《高中物理思维方法集解》随笔系列比较方法在高中物理解题中的应用文档格式.docx
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（一）“形同”质同类
【例题1】如图4—1—1所示，A、B两球体积相同，分别浸没在水和水银的同一深度，A、B用同一种特殊材料制作.当温度稍微升高，球的体积就明显增大，如果水和水银的初温及缓慢升高后的末温都相同，且两球热膨胀后体积也相等，两球也不上升，则
A.A球吸收的热量多B.B球吸收的热量多
C.A、B球吸收的热量一样多D.不能确定吸收热量的多少
【解析】首先依题意，“比较”可知A、B两球体积、浸没深度、材料（反映密度、比热）相同，而的液体（水和水银）则明显存在密度、比热等性质上的不同。
然后，由于水银密度大于水的密度，对A、B两球浸没深度相同；
依据“压力微元”
，整体上，可以判断B球比A球所受外界的压力大。
因而要使B球膨胀到等于A球体积（
相同），必使B球克服压力做的功较多。
接下来，又有初、末温度升高
相同，对于材料、质量、形状等相同的两球而言，内能改变
决定于体积、温度等的改变
和
，可知两球内能改变
必定相同；
最后，由热一律
可知，B球吸收热量也较多。
因此正确答案为：
B。
【点拨】此例属于自身初始条件完全相同（形同），而浸没液体（质异）不同的两个球体吸收热量的对比。
【例题2】如图4—1—2所示，竖直固定在地面上的弹簧原长为AO，一个小球从空中某高处自由下落压缩该竖直弹簧，弹簧被压缩到最低点时长度为BO，在小球下落到弹簧被压缩到最短的过程中，下列说法中正确的是：
A．小球在A处速度最大；
B．小球在A、B中间某处速度最大；
C．在整个运动过程中，小球在空中下落时加速度最大；
D．在整个运动过程中，小球在B点处加速度最大。
【解析】首先，分析易知小球合力为零时速度最大，即B选项正确。
但判断加速度何处最大比较困难。
然后，对小球下落运动过程分析，可知加速度最大点，只可能为A、B两点，或其中一个。
若把小球的初始位置略作调整，使小球由A′点静止释放（如图4—1—2所示），根据竖直方向的弹簧振子模型可判断出A′、B′两点加速度大小相等。
接下来，比较小球在最低点B、B′的位置的高低（实则比较压缩量），不难得出B点的加速度大于B′点，而B′点的加速度和A′、A点大小相等，故D选项也正确。
因此，正确答案为：
B、D.
【点拨】此例实现竖直的弹簧振子的知识到具体习题的应用“迁移”，由于相应变换弹簧振子初始条件，导致物理情景发生一些变化，从而产生不同结果，由此演化为一个新的物理问题。
⒉“形同”质异类
【例题3】如图4—1—3所示，甲、乙分别表示两个物体直线运动图线，规定向右为正方向，则两物体在前5s内的位移、平均速度的大小和方向分别为
A．甲物体的位移为1m，向左；
乙物体位移为2m，向右。
B．甲物体的速度为1m/s，向右；
乙物体速度为1m/s，向右。
C．甲物体速度为0.2m/s，向右；
乙物体速度为0.4m/s，向左。
D．甲物体位移为2m，向右；
乙物体位移为1m，向左。
【解析】乍一看，两条图线直观形象几乎相同。
但两相对比发现，其纵坐标轴表示的物理意义完全不同，甲为速度-时间图线，描述对应于某时刻的速度的大小和方向；
乙为位移-时间图线，描述对应于某一时刻的位移的大小和方向。
然后，我们分别讨论5s内的位移和方向。
应用“面积法”计算甲物体的位移
，向右；
显见
，向左。
接下来，分别讨论5s内的平均速度的大小和方向。
因此，正确选项为C。
【点拨】此例属于位移图线与速度图线的对比。
通过速度图线与位移图线的对比，可知两者直观形象几乎相同，也有纵坐标的不同；
前者可用面积法（或位移公式）计算位移，后者则不需要计算；
平均速度的计算须严格按其定义去操作。
【例题4】从地面以速率v1竖直向上抛出一质量为m的小球，小球落地时的速率为v2，若小球在运动过程中所受空气阻力的大小与其速率成正比，试求小球在空中运动的时间？
【解析】
（取竖直向上的方向为正方向）作出小球的速度－时间图线和空气阻力随时间变化的关系图象（如图4—1—4所示）。
由于小球所受空气阻力的大小与其运动速率成正比，即f=kv由此推之，可知S/1=k·
S1,S/2=k·
S2.。
又由于S1=S2,因而S/1=S/2,即小球上升过程中和下落过程中空气阻力对小球冲量的大小相等。
显然，其方向是相反的。
故在小球运动的整个过程中,空气阻力对小球冲量的矢量和为零。
取竖直向上的方向为正方向,对小球运动的全过程,由动量定理可得
－mg·
t=－mv2－mv1
不难求出，小球在空中运动的时间
。
【例题5】把A、B两个完全相同的小球，分别系于长度也相同的刚性绳、橡皮筋一端，另一端分别悬挂于O1、O2，现把A、B球拉至水平位置，然后由静止释放。
已知OA=OB=L，橡皮筋的劲度k，求两球到达最低点时的速度的大小之比？
【解析】首先，依据题意，作出两球运动如右下示意图4—1—5。
先比较它们外部特征，由于AB两球“完全相同”，刚性绳、橡皮筋的长度也相同，因而两系统的初始情况大致相同。
然而，绳、筋具有根本不同的性质，就是前者不可伸长，故球A做变速圆周运动；
后者则可以逐渐伸长，故球B的运动比较复杂。
由此，对球A应用机械能守恒得
①
对球B，设橡皮筋到达最低点伸长为
，同理，可得
②
再由胡克定律、向心力公式写出下式
③
联立①②③三式，不难求出两球到达最低点时的速度的大小之比
【点拨】此例属于刚性绳系小球与橡皮筋系小球的变速圆运动的对比。
由此推知刚性绳、和弹簧类物体（如橡皮筋、弹性绳）的力学性质的确有显著的不同。
二、逻辑类比
所谓“逻辑比较”，则指研究对象的内部性质——内部特征及其联系的比较，亦即“质”的比较。
由此，从研究对象的内在特征及其联系的角度看，我们可以把逻辑比较分为：
逻辑类比和逻辑对比等两种。
我们先来讨论逻辑类比的问题。
（一）逻辑类比
⒈“质同”形同类
【例题6】如图4—1—6所示，竖立在地面上的两杆相距4m、长为5m的细绳两端分别固定与两杆的顶端A和B，在绳上一轻质光滑的小挂钩O的下面挂一重量为G的物体。
当物体静止时，下列判断正确的是
A．细绳AO段、BO段分别跟水平方向的夹角肯定相等；
B．细绳AO段、BO段的张力相等；
C．
两杆顶端所受的绳的拉力均为5G/6；
D．只有两杆等高时，选项A才正确。
【解析】由题意可知，挂于轻绳O点上的小挂钩是“光滑”的，因而必能使轻绳OA、OB对O点的拉力大小相等，即T1=T2，（常用二级结论）。
O点受力情况如图4—1—9所示。
依据物体的平衡条件，得
不难求出
从而又有以下结果
由此可知，作用于滑钩类物体上的两段轻绳的张力，关于过O点的竖直线对称。
亦即过滑钩的竖直直线平分两绳张力的夹角——“程序经验”比较——类化。
并且由牛三定律可知，在静止状态下，两杆顶端所受绳的拉力等于两段细绳中的张力。
由命题所得结果看，无论两杆是否等高，选项AB都正确。
因此，本题正确选项为A、B、C。
再来看下面的例题。
如图4—1—7所示，将一条轻而柔软的细绳一端固定在天花板上的A点，另一端固定在竖直墙上的B点，A和B到O点的距离相等，绳长为OA的两倍.滑轮的大小与质量均可忽略，滑轮下悬一质量为m的重物.设摩擦力可忽略，求平衡时绳所受的拉力为多大？
把此题与上面的例题相互比较。
发现它们之间存在外在形态（滑钩与滑轮）、内在性质（轻绳的张力）和张力的相等、对称的规律性等许多的相似性。
因此，我们可把上面的结论在此例中加以推广。
设A和B到O点的距离为l，则细绳长度为2l。
滑轮受力分析情况如？
图所示。
由平衡条件得
2Tsinθ=mg
设左、右两侧绳长分别为l1、l2，AO=l,则由几何关系得
l1cosθ+l2cosθ=l
l1+l2=2l
由以上几式解得
θ=60°
T=
mg
【点拨】此例属于滑轮问题与滑钩原型的对比。
综上所述，作用于滑钩、滑轮等物体的两段轻绳上的张力大小相等，并且它们关于重力作用线对称。
【例题7】如图4—1—8所示，质量为m的飞机以水平速度v0飞离跑道后逐渐上升，若飞机在此过程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力（该升力由其他力的合力提供，不含升力）。
今测得当飞机在水平方向的位移为l时，它的上升高度为h。
求：
飞机受到的升力大小？
【解析】已知飞机受重力mg和竖直向上的升力N等恒力作用，合外力F合必为恒力。
由牛二定律，可得
可见，飞机在竖直方向做初速度为零的匀加速运动；
由题意，飞机的水平速度保持不变。
由此联想到只在重力作用下物体的平抛运动——“程序经验”比较——类化。
“比较”平抛运动和飞机的斜向上升运动，我们发现以下三点相同（或相似）：
其一，若把上图垂直翻转90°
该图线即平抛曲线；
其二，水平方向皆为匀速运动；
其三，竖直方向皆为初速度为零的匀加速运动。
亦即两者具有共同或相似的外在特征、内在性质及其运动规律。
因此，我们判定飞机做“类平抛”运动。
显然，合外力方向是竖直向上的。
由平抛运动规律，可得
联立以上三式，即可求出
.
【点拨】此例属于飞机的“类平抛”与平抛运动的对比。
根据题中②③式可得曲线方程
再由数学知识（“依据”㈣）可知，飞机的运动轨迹为抛物线。
【例题8】
（经典试题）在光滑绝缘水平面上，一轻绳拉着一带电小球绕竖直方向的轴O做逆时针方向的水平匀速圆周运动，磁场方向竖直向下，其俯视图如图4—1—9所示。
若小球运动到A点时，绳子突然断开，以下说法错误的是（）
A.小球仍做逆时针匀速圆周运动，半径不变
B.小球仍做逆时针匀速圆周运动，但半径减小
C.小球做顺时针匀速圆周运动，半径不变
D.小球做顺时针匀速圆周运动，半径减小
【解析】首先，我们可依据对存储知识的回忆，作出“有心“运动与其受力情况的示意图（题图右）。
把当前解决的“习题负载”与储存记忆的“程序经验”——离心运动的示图、概念、规律和解题经验等等两两、相互对比，即可明确小球做匀速圆周运动的向心力，就是小球所受的合外力的基本规律。
然后，易知小球逆时针转动时，绳的拉力T和洛仑兹力qvB的合力为向心力。
选沿半径指向圆心为坐标正方向，从而由向心力公式，可得
其中，“＋”、“－”号表示小球带正、负电荷时，所受洛仑兹力分别为“向心”、或“离心”的。
这里，明显应用了拉力与洛伦兹力、“提供”向心力与“需要”向心力等之间的大小、方向的比较方法。
再后，对上式进行讨论：
①若原来
，则有
，在小球运动到A点时，虽然“绳子突然断开”，，但向心力没有消失。
“比较”提供的向心力与需要的向心力仍旧相等，则小球仍做逆时针匀速圆周运动，半径不变，故选项A正确。
②若原来
，同样地，在
时，“比较”可知提供的向心力小于需要的向心力，而方向仍“向心”不变，故达到稳定状态后，其做逆时针匀速圆周运动，半径增大，故选项B错误。
③若原来
，在
时，“比较”可知向心力“离心”向外，小球从A点开始做顺时针匀速圆周运动。
若恰好有
，则半径大小不变；
而若
，则向心力“离心”向外且增大，小球从A点开始做顺时针匀速圆周运动，半径减小。
故选项C、D均为正确。
最后，考虑到本题选“说法错误”的选项，故答案为：
【点拨】此例解答，首先应用当前习题与物理模型之间的比较，然后对拉力跟洛伦兹力、“提供”的向心力跟所“需要”的向心力等进行大小、方向的比较，从而选取和应用牛二定律予以解决。
此可称作匀速圆周运动与粒子的磁偏转运动的对比。
特别强调，由于电荷性质、拉力大小的变化，必将影响到洛仑兹力、合力的大小和方向，进而将使小球的转动方向、轨道半径等发生显著的变化，导致问题的多解。
【例题9】
o
磁谱仪是测量
能谱的重要仪器。
磁谱仪的工作原理如图4—1—10所示，放射源Ｓ发出质量为m、电量为q的粒子沿垂直磁场方向进入磁感应强度为B的匀强磁场，被限束光栏Ｑ限制在２
的小角度内，
粒子经磁场偏转后打到与束光栏平行的感光片Ｐ上。
（重力影响不计）
⑴若能量在Ｅ∽Ｅ＋ΔＥ（ΔＥ>
0，且ΔＥ<
<
Ｅ）范围内的
粒子均垂直于限束光栏的方向进入磁场。
试求这些
粒子打在胶片上的范围Δx1.
⑵实际上，限束光栏有一定的宽度，
粒子将在２
角内进入磁场。
试求能量均为Ｅ的
粒子打到感光胶片上的范围Δx2
【解析】⑴首先，若a粒子以速度v进入磁场，沿半圆轨道打在胶片上的P点。
设P点到S点的距离为x，依据即确定圆心原则、半径公式、动能公式和线段的几何关系，可得
其次，则联立①②③式，可得这些
粒子打在胶片上的范围为
显然，“比较”可知（Ｅ＋ΔＥ）大于Ｅ，因而能量较大的
粒子到S点的距离（半圆的直径）也必定较大。
显示出两者运动情况和遵守的物理规律等都相同，但“形同质同”之余，所求得物理量）（如长度）的大小不同，如示意图4—1—12示。
从而，
.
应用平方差公式化简，可得
⑵然后，因动能均为E的a粒子沿
角入射，轨道半径相同，可设为R。
分析、“比较”可知，由于速弦角等于回旋角的一半，因而回旋角大小不同；
但由于回旋角增加或减小相同的
，导致粒子初、末两点间的线位移亦缩短相同的长度
，如图4—1—12所示。
同理，可得
最后，联立①②④式，可以求出
【点拨】此例属于同一个问题中，仅仅由于初始条件的数量的不同造成不同结果的比较。
还应该指出，这里所谓“形”对应于直观形象、外部特征，“质”对应于物理概念和规律，而“量”的不同则对应于数学规律及其运算。
⒉“质同”形异类
【例题10】
（10安徽）伽利略曾设计如图4—1—13所示的一个实验，将摆球拉至M点放开，摆球会达到同一水平高度上的N点。
如果在E或F处钉子，摆球将沿不同的圆弧达到同一高度的对应点；
反过来，如果让摆球从这些点下落，它同样会达到原水平高度上的M点。
这个实验可以说明，物体由静止开始沿不同倾角的光滑斜面（或弧线）下滑时，其末速度的大小
A.只与斜面的倾角有关
B.只与斜面的长度有关
C.只与下滑的高度有关
D.只与物体的质量有关
【解析】首先，画出高度相同、倾角不同的几个光滑斜面，如图4--1--13所示。
然后，之所以发生“如果在E或F处钉子，摆球将沿不同的圆弧达到同一高度的对应点；
反过来，如果让摆球从这些点下落，它同样会达到原水平高度上的M点”的实验事实，是由于此系列过程满足只有重力做功而机械能守恒定律。
导致小球在M、N……等位置的重力势能相等，从而对地面的高度相等，必定位于同一水平面上。
反过来，若小球从M、N……等位置由静止开始运动，由于机械能守恒则至最低点的动能必定相等，从而使得小球具有相等的速度。
比较物体由静止开始沿不同倾角的光滑斜面（或弧线）下滑的情况，类似地，如果斜面高度相同，也必有末速度的大小相等的规律，即其末速度的大小只与谢苗苗的高度有关。
C。
【点拨】两相比较，虽然从外部特征看差别很大，而两个运动过程中所包含的的功能关系或机械能守恒等几乎完全相同。
【例题11】如图4—1—14左所示，带正电的点电荷固定于Q点，电子在库仑力作用下，做以Q点为焦点的椭圆运动。
M、P、N为椭圆上的三点，P点是轨道上离Q最近的点。
电子在从M经P到达N点的过程中（）
A．速率先增大后减小
B.速率先减小后增大
C.电势能先减小后增大
D.电势能先增大后减小
【解析】首先，我们已经知道绳系小球在竖直平面内的变速圆周运动的受力情况，如图4—1—14右所示。
并且知道，法向力（向心力）改变线速度的方向，切向力改变线速度的大小，形成小球的变加速度的圆周运动。
若切向力与速度成方向相同，则速度增大；
反之，则减小。
并且，这一动力学规律可以推广到一切曲线运动当中。
然后，把电子在库仑力作用下的椭圆运动与绳系小球的变加速度的圆周运动两相比较。
为简单起见,只分析电子在M、N两点的情况。
从图4—1—14左可见，在M、N两点速度与库仑力分别成锐角、钝角，亦即其速度分别与切向力方向相同、相反。
依据上述物体做曲线运动的动力学规律，可知，电子从M点到P点做“加速”曲线运动，从P点到N点则做“减速”曲线运动，速率先增大后减小。
故选项A对B错。
由动能定理可知，在“加速”段电子的动能增加，电场力做正功；
在“减速”段电子的动能减少，电场力做负功。
再根据电场力做功与电势能的关系可知，“加速”段系统的电势能减少，“减速”段系统的电势能增加，即电势能先减小后增大。
故选项C对D错。
综上所述，本题正确选项为A、C。
【点拨】此例属于电子的椭圆运动与绳系小球的圆运动的比较，虽然外在特征不同，而尊循的动力学规律、功能关系等是相同的。
类似地，在同步卫星的变轨发射问题中，卫星的线速度的变化，应根据向心力（合外力）与线速度的夹角来判断。
而比较地球提供的向心力
（万有引力）与卫星所需要的向心力
的大小，则可确定卫星做离心、近心或者圆周运动。
【例题12】如图4—1—15所示，左图为在匀强电场中的带有+q电荷的小球，可以以O/为平衡位置在AB之间做简谐运动；
右图则为质子+H从正点电荷+Q旁边掠过的情形。
试各自分析运动过程中⑴合外力做功以及动能变化的情况；
⑵电场力做功以及电势能变化情况。
【解析】⑴对摆动的小球而言，自A到O/阶段，小球速度、动能都增大，由动能定理可知电场力、重力的合力做正功。
自O/到B阶段，则动能逐渐减少为零，考虑到两阶段的对称性，可知电场力、重力的合力做与上等量的负功。
然后，对曲线运动的质子而言，自a到b阶段，由于质子不断克服库仑斥力做功，依据动能定理，可知动能不断减小。
而自b到c阶段，情况则与此相反，同理，可知动能不断增大。
依据等势面、对称性等，可知a、c两点动能相等、速度大小也相等。
⑵再后，对摆动的小球而言，自A到O/阶段，小球克服电场力做功，由电场力做功与电势能的关系，可知电势能不断增加；
自O/到B阶段，类似地，可知小球的电势能不断增加。
对曲线运动的质子（可不计质量）而言，自a到b阶段，质子质子不断克服库仑斥力做功，同理，可知电势能不断增加；
而自b到c阶段，电场力对质子做正功，类似地，可知电势能不断减小。
【点拨】此例属于带电小球摆动与质子掠过原子核运动的对比，合外力做功引起动能变化的本质相同，因而第一小题应用动能定理解决。
由于电势能的变化都是电场力做功所引起的，因而解决第二小题应用了电场力做功与电势能的关系。
数理比较，是指习题解决中具有明显的涉及数学工具应用而极富数学特征的差异性和类同性比较，内涵十分丰富，应用也很广泛。
归纳起来，大致有物理状态（图形、图表、图象）、运动过程、解题方法、思维方法等各种比较。
三．数理类比
这里，先就物理状态、运动过程的对称、相似性等方面的比较，做一简单、初步讨论。
（详情请参考后面的章节）。
【例题13】
（05辽宁卷）两光滑平板MO、NO构成一具有固定夹角θ0=75°
的V形槽，一球置于槽内，用θ表示NO板与水平面之间的夹角，如图所
若球对板NO压力的大小正好等于球所受重力的
大小，则下列θ值中哪个是正确的？
（）
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
【解析】首先对球做受力分析，球受重力G、两个弹力FN1、FN2的作用，如图所示。
依据“若对应边分别两两垂直，则两角相等或相补”的规律，可判断
再由平行四边形的性质可知
由题设条件，已知球对板NO压力等于球所受重力，亦即
，因而
是等腰三角形。
从而
最后，从下面的平角看，很明显看出
等显然组成一个平角。
【例题14】如图4—1—17所示，A、B是带有等量同种电荷的两小球，它们的质量都是m，它们的绝缘悬线长度都是L，悬线上端都固定在同一点O上，B球悬线竖直且被固定，A球因受库仑力而偏离B球x距离处静止平衡，此时A球受到线的拉力为FT.现保持其他条件不变，用改变A球质量的方法，使A球在距B为x/2处平衡，则A球受到线的拉力为多大？
【解析】首先，对A球进行受力分析，A球所受重力G、B对A的库仑力FE、线的拉力FT，三力平衡，构成一个封闭的矢量三角形，如图——所示。
然后，从数学角度考察、对比力的三角形与几何三角形，由于满足对应边平行或“边边边”成比例的条件，亦即
∽
，因而为两个等腰相似三角形。
从而，由等腰三角形性质、物体的平衡条件，可得
①
类似地，“保持其他条件不变”而“改变A球质量”时，也可写出
②
依据库仑定律，
最后联立①②③式，即可求出A球在距B为x/2处平衡时受到线的拉力
【点拨】此例的解决，显然是平行线性质（能截取比例线段）、相似三角形的几何知识，在物理习题解决中的有效应用。
但是，离开几何直线（或线段）的
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