高中数学学年人教B版高中数学必修3教学案第二章分层抽样数据的收集 可直接打印Word文档下载推荐.docx

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3．一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人，为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别是（　　）

A．12,24,15,9B．9,12,12,7

C．8,15,12,5D．8,16,10,6

解析：

选D　抽样比例为

＝

，故各层中依次抽取的人数为160×

＝8（人），320×

＝16（人），200×

＝10（人），120×

＝6（人）．故选D.

4．某单位有职工160人，其中业务员104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，现用分层抽样法从中抽取一容量为20的样本，则抽取管理人员有（　　）

A．3人B．4人

C．7人D．12人

选B　由

，设管理人员x人，则

，得x＝4.

分层抽样的概念

[典例]　

（1）某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适（　　）

A．系统抽样法　　　　B．简单随机抽样法

C．分层抽样法D．随机数表法

（2）分层抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类（层），然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能抽样，必须进行（　　）

A．每层等可能抽样

B．每层可以不等可能抽样

C．所有层按同一抽样比等可能抽样

D．所有层抽个体数量相同

[解析]　

（1）总体由差异明显的三部分构成，应选用分层抽样．

（2）保证每个个体等可能的被抽取是三种基本抽样方式的共同特征，为了保证这一点，分层抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取．

[答案]　

（1）C　

（2）C

1．使用分层抽样的前提

分层抽样的适用前提条件是总体可以分层、层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小．

2．使用分层抽样应遵循的原则

（1）将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；

（2）分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比．

[活学活用]

下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是（　　）

A．从10名同学中抽取3人参加座谈会

B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125个，中等收入的家庭280个，低收入的家庭95个，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本

C．从1000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间

D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量

选B　A中总体个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样；

C和D中总体个体无明显差异且个数较多，适合用系统抽样；

B中总体个体差异明显，适合用分层抽样.

分层抽样的应用

[典例]　某网站针对“2016年法定节假日调体安排”提出的A，B，C三种放假方案进行了问卷调查，调查结果如下：

支持A方案

支持B方案

支持C方案

35岁以下的人数

200

400

800

35岁以上（含35岁）的人数

100

（1）从所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n人，已知从支持A方案的人中抽取了6人，求n的值；

（2）从支持B方案的人中，用分层抽样的方法抽取5人，这5人中在35岁以上（含35岁）的人数是多少？

35岁以下的人数是多少？

[解]　

（1）由题意得

，

解得n＝40.

（2）35岁以下的人数为

×

400＝4，

35岁以上（含35岁）的人数为5－4＝1.

分层抽样的步骤

（1）计算样本容量与总体的个体数之比．

（2）将总体分成互不交叉的层，按比例确定各层要抽取的个体数．

（3）用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取相应数量的个体．

（4）将各层抽取的个体合在一起，就得到所取样本．　

一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？

并写出具体过程．

解：

因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用分层抽样的方法．

具体过程如下：

（1）将3万人分为5层，其中一个乡镇为一层．

（2）按照样本容量的比例求得各乡镇应抽取的人数分别为60人、40人、100人、40人、60人．

（3）按照各层抽取的人数随机抽取各乡镇应抽取的样本．

（4）将300人合到一起，即得到一个样本.

数据的收集

[典例]　简单设计一份问卷，调查学生对高一各学科的态度．

[解]　请按自己的感受把下面这些学科的序号填在空格里．

①语文　②数学　③外语　④物理　⑤化学

⑥生物　⑦历史　⑧地理　⑨政治　⑩体育

⑪艺术（音乐、美术）　⑫技术

我喜欢的学科

我感觉压力最大的学科

我不喜欢的学科

我觉得有用的学科

我觉得内容多的学科

我觉得内容少的学科

调查问卷中问题设计的要求

（1）问卷中的问题必须设计详细，以便被调查者顺利回答．

（2）把比较容易的，不涉及个人的问题排在比较靠前的位置，较难的、涉及个人的问题放在后面．　　　　

1．高一

（2）班的刘明同学进行一项调查研究，想得到全班同学在初中学业水平考试中的成绩情况，他应选择的最恰当的数据收集方法是（　　）

C．设计调查问卷D．一一询问

选B　学业水平考试成绩可以从考试院的成绩库中进行查询，这属于查阅资料法，显然不适合用试验法及问卷法．

2．为调查小区平均每户居民的月用水量，下面是三名同学设计的方案：

学生甲：

我把这个用水量调查表放在互联网上，只要登陆网站的人就可以看到这张表，他们填的表可以很快地反馈到我的电脑中，这样就可以很快估算出小区平均每户居民的月用水量；

学生乙：

我给我们居民小区的每一个住户发一张用水调查表，只要一两天就可以统计出小区平均每户居民的月用水量；

学生丙：

我在小区的电话号码本上随机地选出一定数量的电话号码，然后逐个给这些住户打电话，问一下他们的月用水量，然后就可以估算出小区平均每户居民的月用水量．

请问：

这三位同学设计的方案中哪一个较合理？

你有何建议？

学生甲的方法得到的样本只能够反映上网居民的用水情况，它是一种方便样本，所得到的样本代表性差，不能很准确地获得平均每户居民的月用水量．

学生乙的方法实际上是普查，花费的人力、物力更多一些，但是如果统计过程不出错，就可以准确地得到平均每户居民的月用水量．

学生丙的方法是一种随机抽样的方法，所在小区的每户居民都装有电话的情况下，建议用随机抽样方法获得数据．用学生丙的方法，既节省人力、物力，又可以得到比较精确的结果．

[层级一　学业水平达标]

1．（北京高考）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为（　　）

类别

人数

老年教师

900

中年教师

1800

青年教师

1600

合计

4300

A.90　　　　　　　　　B．100

C．180D．300

选C　设该样本中的老年教师人数为x，由题意及分层抽样的特点得

，故x＝180.

2．交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为（　　）

A．101B．808

C．1212D．2012

选B　由题意知抽样比为

，而四个社区一共抽取的驾驶员人数为12＋21＋25＋43＝101，故有

，解得N＝808.

3．做饭时为了知道饭煮熟了没有，从饭煲中舀出一勺饭尝尝，这种试验方法________（填“合适”或“不合适”）．

“一勺饭”就是从总体“饭”中获取的样本，通过对样本研究便可知整体的性质，这是生活常识，这种试验方法合适．

合适

4．某公司生产的三种型号的家用轿车，产量分别是1200辆、6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取一个容量为46的样本进行检验，那么这三种型号的轿车依次应取________辆、________辆和________辆．

三种型号的轿车的产量比是1200∶6000∶2000＝3∶15∶5，所以三种型号的轿车分别抽取的辆数是

46＝6（辆），

46＝30（辆），

46＝10（辆）．

6　30　10

[层级二　应试能力达标]

1．某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按

的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为（　　）

A．8B．11

C．16D．10

选A　若设高三学生数为x，则高一学生数为

，高二学生数为

＋300，所以有x＋

＋

＋300＝3500，解得x＝1600.故高一学生数为800，因此应抽取高一学生数为

＝8.

2．某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查，从8～10岁，11～12岁，13～14岁，15～16岁四个年龄段回收的问卷依次为：

120份，180份，240份，x份．因调查需要，从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本，其中在11～12岁学生问卷中抽取60份，则在15～16岁学生中抽取的问卷份数为（　　）

A．60B．80

C．120D．180

选C　11～12岁回收180份，其中在11～12岁学生问卷中抽取60份，则抽样比为

.

∵从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本，

∴从四个年龄段回收的问卷总数为

＝900（份），则15～16岁回收问卷份数为：

x＝900－120－180－240＝360（份）．

∴在15～16岁学生中抽取的问卷份数为360×

＝120（份），故选C.

3．“民以食为天，食以安为先”，食品安全是关系人们身体健康的大事．某店有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（　　）

A．4B．5

C．6D．7

选C　抽样比k＝

，所以抽取植物油类与果蔬类食品种数之和是10×

＋20×

＝2＋4＝6.

4．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案．使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2，…，270；

使用系统抽样时，将学生统一随机编号1,2，…，270，并将整个编号依次分为10段．如果抽得号码有下列四种情况：

①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250；

②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265；

③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254；

④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270.

关于上述样本的下列结论中，正确的是（　　）

A．②、③都不能为系统抽样

B．②、④都不能为分层抽样

C．①、④都可能为系统抽样

D．①、③都可能为分层抽样

选D　因为③可视为系统抽样，所以选项A不对；

因为②可视为分层抽样，所以选项B不对；

因为④不为系统抽样，所以选项C不对．故选D.

5．（福建高考）某校高一年级有900名学生，其中女生400名．按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________．

设应抽取的男生人数为x，则

，解得x＝25.

25

6．为了了解某校学生对数学的喜好情况，对高一八个班学生进行调查，你认为__________方式收集数据最合适．

根据被调查对象的特点和调查的内容进行分析，采用调查问卷方式最合适．

调查问卷

7．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，其相应产品数量之比为2∶3∶5.现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A型号产品有16件，那么此样本的容量n＝________.

由于A，B，C产品数量之比为2∶3∶5，样本中A型号产品有16件，则

，解得n＝80.

80

8．某班班长就全班同学的学习习惯进行了一次普查，他向同学询问了以下三个问题：

（1）你每天有多少时间来写作业？

（2）你上课认真听讲吗？

（3）你抄袭其他同学的作业吗？

说说他设计的这三个问题有什么不足之处．

（1）每天做作业的时间不一定相同，这个问题应该问平均时间．

（2）上课时走神是很多人都会有的习惯，只是程度不同，宜设计为选择题，选择设置为一直认真听讲，偶尔走神，经常走神．

（3）抄袭作业是不好的习惯，很多人不愿意直面回答，调查问卷应该设计为不记名问卷．

9．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%，登山组的职工占参加活动总人数的

，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同的年龄层的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取容量为200的样本．试求：

（1）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；

（2）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．

（1）设登山组人数为x，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a，b，c，

则有

＝47.5%，

＝10%.

解得b＝50%，c＝10%.

故a＝1－50%－10%＝40%.即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%,50%,10%.

（2）游泳组中，抽取的青年人人数为200×

40%＝60；

抽取的中年人人数为200×

50%＝75；

抽取的老年人人数为200×

10%＝15.