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1、第一节首先简要回顾一下Muckenhoupt权和Duoandikoetxea径向权的定义及性质,然后介绍Muckenhoupt权在乘积空间RnRm上的几个等价定义和性质,最后在空间RnRm上引入一类径向权,并进一步讨论它的性质。第二节主要阐述下文中需要的一些基本函数空间及其性质。 第二章主要讨论粗糙的强奇异积分T_（,）（,0）,分数次积分算子和Littlewood-Paley函数在乘积Triebel-Lizorkin空间上的有界性。 首先设S（N-1）（N=n或者m）是RN（N2）中的单位球面,其上测度为d=d（）。对于任意非零的zRN,我们定义z=（?粗糙的强奇异积分算子T_（,）及其极大

2、算子T_（,）*定义为对于所有的fS（Rn）（速降函数空间）。其中b是一径向的L函数,L1（S（n-1）是零次齐次函数,且满足消失性条件其中Y_k是次数k的球面调和多项式。 1969年,Wheeden90首先研究得到02,b1,L1（S（n-1）（0.0.3）时,T_（,）是（?）,Lp）和弱（?）,L1）有界的,其中（?）是齐次Sobolev空间。2003年,Chen,Fan和Ying19考虑T_（,）,T_（,l）*（l是整数）在0的情形,证明了下述定理: 定理0.0.1设1p,（?）=maxp,p/（p-1）。若Hr（S（n-1）,r=（n-1）/（n-1+）且满足消失性条件（0.0.3

3、）,其中Y_k的次数kN,2（N+1）（?）,则存在与f无关的常数C0,使得 随后,文献11,25的作者都去掉了=l的限制,并减弱了定理0.0.1中的消失性,只要求的消失性满足条件（0.0.3）。24中进一步讨论了此算子的加权有界性。与此同时在文献18中,Chen,Fan和Ying还研究了算子T_（,）在齐次Triebel-Lizorkin空间上的有界性,得到如下定理: 定理0.0.2设1q,p,（?）=maxp,p/（p-1）,（?）=maxq,q/（q-1）,0。若Hr（S（n-1）,r=（n-1）/（n-1+）且满足消失性条件（0.0.3）,其中Y_k的次数kN,4（N+1）（?则存在与

4、f无关的常数C0,使得 粗糙的强奇异积分算子T_（,）（,0）在乘积空间RnRm上定义为对于所有的fS（RnRm）,其中b是一径向的L函数,L1（S（n-1）S（m-1）且满足这里_1,_2是多重指标,K和J是某个整数。特别地,当=0（=0）时,K=0（J=0）。 当=0时,我们把T_（,）简记为T_,即为通常乘积空间上的奇异积分算子。1982年,Fefferman和Stein51用平方函数的方法证明当b1,核满足一定光滑性和消失性时,T_在Lp（RnRm）上有界,其中1p。1986年,Duoandikoetea和Rubio De Francia43用Fourier估计结合Littlewood

5、-Paley理论的方法证明在b_2,Lr（S（n-1）S（m-1）（0.0.5）,r1的条件下上述结论成立。2002年,Chen13用旋转法将核条件减弱为L（log+L）2（S（n-1）S（m-1）。2006年,Al-Salman等在4中用不同的方法得到此结果。期间,许多作者都深入研究了这一问题,改进推广了核的条件,可以参考文献22,34,35,92,97,99等。Wang86则将Chen的结果推广到齐次的乘积Triebel-Lizorkin空间（?对于,0的情况,Chen在其博士论文24中研究得到了如下定理: 定理0.0.3设1p,（?）=maxp,p/（p-1）,bL（R_+1R_+1）。

6、设L（log+L）2（S（n-1）S（m-1）且满足条件（0.0.5）,其中4（K+1）（?）,4（J+1）（? 本章还将研究两类算子。设0n,0m,粗糙的分数次积分算子F_（,）在乘积空间RnRm）,其中bL（R_+1R_+1）,L1（S（n-1） 设L1（RnRm）,可以定义_（s,t）（x,y）=2（-sn-tm）（?_（s,t）的Fourier变换表示为（?）（,）=（?）（2s,2t）。Littlewood-Paley g函数g（f）在乘积空间上定义为对于所有的fS（RnRm）,其中F_（s,t）（f）（x,y）=_（s,t）*f（x,y）。对于任意实数,我们定义 文献18证明了Rn

7、中上述两类算子（单变量情形）在齐次的Triebel-Lizorkin空间上的有界性。利用Fourier估计与Littlewood-Paley分解理论的相结合的方法,本章将把奇异积分算子T_（,）的有界性推广到齐次的乘积Triebel-Lizorkin空间中。利用文献12,96中的思想,我们同时减弱了24中的消失性条件。使用同样的方法,也得到上述两类算子在此空间的有界性。主要结果可以概括为 定理0.0.4设1q,p,bL（R_+1R_+1）,（?）=（_o,_o）RR,（?）=（_o+,_o+）。若满足条件（0.0.5）,其中K,J。假设 当,0时,QL1（S（n-1）S（m-1）; 当=0且+

8、0时,L（log+L）（S（n-1）S（m-1）.则存在与f无关的常数C0,使得 定理0.0.5设1q,p,（?）=maxp,p/（p-1）,（?）=maxq,q/（q-1）,（?）=（_o,_o）R）=（_o-,_o-）。假设Lr（S（n-1）S（m-1）,r1。若0,（? 定理0.0.6设1q,p,（?）=（,）RR。若（-_2,_1）,（-v_2,v_1）且满足-（?）（?）,-（?）（?）,其中满足条件: （i）（?）|_（s,t）|*f_（Lp（RnRm）Cf_（Lp（RnRm）,（?） fS（RnRm）,1p, （ii）|（?）（,）|C min|（_1）|（v_1）,|（_1）|

9、（-v_2）,|（-_2）|v_1,|（-_2）|（-v_2）,对某个_i,v_i0,i=1,2.则存在与f无关的常数C0,使得 给出定理0.0.6的一个应用。设B（u,v）支集在0,12上且满足记和其中,R,L1（S（n-1）S（m-1）满足条件（0.0.5）。我们很容易得到定理0.0.6的如下推论: 推论0.0.1设（?）同定理0.0.6中所定义的。S（m-1）,r1且满足（0.0.5）。若,（?）,则有其中C0是与函数,无关的常数。 特别地,令B（u,v）=b（2su,2tv）_（I）（u,v）,其中I=0,12。令M_（s,t）（f）（x,y）=_（s,t）*f（x,y）,则就是我们所

10、熟知的乘积空间上的Marcinkiewicz积分算子。 推论0.0.2设函数b满足（0.0.9）,其它条件同推论0.0.1,则有其中C0是与函数f无关的常数。 第三章主要研究粗糙的极大强奇异积分算子T_（,）*（,0）在乘积空间上的有界性。首先给出它的定义:对于所有的fS（RnRm）,其中b_1,b_2是径向的L函数,L1（S（n-1）S（m-1）且满足条件（0.0.5）。 当=0时,我们把T_（,）*简记为T_*,即为通常乘积空间上的极大奇异积分算子。我们简单回顾下其研究历史。1982年,Fefferman和Stein51用平方函数的方法证明当b_1b_21,核满足一定光滑性和消失性时,T_

11、*在Lp（Rn1988年,Krug60用旋转法得到若b_1b_21,L1（S（n-1）S（m-1）,且（-x,y）=-（x）=（x）,则T_*是Lp有界的。2002年,Wang在其博士论文86中证明在b_1,b_2L,Lr（S（n-1）S（m-1）（0.0.5）,r1的条件下上述结论成立,以及当b_1b_21,核满足某类Grafakos和Stefanov核条件GS_3*（）（0.0.5）,0时,对于p（?）,T_*是Lp有界的。2006年,Al-Salman,Al-Qassem和Pan4将核条件减弱为L（log+L）2（S（n-1） 本章进一步推广了上述结果,得到下述主要定理: 定理0.0.7

12、设1p,0,b_1,b_2L（R_+1）。 当,0时,L1（S（n-1）S（m-1）.则有其中C0是与函数f无关的常数。 第四章考虑一类广义的Marcinkiewicz积分在乘积空间上的加权有界性。 1958年,Stein76首先在高维空间上定义Marcinkiewicz积分算子_为其中L1（S（n-1）是零次齐次函数且满足消失性条件 他同时讨论了此算子的Lp有界性的。而后许多作者深入研究了这一问题。1990年,Torchinsky和Wang81证明如果Lip_,01,b1,则对于1p,_是Lp（w）有界的,其中wA_p（Muckenhoupt权类）。1998年,Sato75将核条件减弱为L（

13、S（n-1）。1999年,Ding等38证明如果Lr（S（n-1）,r1,且满足下列任一条件:对于rp,wA_（p/r）;对于1pr,w（1-p）A_（p/r对于1p,w（r）A_p,则上述结论成立。2002年,Duoandikoetea和Seijo44分别用不同的方法得到此结论。2004年,文献62的作者们证明若H1（S（n-1）,则_是加权有界的对于Duoandikoetxea42中引进的径向权RA_p（Rn）交上方体权A_pI（Rn）。2008年,Zhang102引进一类新的径向权（?）（Rn）（RA_p（?）A_pI）,并证明用（?）取代RA_pA_pI结论仍然成立。 本章我们将研究的

14、一类广义的Marcinkiewicz积分算子_（,）（,0）定义为其中bL（R_+1 当=0时,我们把_（,）简记为_,这就是乘积空间上的经典Marcinkiewicz积分算子。2000年,Chen,Ding和Fan14在Lr（S（n-1）S（m-1）（0.0.5）,r1的条件下证明了_的Lp（1p）有界性。2001年,Chen等17将核条件减弱为L（log+L）2（S（n-1）2002年,他们在18中又改进了核条件。2005年,Al-Salman等3,Wang等87和Li65都证明L（log+L）（S（n-1）S（m-1）（0.0.5）时,结论成立。还有一些不同于上述核空间的研究结果。可以参

15、看文献1,64,100。 关于单变量算子_（,）（0）在齐次Sobolev空间上的有界性可以参考文献91,58。2005年,Jiang56继续研究,_（,）（,0）的有界性,结果如下: 定理0.0.8设1p,（?若L（log+L）2（S（n-1）S（m-1）且满足条件（0.0.5）,其中K（?）-1,J（?）-1。 本章仍采用Fourier估计与Littlewood-Paley分解理论相结合的方法,应用乘积空间上权（?）（RnRm）的性质,研究了_（,）的加权有界性。同时根据文献12,96中的思想,减弱了56中的消失性条件。主要结果可以概括如为: 定理0.0.9设1p,w（?Rm）。令,0,b

16、L（R_+1 L1（S（n-1）S（m-1）,当,0时; L（log+L）（S（n-1）S（m-1）,当=0且+0时; L（log+L）2（S（n-1）S（m-1）,当=0时.则有其中C0是与函数f无关的常数。 最后一章我们主要讨论变量核参数型Marcinkiewicz积分的有界性。先给出一些定义。我们称定义在RnRm上的函数（x,y）属于L（Rn）Lr（S（n-1）,r1,如果满足下列条件: 1.（x,y）=（x,y）,（?）x,yRn,0, 2._（L（Rn）Lr（S（n-1）=sup_（xRn）（?）（x,y）|r d（y）（1/r）,其中y=y/|y|,（?） yRn0。又称满足消失性

17、条件 变量核奇异积分算子T_定义为1948年,Mihlin在文献69中首先定义研究了这一算子,也可参看70。1955年,Calderon和Zygmund8研究证明了T_的L2有界性。1978年,他们又进一步研究了其Lp有界性。这类算子可以应用于求解变系数的二阶线性椭圆型方程。 本章将研究变量核参数型Marcinkiewicz积分算子_,定义为 若=1,简记_为_,即为变量核Marcinkiewicz积分。2004年,Ding,Lin和Shao40证明核满足消失性条件（0.0.15）,如果L（Rn）Lr（S（n-1）,r（?）,_是L2有界的,在L1-Dini条件下是H1（Rn）到L1（Rn）有

18、界的,在某类Dini条件下是弱（1,1）的,并且通过插值得到了_的Lp（1p2）的有界性。文献95中得到_的L2有界性,在0n,L（Rn）Lr（S（n-1）（0.0.15）,r（?）的条件下。Ding和Li41同样获得_（0n/2）的L2（Rn）有界性。2007年,Li在66中研究得到_（0n）是Lp（1p2）有界的,在L（Rn）L（S（n-1）且满足（0.0.15）和 本章将采用文献27的思想,获得向量值算子的混合模范数估计,从而得到_的Lp有界性,其中关于第二个变量是奇函数。此外,也进一步推广和改进了文献40中的一些结果。主要结果如下: 定理0.0.10设0n,L（Rn）且满足条件（0.0.15）。如果（x,y）关于第二个变量y是奇函数,则对于1pmax（?）,2）,存在不依赖于函数f的常数C0,使得 定理0.0.11设On,L（Rn）且满足条件（0.0.15）和L1-Dini条件。则对于1p2,有其中常数C0与函数f无关。你的免费硕士论文下载的问题解决了吗？