判定平行四边形的五种方法.doc
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判定平行四边形的五种方法
平行四边形的判定方法有:
(1)证两组对边分别平行;
(2)证两组对边分别相等;(3)证一组对边平行且相等;(4)证对角线互相平分;(5)证两组对角分别相等。
下面以近几年的中考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。
一、两组对边分别平行
如图1,已知△ABC是等边三角形,D、E分别在边BC、AC上,且CD=CE,连结DE并延长至点F,使EF=AE,连结AF、BE和CF
A
F
B
D
C
E
图1
(1)请在图中找出一对全等三角形,并加以证明;
(2)判断四边形ABDF是怎样的四边形,并说明理由。
解:
(1)选证△BDE≌△FEC
证明:
∵△ABC是等边三角形,
∴BC=AC,∠ACD=60°
∵CD=CE,∴BD=AE,△EDC是等边三角形
∴DE=EC,∠CDE=∠DEC=60°
∴∠BDE=∠FEC=120°
又∵EF=AE,∴BD=FE,∴△BDE≌△FEC
(2)四边形ABDF是平行四边形
理由:
由
(1)知,△ABC、△EDC、△AEF都是等边三角形
∵∠CDE=∠ABC=∠EFA=60°
∴AB∥DF,BD∥AF
∵四边形ABDF是平行四边形。
点评:
当四边形两组对边分别被第三边所截,易证截得的同位角相等,内错角相等或同旁内角相等时,可证四边形的两组对边分别平行,从而四边形是平行四边形。
二、一组对边平行且相等
例2已知:
如图2,在正方形ABCD中,G是CD上一点,延长BC到E,使CE=CG,连结BG并延长交DE于F
(1)求证:
△BCG≌△DCE;
(2)将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′,判断四边形E′BGD是什么特殊四边形?
并说明理由。
分析:
(2)由于ABCD是正方形,所以有AB∥DC,又通过旋转CE=AE′已知CE=CG,所以E′A=CG,这样就有BE′=GD,可证E′BGD是平行四边形。
解:
(1)∵ABCD是正方形,
∴∠BCD=∠DCE=90°又∵CG=CE,△BCG≌△DCE
(2)∵△DCE绕D顺时针
旋转90°得到△DAE′,
∴CE=AE′,∵CE=CG,∴CG=AE′,
∵四边形ABCD是正方形
∴BE′∥DG,AB=CD
∴AB-AE′=CD-CG,即BE′=DG
∴四边形DE′BG是平行四边形
点评:
当四边形一组对边平行时,再证这组对边相等,即可得这个四边形是平行四边形
三、两组对边分别相等
例3如图3所示,在△ABC中,分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD,等边△ACE,等边△BCF。
求证:
四边形DAEF是平行四边形;
分析:
利用证三角形全等可得四边形DAEF的两组对边分别相等,从而四边形DAEF是平行四边形。
解:
∵△ABD和△FBC都是等边三角形
∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠FBA=60°
∴∠DBF=∠ABC
又∵BD=BA,BF=BC∴△ABC≌△DBF
∴AC=DF=AE同理△ABC≌△EFC
∴AB=EF=AD
∴四边形ADFE是平行四边形
点评:
题设中存在较多线段相等关系时,可证四边形的两组对边分别相等,从而可证四边形是平行四边形。
四、对角线互相平分
例4已知:
如图4,平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O,AE⊥BD于E,BF⊥AC于F,CG⊥BD于G,DH⊥AC于H,求证:
四边形EFGH是平行四边形。
图4
分析:
因为题设条件是从四个顶点向对角线引垂线,这些条件与四边形EFGH的对角线有关,若能证出OE=OG,OF=OH,则问题可获得解决。
证明:
∵AE⊥BD,CG⊥BD,
∴∠AEO=∠CGO,
∵∠AOE=∠COG,OA=OC
∴△AOE≌△COG,∴OE=OG
同理△BOF≌△DOH
∴OF=OH
∴四边形EFGH是平行四边形
点评:
当已知条件与四边形两对角线有关时,可证两对角线互相平分,从而证四边形是平行四边形。
五、两组对角相等
例5将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起
四边形ABCD是平行四边形吗?
理由。
(1)如图2,将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置,四边形ABC1D1是平行四边形吗?
说出你的结论和理由:
。
分析:
因为题设与四边形内角有关,故考虑四边形的两组内角相等解决问题。
解:
(1)四边形ABCD是平行四边形,理由如下:
∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°+90°=120°,
∠ADC=∠ADB+∠CDB=90°+30°=120°
又∠A=60°,∠C=60°,
∴∠ABC=∠ADC,∠A=∠C
(2)四边形ABC1D1是平行四边形,理由如下:
将Rt△BCD沿射线方向平移到Rt△B1C1D1的位置时,有Rt△C1BB1≌Rt△ADD1
∴∠C1BB1=∠AD1D,∠BC1B1=∠DAD1
∴有∠C1BA=∠ABD+∠C1BB1=∠C1D1B1+∠AD1B=∠AD1C1,∠BC1D1=
∠BC1B1+∠B1C1D1=∠D1AD+∠DAB=∠D1AB
所以四边形ABC1D1是平行四边形
=
=
点评:
(2)也可这样证明:
由
(1)知ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,将
Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置时,始终有AB∥C1D1,故ABC1D1是平行四边形。
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