾一下Muckenhoupt权和Duoandikoetxea径向权的定义及性质,然后介绍Muckenhoupt权在乘积空间R~n×

R~m上的几个等价定义和性质,最后在空间R~n×

R~m上引入一类径向权,并进一步讨论它的性质。

第二节主要阐述下文中需要的一些基本函数空间及其性质。

第二章主要讨论粗糙的强奇异积分T_（Ω,α,β）（α,β≥0）,分数次积分算子和Littlewood-Paley函数在乘积Triebel-Lizorkin空间上的有界性。

首先设S~（N-1）（N=n或者m）是R~N（N≥2）中的单位球面,其上测度为dσ=dσ（·

）。

对于任意非零的z∈R~N,我们定义z'

=（?

粗糙的强奇异积分算子T_（Ω,α）及其极大算子T_（Ω,α）~*定义为对于所有的f∈S（R~n）（速降函数空间）。

其中b是一径向的L~∞函数,Ω∈L~1（S~（n-1））是零次齐次函数,且满足消失性条件其中Y_k是次数k≤[α]的球面调和多项式。

1969年,Wheeden[90]首先研究得到0＜α＜2,b≡1,Ω∈L~1（S~（n-1））∩（0.0.3）时,T_（Ω,α）是（（?

）,L~p）和弱（（?

）,L~1）有界的,其中（?

）是齐次Sobolev空间。

2003年,Chen,Fan和Ying[19]考虑T_（Ω,α）,T_（Ω,l）~*（l是整数）在α＞0的情形,证明了下述定理:

定理0.0.1设1＜p＜∞,（?

）=max{p,p/（p-1）}。

若Ω∈H~r（S~（n-1））,r=（n-1）/（n-1+α）且满足消失性条件（0.0.3）,其中Y_k的次数k≤N,2（N+1）＞α（?

）,则存在与f无关的常数C＞0,使得

随后,文献[11,25]的作者都去掉了α=l的限制,并减弱了定理0.0.1中Ω的消失性,只要求Ω的消失性满足条件（0.0.3）。

[24]中进一步讨论了此算子的加权有界性。

与此同时在文献[18]中,Chen,Fan和Ying还研究了算子T_（Ω,α）在齐次Triebel-Lizorkin空间上的有界性,得到如下定理:

定理0.0.2设1＜q,p＜∞,（?

）=max{p,p/（p-1））,（?

）=max{q,q/（q-1）},α＞0。

若Ω∈H~r（S~（n-1））,r=（n-1）/（n-1+α）且满足消失性条件（0.0.3）,其中Y_k的次数k≤N,4（N+1）＞α（?

则存在与f无关的常数C＞0,使得

粗糙的强奇异积分算子T_（Ω,α,β）（α,β≥0）在乘积空间R~n×

R~m上定义为对于所有的f∈S（R~n×

R~m）,其中b是一径向的L~∞函数,Ω∈L~1（S~（n-1）×

S~（m-1））且满足这里γ_1,γ_2是多重指标,K和J是某个整数。

特别地,当α=0（β=0）时,K=0（J=0）。

当α=β=0时,我们把T_（Ω,α,β）简记为T_Ω,即为通常乘积空间上的奇异积分算子。

1982年,Fefferman和Stein[51]用平方函数的方法证明当b≡1,核Ω满足一定光滑性和消失性时,T_Ω在L~p（R~n×

R~m）上有界,其中1＜p＜∞。

1986年,Duoandikoetea和RubioDeFrancia[43]用Fourier估计结合Littlewood-Paley理论的方法证明在b∈△_2,Ω∈L~r（S~（n-1）×

S~（m-1））∩（0.0.5）,r＞1的条件下上述结论成立。

2002年,Chen[13]用旋转法将核条件减弱为Ω∈L（log~+L）~2（S~（n-1）×

S~（m-1））。

2006年,Al-Salman等在[4]中用不同的方法得到此结果。

期间,许多作者都深入研究了这一问题,改进推广了核的条件,可以参考文献[22,34,35,92,97,99]等。

Wang[86]则将Chen的结果推广到齐次的乘积Triebel-Lizorkin空间（?

对于α,β≥0的情况,Chen在其博士论文[24]中研究得到了如下定理:

定理0.0.3设1＜p＜∞,（?

）=max{p,p/（p-1）},b∈L~∞（R_+~1×

R_+~1）。

设Ω∈L（log~+L）~2（S~（n-1）×

S~（m-1））且满足条件（0.0.5）,其中4（K+1）＞α（?

）,4（J+1）＞β（?

本章还将研究两类算子。

设0＜α＜n,0＜β＜m,粗糙的分数次积分算子F_（Ω,α,β）在乘积空间R~n×

R~m）,其中b∈L~∞（R_+~1×

R_+~1）,Ω∈L~1（S~（n-1）×

设σ∈L~1（R~n×

R~m）,可以定义σ_（s,t）（x,y）=2~（-sn-tm）σ（?

σ_（s,t）的Fourier变换表示为（?

）（ξ,η）=（?

）（2~sξ,2~tη）。

Littlewood-Paleyg函数g（f）在乘积空间上定义为对于所有的f∈S（R~n×

R~m）,其中F_（s,t）（f）（x,y）=σ_（s,t）*f（x,y）。

对于任意实数α,β,我们定义

文献[18]证明了R~n中上述两类算子（单变量情形）在齐次的Triebel-Lizorkin空间上的有界性。

利用Fourier估计与Littlewood-Paley分解理论的相结合的方法,本章将把奇异积分算子T_（Ω,α,β）的有界性推广到齐次的乘积Triebel-Lizorkin空间中。

利用文献[12,96]中的思想,我们同时减弱了[24]中Ω的消失性条件。

使用同样的方法,也得到上述两类算子在此空间的有界性。

主要结果可以概括为

定理0.0.4设1＜q,p＜∞,b∈L~∞（R_+~1×

R_+~1）,（?

）=（α_o,β_o）∈R×

R,（?

）=（α_o+α,β_o+β）。

若Ω满足条件（0.0.5）,其中K≥[α],J≥[β]。

假设

当α,β＞0时,Q∈L~1（S~（n-1）×

S~（m-1））;

当αβ=0且α+β＞0时,Ω∈L（log~+L）（S~（n-1）×

S~（m-1））.则存在与f无关的常数C＞0,使得

定理0.0.5设1＜q,p＜∞,（?

）=max{p,p/（p-1）},（?

）=max{q,q/（q-1）},（?

）=（α_o,αβ_o）∈R×

）=（α_o-α,β_o-β）。

假设Ω∈L~r（S~（n-1）×

S~（m-1））,r＞1。

若0＜α,β＜（?

定理0.0.6设1＜q,p＜∞,（?

）=（α,β）∈R×

R。

若α∈（-μ_2,μ_1）,β∈（-v_2,v_1）且满足-（?

）＜α＜（?

）,-（?

）＜β＜（?

）,其中σ满足条件:

（i）‖（?

）|σ_（s,t）|*f‖_（L~p（R~n×

R~m））≤C‖f‖_（L~p（R~n×

R~m））,（?

）f∈S（R~n×

R~m）,1＜p＜∞,

（ii）|（?

）（ξ,η）|≤Cmin{|ξ|~（μ_1）|η|~（v_1）,|ξ|~（μ_1）|η|~（-v_2）,|ξ|~（-μ_2）|η|~v_1,|ξ|~（-μ_2）|η|~（-v_2）},对某个μ_i,v_i＞0,i=1,2.则存在与f无关的常数C＞0,使得

给出定理0.0.6的一个应用。

设B（u,v）支集在[0,1]~2上且满足记和其中α,β∈R,Ω∈L～1（S~（n-1）×

S~（m-1））满足条件（0.0.5）。

我们很容易得到定理0.0.6的如下推论:

推论0.0.1设（?

）同定理0.0.6中所定义的。

S~（m-1））,r＞1且满足（0.0.5）。

若α,β∈（?

）,则有其中C＞0是与函数,无关的常数。

特别地,令B（u,v）=b（2~su,2~tv）_（χI）（u,v）,其中I=[0,1]~2。

令M_（s,t）（f）（x,y）=σ_（s,t）*f（x,y）,则就是我们所熟知的乘积空间上的Marcinkiewicz积分算子。

推论0.0.2设函数b满足（0.0.9）,其它条件同推论0.0.1,则有其中C＞0是与函数f无关的常数。

第三章主要研究粗糙的极大强奇异积分算子T_（Ω,α,β）~*（α,β≥0）在乘积空间上的有界性。

首先给出它的定义:

对于所有的f∈S（R~n×

R~m）,其中b_1,b_2是径向的L~∞函数,Ω∈L~1（S~（n-1）×

S~（m-1））且满足条件（0.0.5）。

当α=β=0时,我们把T_（Ω,α,β）~*简记为T_Ω~*,即为通常乘积空间上的极大奇异积分算子。

我们简单回顾下其研究历史。

1982年,Fefferman和Stein[51]用平方函数的方法证明当b_1≡b_2≡1,核Ω满足一定光滑性和消失性时,T_Ω~*在L~p（R~n×

1988年,Krug[60]用旋转法得到若b_1≡b_2≡1,Ω∈L~1（S~（n-1）×

S~（m-1））,且Ω（-x'

y'

）=-Ω（x'

）=Ω（x'

）,则T_Ω~*是L~p有界的。

2002年,Wang在其博士论文[86]中证明在b_1,b_2∈L~∞,Ω∈L~r（S~（n-1）×

S~（m-1））∩（0.0.5）,r＞1的条件下上述结论成立,以及当b_1≡b_2≡1,核Ω满足某类Grafakos和Stefanov核条件GS_3~*（γ）∩（0.0.5）,γ＞0时,对于p∈（?

）,T_Ω~*是L~p有界的。

2006年,Al-Salman,Al-Qassem和Pan[4]将核条件减弱为Ω∈L（log~+L）~2（S~（n-1）×

本章进一步推广了上述结果,得到下述主要定理:

定理0.0.7设1＜p＜∞,α,β≥0,b_1,b_2∈L~∞（R_+~1）。

当α,β＞0时,Ω∈L~1（S~（n-1）×

S~（m-1））.则有其中C＞0是与函数f无关的常数。

第四章考虑一类广义的Marcinkiewicz积分在乘积空间上的加权有界性。

1958年,Stein[76]首先在高维空间上定义Marcinkiewicz积分算子μ_Ω为其中Ω∈L~1（S~（n-1））是零次齐次函数且满足消失性条件

他同时讨论了此算子的L~p有界性的。

而后许多作者深入研究了这一问题。

1990年,Torchinsky和Wang[81]证明如果Ω∈Lip_γ,0＜γ≤1,b≡1,则对于1＜p＜∞,μ_Ω是L~p（w）有界的,其中w∈A_p（Muckenhoupt权类）。

1998年,Sato[75]将核条件减弱为Ω∈L~∞（S~（n-1））。

1999年,Ding等[38]证明如果Ω∈L~r（S~（n-1））,r＞1,且满足下列任一条件:

对于r'

＜p＜∞,w∈A_（p/r'

）;

对于1＜p＜r,w~（1-p'

）∈A_（p'

/r'

对于1＜p＜∞,w~（r'

）∈A_p,则上述结论成立。

2002年,Duoandikoetea和Seijo[44]分别用不同的方法得到此结论。

2004年,文献[62]的作者们证明若Ω∈H~1（S~（n-1））,则μ_Ω是加权有界的对于Duoandikoetxea[42]中引进的径向权RA_p（R~n）交上方体权A_p~I（R~n）。

2008年,Zhang[102]引进一类新的径向权（?

）（R~n）（RA_p（?

）A_p~I）,并证明用（?

）取代RA_p∩A_p~I结论仍然成立。

本章我们将研究的一类广义的Marcinkiewicz积分算子μ_（Ω,α,β）（α,β≥0）定义为其中b∈L~∞（R_+~1×

当α=β=0时,我们把μ_（Ω,α,β）简记为μ_Ω,这就是乘积空间上的经典Marcinkiewicz积分算子。

2000年,Chen,Ding和Fan[14]在Ω∈L~r（S~（n-1）×

S~（m-1））∩（0.0.5）,r＞1的条件下证明了μ_Ω的L~p（1＜p＜∞）有界性。

2001年,Chen等[17]将核条件减弱为Ω∈L（log~+L）~2（S~（n-1）×

2002年,他们在[18]中又改进了核条件。

2005年,Al-Salman等[3],Wang等[87]和Li[65]都证明Ω∈L（log~+L）（S~（n-1）×

S~（m-1））∩（0.0.5）时,结论成立。

还有一些不同于上述核空间的研究结果。

可以参看文献[1,64,100]。

关于单变量算子μ_（Ω,α）（α≥0）在齐次Sobolev空间上的有界性可以参考文献[91,58]。

2005年,Jiang[56]继续研究,μ_（Ω,α,β）（α,β≥0）的有界性,结果如下:

定理0.0.8设1＜p＜∞,（?

若Ω∈L（log~+L）~2（S~（n-1）×

S~（m-1））且满足条件（0.0.5）,其中K＞[（?

）-1],J＞[（?

）-1]。

本章仍采用Fourier估计与Littlewood-Paley分解理论相结合的方法,应用乘积空间上权（?

）（R~n×

R~m）的性质,研究了μ_（Ω,α,β）的加权有界性。

同时根据文献[12,96]中的思想,减弱了[56]中Ω的消失性条件。

主要结果可以概括如为:

定理0.0.9设1＜p＜∞,w∈（?

R~m）。

令α,β≥0,b∈L~∞（R_+~1×

Ω∈L~1（S~（n-1）×

S~（m-1））,当α,β＞0时;

Ω∈L（log~+L）（S~（n-1）×

S~（m-1））,当αβ=0且α+β＞0时;

Ω∈L（log~+L）~2（S~（n-1）×

S~（m-1））,当α=β=0时.则有其中C＞0是与函数f无关的常数。

最后一章我们主要讨论变量核参数型Marcinkiewicz积分的有界性。

先给出一些定义。

我们称定义在R~n×

R~m上的函数Ω（x,y）属于L~∞（R~n）×

L~r（S~（n-1））,r≥1,如果Ω满足下列条件:

1.Ω（x,λy）=Ω（x,y）,（?

）x,y∈R~n,λ＞0,

2.‖Ω‖_（L~∞（R~n）×

L~r（S~（n-1）））=sup_（x∈R~n）（（?

）（x,y'

）|~rdσ（y'

））~（1/r）＜∞,其中y'

=y/|y|,（?

）y∈R~n\{0}。

又称Ω满足消失性条件

变量核奇异积分算子T_Ω定义为1948年,Mihlin在文献[69]中首先定义研究了这一算子,也可参看[70]。

1955年,Calderon和Zygmund[8]研究证明了T_Ω的L~2有界性。

1978年,他们又进一步研究了其L~p有界性。

这类算子可以应用于求解变系数的二阶线性椭圆型方程。

本章将研究变量核参数型Marcinkiewicz积分算子μ_Ω~ρ,定义为

若ρ=1,简记μ_Ω~ρ为μ_Ω,即为变量核Marcinkiewicz积分。

2004年,Ding,Lin和Shao[40]证明核Ω满足消失性条件（0.0.15）,如果Ω∈L~∞（R~n）×

L~r（S~（n-1））,r＞（?

）,μ_Ω是L~2有界的,在L~1-Dini条件下是H~1（R~n）到L~1（R~n）有界的,在某类Dini条件下是弱（1,1）的,并且通过插值得到了μ_Ω的L~p（1＜p＜2）的有界性。

文献[95]中得到μ_Ω~ρ的L~2有界性,在0＜ρ＜n,Ω∈L~∞（R~n）×

L~r（S~（n-1））∩（0.0.15）,r＞（?

）的条件下。

Ding和Li[41]同样获得μ_Ω~ρ（0＜ρ≤n/2）的L~2（R~n）有界性。

2007年,Li在[66]中研究得到μ_Ω~ρ（0＜ρ＜n）是L~p（1＜p≤2）有界的,在Ω∈L~∞（R~n）×

L~∞（S~（n-1））且满足（0.0.15）和

本章将采用文献[27]的思想,获得向量值算子的混合模范数估计,从而得到μ_Ω~ρ的L~p有界性,其中Ω关于第二个变量是奇函数。

此外,也进一步推广和改进了文献[40]中的一些结果。

主要结果如下:

定理0.0.10设0＜ρ＜n,Ω∈L~∞（R~n）×

）且满足条件（0.0.15）。

如果Ω（x,y'

）关于第二个变量y'

是奇函数,则对于1＜p≤max{（?

）,2）,存在不依赖于函数f的常数C＞0,使得

定理0.0.11设O＜ρ＜n,Ω∈L~∞（R~n）×

）且满足条件（0.0.15）和L~1-Dini条件。

则对于1＜p≤2,有其中常数C＞0与函数f无关。

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